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可测函数列常见的几种收敛 摘 要：本文介绍了可测函数列常见的几种收敛：一致收敛、几乎一致收敛、几乎处处收敛、依测度收敛等以及它们之间的关系 关键字：可测函数列；一致收敛；几乎一致收敛；几乎处处收敛；依测度收敛前言 在数学分析中我们知道一致收敛是函数列很重要的性质，比如它能保证函数列的极限过程和(R)积分过程可交换次序等可是一般而言函数列的一致收敛性是不方便证明的，而且有些函数列在其收敛域内也不一定是一致收敛的，如文中所给的例2函数在收敛域内不一致收敛，但对于一个当时在内一致收敛，这不见说明了一致收敛的特殊性，也验证了我们平时常说的“矛盾的同一性和矛盾的斗争性是相联系的、相辅相成的”11 可测函数列几种收敛的定义1.1 一致收敛3设是定义在点集上的实值函数若对于存在使得对于都有则称在上一致收敛到记作： (其中u表示一致uniform)1.2 点点收敛 若函数列在点集上每一点都收敛，则称它在上点点收敛 例1 定义在上的函数列则在上点点收敛到函数而且还能看出在上不一致收敛到，但对于在上一致收敛到1.3 几乎一致收敛3设是可测集，若使得在上有则称在上几乎一致收敛与，并记作(其中a.u表示几乎一致almost uniform) 例2 定义在上的函数在上收敛却不一致收敛但是只要从的右端点去掉任一小的一段使之成为则在此区间上就一致收敛，像这样的收敛我们就可以称之为在上几乎一致收敛与01.4 几乎处处收敛3设是定义在点集上的广义实值函数若存在中点集，有及对于每一个元素，有则称在上几乎处处收敛与，并简记为或若上文的例1也可以称之为在上几乎处处收敛与 1.5 依测度收敛例3在上构造函数列如下：对于，存在唯一的自然数和，使得其中令任意给定的对于每一个自然数，有且仅有一个，使得数列中有无穷多项为1，有无穷多项为0由此可知，函数列在上点点不收敛因此仅考虑点收敛将得不到任何信息然而仔细观察数列虽然有无穷多个1出现，但是在“频率”意义下，0却也大量出现这一事实可以用点集测度语言来刻画只要足够大，对于点集的测度非常小事实上这样对于任给的总可以取到也就是取到使得当时，有其中这个不等式说明，对于充分大的，出现0的“频率”接近1我们将把这样一种现象称为函数列在区间上依测度收敛到零函数，并将抽象出以下定义3： 设是可测集上几乎处处有限的可测函数若对于任意给定的有则称在上依测度收敛到函数，记为2 可测函数列几种收敛的关系2.1 点点收敛与一致收敛的关系由上述定义我们可以知道，必有点点收敛于如例1反之则不一定成立，如例2而且还可以得到若是可测集上的可测函数列，则也是可测函数2.2 几乎处处收敛与一致收敛的关系由定义可知有一致收敛必几乎处处收敛反之则不然，如例2而且还可以得到若是可测集上的可测函数列，则极限函数也是可测函数应用：从数学分析我们知道一致收敛的函数列对于求极限运算和(R)积分运算、微分运算与(R)积分运算等可以交换次序2.3 几乎处处收敛与一致收敛的关系叶果洛夫(EopoB)定理5：设是上一列a.e收敛于一个a.e有限的函数的可测函数，则对于任意的，存在子集，使在上一致收敛，且注定理中“”不可去掉如：例4定义在的函数列则在上处处收敛于1，但对于任何正数及任何可测集，当时时，在上不一致收敛于1这是因为，当时时，不能全部含于中，必有，于是有所以在上不一致收敛与1，也即定理中“”不可去掉4由定义我们知道一致收敛必是几乎处处收敛的，反之则不成立但它们又有密切的关系，即使上述定理告诉我们几乎处处收敛“基本上”是一致收敛的(在除去一个测度为任意小集合的子集上)应用由上述定理我们还可以得到“鲁津定理”：设是上a.e有限的可测函数，则对于任意的，存在闭子集，使在上是连续函数，且也就是说：在上a.e有限的可测函数“基本上”是连续的(在除去一个测度为任意小集合的子集上)也即我们可以用连续函数来逼近a.e有限的可测函数2.4几乎处处收敛与依测度收敛的关系例5取，将等分，定义两个函数：，然后将四等分、八等分等等一般的，对于每个，作个函数：我们把，先按后按的顺序逐个的排成一列：在这个序列中是第个函数可以证明这个函数列是依测度收敛于零的这是因为对于任何的，或是空集(当)，或是 (当)，所以(当时时，左端为0)由于当趋于时，由此可见，也即但是函数列(1)在上的任何一点都不收敛事实上，对于任何点，无论多么大，总存在，使，因而，然而或，换言之，对于任何，在中必有两子列，一个恒为1，另一个恒为0所以序列(1)在上任何点都是发散的这也就说明依测度收敛的函数列不一定处处收敛，也就是说依测度收敛不能包含几乎处处收敛，但仍有：黎斯(FRiesz) 5 设在上测度收敛于，则存在子列在上a.e收敛于例6 如例4，当当但是当时，且这说明不依测度收敛于1这个例子又说明了几乎处处收敛也不包含依测度收敛，但是有下述关系：勒贝格(Lebesgue) 5 设，是上a.e有限的可测函数列， 在上a.e收敛于a.e有限的函数，则此定理中的“”不可去掉，原因参看例1定理也说明在的在的条件下，依测度收敛弱于几乎处处收敛有以上定理黎斯又给出了一个用几乎处处收敛来判断依测度收敛的充要条件：设，是上的可测函数列，那么依测度收敛于的充要条件是：的任何子列中必可找到一个几乎处处收敛于的子序列证明（必要性）由于依测度收敛于，由定义知道这时的的任何子序列必也依测度收敛于，由黎斯定理可知中必存在几乎处处收敛于的子序列（充分性） 如果不依测度收敛于，即存在一个，使得不趋于0因此必有子序列，使得这样就不可能再有子序列几乎处处收敛于了，否则由勒贝格定理知将有依测度收敛于，即这与上式矛盾，所以依测度收敛于应用依测度收敛在概率统计中有重要的意义，如例3；它也是证明中心极限定理的重要依据，由中心极限定理我们可以知道用一个正态分布来模拟一个样本容量较大的样本的概率分布， 从而简化了大样本概率分布的处理和计算7结束语：上述定义中的各种收敛的极限函数都是唯一的，而且从本文还可以知道一致收敛是最强的收敛，它蕴含了点点收敛、几乎处处收敛、依测度收敛等上述几种收敛各种收敛都有不同的意义，在各种实践中作用也各不同参考文献：1马克思主义基本原理概论教材编写课题组马克思主义基本原理概论M高等教育出版社，2009,72 华东师范大学数学系数学分析(第三版)M高等教育出版社，2001,63 郭懋正实变函数与泛函分析M北京大学出版社，2005,24 柳藩，钱佩玲实变函数论与泛函分析M