2018-19学年高中数学第2章平面向量2.5向量的应用学案苏教版.docx

2.5向量的应用学习目标1.学习用向量方法解决某些简单的平面几何问题及某些物理学中的问题.2.体会向量是一种处理几何及物理问题的有力工具.3.培养运算能力、分析和解决实际问题的能力知识点一几何性质与向量的关系设a(x1，y1)，b(x2，y2)，a，b的夹角为.思考1证明线线平行、点共线及相似问题，可用向量的哪些知识？答案可用向量共线的相关知识：ababx1y2x2y10(b0)思考2证明垂直问题，可用向量的哪些知识？答案可用向量垂直的相关知识：abab0x1x2y1y20.梳理平面几何图形的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来知识点二向量方法解决平面几何问题的步骤1建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题2通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题3把运算结果“翻译”成几何关系知识点三物理中的量和向量的关系1物理学中的许多量，如力、速度、加速度、位移都是向量2物理学中的力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的加法运算与减法运算1功是力F与位移S的数量积()2力的合成与分解体现了向量的加减法运算()3某轮船需横渡长江，船速为v1，水速为v2，要使轮船最快到达江的另一岸，则需保持船头方向与江岸垂直()类型一用平面向量求解直线方程例1已知ABC的三个顶点A(0，4)，B(4，0)，C(6，2)，点D，E，F分别为边BC，CA，AB的中点(1)求直线DE，EF，FD的方程；(2)求AB边上的高线CH所在的直线方程解(1)由已知得点D(1，1)，E(3，1)，F(2，2)，设M(x，y)是直线DE上任意一点，则.(x1，y1)，(2，2)(2)(x1)(2)(y1)0，即xy20为直线DE的方程同理可求，直线EF，FD的方程分别为x5y80，xy0.(2)设点N(x，y)是CH所在直线上任意一点，则.0.又(x6，y2)，(4，4)4(x6)4(y2)0，即xy40为所求直线CH的方程反思与感悟利用向量法解决解析几何问题，首先将线段看成向量，再把坐标利用向量法则进行运算跟踪训练1在ABC中，A(4，1)，B(7，5)，C(4，7)，求A的平分线所在的直线方程解(3，4)，(8，6)，A的平分线的一个方向向量为a.设P(x，y)是角平分线上的任意一点，A的平分线过点A，a，所求直线方程为(x4)(y1)0.整理得7xy290.类型二用平面向量求解平面几何问题例2已知在正方形ABCD中，E，F分别是CD，AD的中点，BE，CF交于点P.求证：(1)BECF；(2)APAB.证明建立如图所示的平面直角坐标系，设AB2，则A(0，0)，B(2，0)，C(2，2)，E(1，2)，F(0，1)(1)(1，2)，(2，1)(1)(2)2(1)0，即BECF.(2)设点P坐标为(x，y)，则(x，y1)，(2，1)，x2(y1)，即x2y2，同理，由，得y2x4，由得点P的坐标为.|2|，即APAB.反思与感悟用向量证明平面几何问题的两种基本思路：(1)向量的线性运算法的四个步骤：选取基底用基底表示相关向量利用向量的线性运算或数量积找出相应关系把几何问题向量化(2)向量的坐标运算法的四个步骤：建立适当的平面直角坐标系把相关向量坐标化用向量的坐标运算找出相应关系把几何问题向量化跟踪训练2如图，在正方形ABCD中，P为对角线AC上任一点，PEAB，PFBC，垂足分别为E，F，连结DP，EF，求证：DPEF.证明方法一设正方形ABCD的边长为1，AEa(0a1)，则EPAEa，PFEB1a，APa，()()1acos1801(1a)cos90aacos45a(1a)cos45aa2a(1a)0.，即DPEF.方法二如图，以A为原点，AB，AD所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系设正方形ABCD的边长为1，AP(0)，则D(0，1)，P，E，F.，220，即DPEF.类型三向量在物理学中的应用例3(1)在重300N的物体上系两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30，60(如图)，求重物平衡时，两根绳子拉力的大小解如图，两根绳子的拉力之和，且|300N，AOC30，BOC60.在OAC中，ACOBOC60，AOC30，则OAC90，从而|cos30150(N)，|sin30150(N)，所以|150(N)答与铅垂线成30角的绳子的拉力是150N，与铅垂线成60角的绳子的拉力是150N.(2)帆船比赛是借助风帆推动船只在规定距离内竞速的一项水上运动，如果一帆船所受的风力方向为北偏东30，速度为20km/h，此时水的流向是正东，流速为20 km/h.若不考虑其他因素，求帆船的速度与方向解建立如图所示的平面直角坐标系，风的方向为北偏东30，速度为|v1|20(km/h)，水流的方向为正东，速度为|v2|20(km/h)，设帆船行驶的速度为v，则vv1v2.由题意，可得向量v1(20cos60，20sin60)(10，10)，向量v2(20，0)，则帆船的行驶速度为vv1v2(10，10)(20，0)(30，10)，所以|v|20(km/h)因为tan(为v和v2的夹角，且为锐角)，所以30，所以帆船向北偏东60的方向行驶，速度为20km/h.反思与感悟利用向量法解决物理问题有两种思路，第一种是几何法，选取适当的基底，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量运算法则，运算律或性质计算第二种是坐标法，通过建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，转化为代数运算跟踪训练3河水自西向东流动的速度为10km/h，小船自南岸沿正北方向航行，小船在静水中的速度为10km/h，求小船的实际航行速度解设a，b分别表示水流的速度和小船在静水中的速度，过平面内一点O作a，b，以，为邻边作矩形OACB，连结，如图，则ab，并且即为小船的实际航行速度|20(km/h)，tanAOC，AOC60，小船的实际航行速度为20km/h，按北偏东30的方向航行例4已知两恒力F1(3，4)，F2(6，5)作用于同一质点，使之由点A(20，15)移动到点B(7，0)(1)求力F1，F2分别对质点所做的功；(2)求力F1，F2的合力F对质点所做的功解(1)(7，0)(20，15)(13，15)，W1F1(3，4)(13，15)3(13)4(15)99(J)，W2F2(6，5)(13，15)6(13)(5)(15)3(J)力F1，F2对质点所做的功分别为99J和3J.(2)WF(F1F2)(3，4)(6，5)(13，15)(9，1)(13，15)9(13)(1)(15)11715102(J)合力F对质点所做的功为102J.反思与感悟物理上的功实质上就是力与位移两矢量的数量积跟踪训练4一个物体受到同一平面内的三个力F1，F2，F3的作用，沿北偏东45的方向移动了8m，其中|F1|2N，方向为北偏东30，|F2|4N，方向为北偏东60，|F3|6N，方向为北偏西30，求合力F所做的功解以O为原点，正东方向为x轴的正方向建立平面直角坐标系，如图所示则F1(1，)，F2(2，2)，F3(3，3)，所以FF1F2F3(22，24)又因为位移s(4，4)，所以合力F所做的功为WFs(22)4(24)44624(J)即合力F所做的功为24J.1已知一个物体在大小为6N的力F的作用下产生的位移s的大小为100m，且F与s的夹角为60，则力F所做的功W_J.答案300解析WFs|F|s|cosF，s6100cos60300(J)2过点A(2，3)，且垂直于向量a(2，1)的直线方程为_答案2xy70解析设P(x，y)为直线上一点，则a，即(x2)2(y3)10，即2xy70.3用两条成120角的等长的绳子悬挂一个灯具，如图所示，已知灯具重10N，则每根绳子的拉力大小为_N.答案10解析设重力为G，每根绳的拉力分别为F1，F2，则由题意得F1，F2与G都成60角，且|F1|F2|.|F1|F2|G|10N，每根绳子的拉力都为10N.4.如图，在平行四边形ABCD中，已知AB8，AD5，3，2，则的值是_答案22解析由3，得，.因为2，所以()()2，即22.又因为225，264，所以22.5如图所示，在ABC中，点O是BC的中点过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若m，n，则mn的值为_答案2解析连结AO，O是BC的中点，()又m，n，.又M，O，N三点共线，1，则mn2.利用向量方法可以解决平面几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题利用向量解决平面几何问题时，有两种思路：一种思路是选择一组基底，利用基向量表示涉及的向量；另一种思路是建立坐标系，求出题目中涉及的向量的坐标一、填空题1在ABC中，已知A(4，1)，B(7，5)，C(4，7)，则BC边的中线AD的长是_答案解析BC的中点为D，|.2已知三个力F1(2，1)，F2(3，2)，F3(4，3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，再加上一个力F4，则F4_.答案(1，2)解析物体平衡，F1F2F3F40，F4F1F2F3(2，1)(3，2)(4，3)(1，2)3一条河宽为800m，一船从A处出发垂直到达河正对岸的B处，船速为20km/h，水速为12 km/h，则船到达B处所需时间为_min.答案3解析v实际v船v水v1v2，|v1|20，|v2|12，|v实际|16(km/h)所需时间t0.05(h)3(min)该船到达B处所需的时间为3min.4在四边形ABCD中，若(1，2)，(4，2)，则该四边形的面积为_答案5解析0，ACBD.四边形ABCD的面积S|25.5已知ABC三边BC，CA，AB的中点分别为D(1，2)，E(3，4)，F(5，6)，则顶点A的坐标是_答案(7，8)解析设点A的坐标为(x，y)由已知得(4，4)，(x3，y4)且|，解得或与同向，故(1，0)舍去，A点的坐标为(7，8)6过点A(3，2)且垂直于向量n(5，3)的直线方程是_答案5x3y210解析设P(x，y)为直线上异于A的任意一点，(x3，y2)，又n，5(x3)3(y2)0，即5x3y210.7在ABCD中，AD1，BAD60，E为CD的中点，若1，则AB的长为_答案解析设AB的长为a(a0)，因为，所以()()22a2a1.由已知，得a2a11，又因为a0，所以a，即AB的长为.8已知在矩形ABCD中，AB2，AD1，E，F分别为BC，CD的中点，则()_.答案解析如图，以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(2，0)，D(0，1)，C(2，1)E，F分别为BC，CD的中点，E，F(1，1)，(2，1)，()3(2)1.9已知直线axbyc0与圆x2y21相交于A，B两点，若|AB|，则_.答案解析如图，作ODAB于点D，则在RtAOD中，OA1，AD，所以AOD60，AOB120，所以|cos12011().10若点M是ABC所在平面内的一点，且满足30，则ABM与ABC的面积之比为_答案13解析如图，D为BC边的中点，则()因为30，所以32，所以，所以SABMSABDSABC.二、解答题11在长江南岸某渡口处，江水以12.5km/h的速度向东流，渡船的速度为25 km/h.渡船要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？解如图，设表示水流的速度，表示渡船的速度，表示渡船实际垂直过江的速度因为，所以四边形ABCD为平行四边形在RtACD中，ACD90，|12.5，|25，所以CAD30，即渡船要垂直地渡过长江，其航向应为北偏西30.12在等腰梯形ABCD中，已知ABDC，AB2，BC1，ABC60，动点E和F分别在线段BC和DC上，且，求的最小值解在等腰梯形ABCD中，由AB2，BC1，ABC60，可得DC1，()()21cos60211cos60cos120，由对勾函数的性质知2，当且仅当，即(舍负)时，取得最小值.13.如图所示，在正三角形ABC中，D，E分别是AB，BC上的一个三等分点，且分别靠近点A，点B，且AE，CD交于点P.求证：BPDC.证明设，并设ABC的边长为a，则有(-)(21)，.，(21)kk.于是有解得.，从而()()a2a2a2cos600，BPDC.三、探究与拓展14在ABC中，AB3，AC边上的中线BD