线性代数第五版第三章常见试题及解答.doc

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共30分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1设1=1，2，1，2=0，5，3，3=2，4，2，则向量组1，2，3的秩是（）A0B1C2D3答案 ：C2若向量组1=（1，t+1，0），2=（1，2，0），3=（0，0，t2+1）线性相关，则实数t=（）A0B1C2D3答案：B3设A是45矩阵，秩（A）=3，则（）AA中的4阶子式都不为0BA中存在不为0的4阶子式CA中的3阶子式都不为0DA中存在不为0的3阶子式答案：D4设向量组1，2，s线性相关，则必可推出（）A1，2，s中至少有一个向量为零向量B1，2，s中至少有两个向量成比例C1，2，s中至少有一个向量可以表示为其余向量的线性组合D1，2，s中每一个向量都可以表示为其余向量的线性组合答案：C5.设可由向量1 =（1，0，0）2 =（0，0，1）线性表示，则下列向量中只能是A.（2，1，1）B.（-3，0，2）C.（1，1，0）D.（0,-1,0）答案：B6.向量组1 ，2 ，s 的秩不为s(s)的充分必要条件是（）A. 1 ，2 ，s 全是非零向量B. 1 ，2， ，s 全是零向量C. 1 ，2， ，s中至少有一个向量可由其它向量线性表出D. 1 ，2， ，s 中至少有一个零向量答案：C7向量组1，2，s，(s2)线性无关的充分必要条件是（）A1，2，s均不为零向量B1，2，s中任意两个向量不成比例C1，2，s中任意s-1个向量线性无关D1，2，s中任意一个向量均不能由其余s-1个向量线性表示答案：D8.已知向量组A：中线性相关，那么（）A. 线性无关B. 线性相关C. 可由线性表示D. 线性无关答案：B9.向量组的秩为r，且rs，则（）A. 线性无关B. 中任意r个向量线性无关C. 中任意r+1个向量线性相关D. 中任意r-1个向量线性无关答案;C10设向量，下列命题中正确的是（）A若线性相关，则必有线性相关B若线性无关，则必有线性无关C若线性相关，则必有线性无关D若线性无关，则必有线性相关答案：B11设A，B分别为mn和mk矩阵，向量组（I）是由A的列向量构成的向量组，向量组（）是由（A，B）的列向量构成的向量组，则必有（）A若（I）线性无关，则（）线性无关B若（I）线性无关，则（）线性相关C若（）线性无关，则（I）线性无关D若（）线性无关，则（I）线性相关D答案：C12向量组的秩不为零的充分必要条件是（）A中没有线性相关的部分组B中至少有一个非零向量C全是非零向量D全是零向量答案：B13.设有向量组A：1，2，3，4，其中1，2，3线性无关，则（ ）A.1，3线性无关B.1，2，3，4线性无关C.1，2，3，4线性相关D.2，3，4线性相关答案：A14设是一个4维向量组，若已知可以表为的线性组合，且表示法惟一，则向量组的秩为（ ）A1B2C3D4答案：C15设向量组线性相关，则向量组中（ ）A必有一个向量可以表为其余向量的线性组合B必有两个向量可以表为其余向量的线性组合C必有三个向量可以表为其余向量的线性组合D每一个向量都可以表为其余向量的线性组合答案：A16.设1，2，3，4 是三维实向量，则（ ）A. 1，2，3，4一定线性无关B. 1一定可由2，3，4线性表出C. 1，2，3，4一定线性相关D. 1，2，3一定线性无关答案：C17.向量组1=（1，0，0），2=（1，1，0），3=（1，1，1）的秩为（ ）A.1B.2C.3D.4答案：C18.下列命题中错误的是（ ）A.只含有一个零向量的向量组线性相关B.由3个2维向量组成的向量组线性相关C.由一个非零向量组成的向量组线性相关D.两个成比例的向量组成的向量组线性相关答案：C19.已知向量组1,2,3线性无关，1,2,3，线性相关，则（ ）A.1必能由2,3，线性表出B.2必能由1,3，线性表出C.3必能由1,2，线性表出D.必能由1,2,3线性表出答案：D1.设3阶方阵A=（1，2，3），其中i（i=1,2,3）为A的列向量，若| B |=|（1+22，2，3）|=6，则| A |=( )A.-12B.-6C.6D.124.设1，2，3，4都是3维向量，则必有( )A.1，2，3，4线性无关B.1，2，3，4线性相关C.1可由2，3，4线性表示D.1不可由2，3，4线性表示二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。20.向量组1 =(1,0,0) 2 =(1,1,0), 3 =(-5,2,0)的秩是_.答案：221设向量1=（1，1，1）T，2=（1，1，0）T，3=（1，0，0）T，=（0，1，1）T，则由1，2，3线性表出的表示式为_.解：因为所以22已知1-52+23=，其中1=（3，4，-1），2=（1，0，3），=（0，2，-5），则3=_.答案;23矩阵A=_.答案;224已知向量组1=（1，1，1），2=（1，2，0），3=（3，0，0）是R3的一组基，则向量=（8，7，3）在这组基下的坐标是_.解：因为所以25设1=1，2，x,2=-2，-4，1线性相关，则x=_.答案：26.已知齐次方程组A45=0的基础解系含有3个向量，则R（A）=_.答案：227向量空间V=x=(x1,x2,0)|x1,x2为实数的维数为_.答案：228.已知向量组1=，2=,3=的秩为2，则数t=_.答案：因为秩为2所以29.设有向量=（1，0，-2），=（3，0，7），=（2，0，6）. 则的秩是_.答案：230已知向量组的秩为2，则数t= _.答案;3因为秩为2，则数t=331设向量 _.答案：32设向量组1=（1，2，3），2=（4，5，6），3=（3，3，3）与向量组1，2，3等价，则向量组1，2，3的秩为 _.答案：3等价的向量组的秩相等，且33已知向量=（3，5，7，9），=（-1，5，2，0），如果+=，则=_.答案：34.设向量组=（a,1,1）,=（1,-2,1）, =（1,1,-2）线性相关，则数a=_.答案：-2因为35.向量组_。答案：2因为36已知向量组线性相关，则数_.答案：137设向量组，且，则向量组的秩为_.答案：2因为线性无关，故线性无关，于是的秩为238.实数向量空间V=（x1,x2,x3）|x1+x2+x3=0的维数是_.答案：239.设4维向量（3,-1,0,2）T,=（3,1,-1,4）T，若向量满足2=3，则=_.答案：14.设=（-1，2，2），则与反方向的单位向量是_.15.设A为5阶方阵，且r(A)=3，则线性空间W=x | Ax=0的维数是_.三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）40求向量组1=1，-1，2，4，2=0，3，1，2，3=3，0，7，14,4=1，-1，2，0的秩，并求出向量组的一个最大线性无关组。解：秩为341设向量组1=（1，-1，2，1）T，2=（2，-2，4，-2）T，3=（3，0，6，-1）T， 4=（0，3，0，-4）T.（1）求向量组的一个极大线性无关组；（2）将其余向量表为该极大线性无关组的线性组合.解：秩为3且42求向量组1=，2=，3=，4=的秩与一个极大线性无关组.解：向量组的秩为2，极大无关组为43求向量组1=（1，1，1，3）T，2=（-1，-3，5，1）T，3=（3，2，-1，4）T，4=（-2，-6，10，2）T的秩和一个极大线性无关组.解：向量组的秩为3，极大无关组为44.求向量组1 =(1,-1,2,4)2 =(0,3,1,2), 3 =(3,0,7,14), 4 =(2,1,5,6), 5 =(1,-1,2,0)的一个极大线性无关组.解：由于秩为345求向量组=（1，2，1，3），=（4，-1，-5，-6），=（1，-3，-4，-7）的秩和其一个极大线性无关组.解：向量组的秩为2，极大无关组为46.设向量组1=（1，-1，2，4）T，2=（0，3，1，2）T，3=（3，0，7，14）T，4=（1，-1，2，0）T，求向量组的秩和一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表示.解：由于秩为3且47求向量=（3，-1，2）T在基1=（1，1，2）T，2=（-1，3，1）T，3=（1，1，1）T下的坐标，并将用此基线性表示.解：向量=（3，-1，2）T在基1=（1，1，2）T，2=（-1，3，1）T，3=（1，1，1）T下的坐标为，48求向量组1=（1，4，3，-2），2=（2，5，4，-1），3=（3，9，7，-3）的秩.解：向量组的秩为249.求向量组=(1,1,1,3)T，=(-1,-3,5,1)T，=(3,2,-1,4)T，=(-2,-6,10,2)T的一个极大无关组，并将向量组中的其余向量用该极大无关组线性表出.解：秩为3且50.设向量组为 求向量组的秩，并给出一个极大线性无关组。解：由于故向量组的秩为2。51设向量组，求该向量组的秩及一个极大无关组，并将其余向量用此极大无关组线性表示解：秩为3且52.设向量=（3，2），求（T）101.解：53.设向量组1=（1，2，3，6），2=（1，-1，2，4），3=（-1，1，-2，-8），4=（1，2，3，2）.（1）求该向量组的一个极大线性无关组；（2）将其余向量表示为该极大线性无关组的线性组合解：(1)由于（2）54.设向量组求向量组的秩及一个极大线性无关组，并用该极大线性无关组表示向量组中的其余向量。解：秩为3且55设向量组1,2,3线性无关，令1=-1+3，2=22-23，3=21-52+33.试确定向量组1，2，3的线性相关性.解：所以1，2，3的线性相关24.求向量组1=（1,2，-1,4），2=(9,100,10,4)，3=（-2，-4,2，-8）的秩和一个极大无关组.四、证明题（本大题6分）56设向量组1，2，3线性无关，证明1+2，1-2，3也无关.证明：设，即，由于1，2，3线性无关，故有 解之得， 故1+2，1-2，3也线性无关57设向量组1，2线性无关，证明向量组1=1+2，2=1-2也线性无关.证明：设，即，由于1，2线性无关，故有 解之得， 故1=1+2，2=1-2也线性无关58设向量组1，2，3线性无关，1=1+2，2=2+3，3=3+1，证明：向量组1，