（全国通用版）2019版高考数学一轮复习 选考部分 不等式选讲 2 证明不等式的基本方法课件 文.ppt

第二节证明不等式的基本方法,【教材基础回顾】1.比较法,ab,ab,aa3b2+a2b3.【证明】因为a5+b5-(a3b2+a2b3)=a5-a2b3+b5-a3b2=a2(a3-b3)+b2(b3-a3)=(a3-b3)(a2-b2)=(a-b)2(a2+ab+b2)(a+b),又因为ab,所以(a-b)20,又a,bR+,所以a2+ab+b20,a+b0,故(a-b)2(a2+ab+b2)(a+b)0,即a5+b5a3b2+a2b3.,2.已知a0,b0,c0,且a,b,c不全相等,求证:,【证明】因为a,b,c(0,+),所以同理因为a,b,c不全相等,所以上述三个不等式中至少有一个等号不成立,三式相加,得2(a+b+c),即a+b+c.,3.求证:【证明】故原不等式成立.,4.已知a0且a1,P=loga(a3+1),Q=loga(a2+1),试比较P,Q的大小.【解析】P-Q=loga(a3+1)-loga(a2+1)=当00,所以PQ.,当a1时,a3+1a2+10,1,所以即P-Q0,所以PQ.所以,综上所述,PQ.,【母题变式溯源】,考向一综合法证明不等式【典例1】(2015全国卷)设a,b,c,d均为正数,且a+b=c+d.证明:(1)若abcd,则(2)是|a-b|cd得因此,(2)(i)若|a-b|cd.由(1)得,(ii)若则即因为a+b=c+d,所以abcd.于是(a-b)2=(a+b)2-4ab(c+d)2-4cd=(c-d)2.,因此|a-b|0,a3+b3=2,证明:(1)(a+b)(a5+b5)4.(2)a+b2.,【证明】(1)(a+b)(a5+b5)=a6+ab5+a5b+b6=(a3+b3)2-2a3b3+ab(a4+b4)=4+ab(a2-b2)24.(2)因为(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=2+3ab(a+b)所以(a+b)38,因此a+b2.,2.已知ABC中角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,且其中任意两边长均不相等.若a,b,c成等差数列.求证:00,2ca+b,求证:,【证明】要证只要证即要证|a-c|即要证(a-c)2c2-ab,即要证a2-2ac0,所以即要证a-2c0,所以1+m0.欲证成立.只需证明(a+mb)2(1+m)(a2+mb2),即证m(a2-2ab+b2)0,只要证明a2-2ab+b20,又a2-2ab+b2=(a-b)20显然成立,故,2.已知ab,求证:【证明】要证只需证:(a-b)2,即1+a2-+1+b22ab,综上可知,当ab时,成立.,考向三比较法证明不等式高频考点,【典例3】(1)当p,q都是正数且p+q=1时,试比较(px+qy)2与px2+qy2的大小.(2)已知a,bR+,求证:aabb,【解析】(1)(px+qy)2-(px2+qy2)=p2x2+q2y2+2pqxy-(px2+qy2)=p(p-1)x2+q(q-1)y2+2pqxy.因为p+q=1,所以p-1=-q,q-1=-p.所以(px+qy)2-(px2+qy2)=-pq(x2+y2-2xy)=-pq(x-y)2.,因为p,q为正数,所以-pq(x-y)20,所以(px+qy)2px2+qy2.当且仅当x=y时,不等式中等号成立.,(2)当a=b时,当ab时,由指数函数的性质知,当ab0时,当ba0时,所以1,即abba,【技法点拨】比较法证明不等式的步骤1.作差比较法(1)作差比较法证明不等式的一般步骤:作差:将不等式左右两边的式子看作一个整体作差;,变形:将差式进行变形,化简为一个常数,或通分,因式分解变形为若干个因式的积,或配方变形为一个或几个平方和等;判号:根据已知条件与上述变形结果,判断不等式两边差的正负号;结论:肯定不等式成立的结论.,(2)作差比较法的应用范围:当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时,一般使用作差比较法.,2.作商比较法(1)作商比较法证明不等式的一般步骤:作商:将不等式左右两边的式子作商;变形:将商式的分子放(缩),分母不变,或分子不变,分母放(缩),或分子放(缩),分母缩(放),从而化简商式为容易和1比较大小的形式;,判断:判断商与1的大小关系,就是判断商大于1或小于1或等于1;结论.(2)作商比较法的应用范围:当被证的不等式两边含有幂式或指数式或乘积式时,一般使用作商比较法.,【同源异考金榜原创】命题点1作差法证明不等式1.已知a,b为正实数.(1)求证:a+b.(2)利用(1)的结论求函数y=(00,所以当且仅当a=b时等号成立.所以a+b.,(2)因为00,由(1)的结论,函数y=(1-x)+x=1.当且仅当1