管理统计学-bit李金林教授.ppt

管理统计学,主讲人： 北京理工大学 管理与经济学院 李金林 办公室： 中心教学楼1012房间,教材:, 应用统计学 倪加勋等编著 中国人民大学出版社,1995,参考书:,李维铮等，应用统计学，高等教育出版社，1994 张洪涛，管理统计学，中国铁道出版社，1994 吴世农，管理统计学，江西人民出版社，1994 Jonathan D.Gryer,Bobert B.Miller, Statistics for Business,Date Analysis and Modeling -2nd edition Duxbury Press,1994 数理统计与管理，中国现场统计学会主办 统计研究，中国统计学会主办 Annals of Statistics Journal of the Ammerican Statistical Association ,主要内容（参见教材）,第一章 绪论 第二章 统计数据的描述 第三章 概率与概率分布 第四章 参数估计与假设检验 第六章 相关与回归,简要介绍的内容：（自学为主）,（第五章）方差分析 5.1，5.2 （第七章）时间序列与指数 7.4 （第九章）抽样调查 对学员的要求： 1、掌握基本的统计方法 2、正确运用统计方法解决实际问题 3、运用统计软件求解统计问题 4、认真完成作业,考核方式：,平时作业（5分）+大作业（25分） +课堂考试（70分） 说明：不同书中有些概念的解释、定义可能会不同，以讲课中介绍的为准。,第一章 绪论（Preface),近年来，由于某些主要产品及服务的激烈的国际竞争，企业界对统计分析有了新的评价。影响企业竞争力的主要因素是：质量（Quality）、成本（Cost）、计划安排（Scheduling），而这些因素的改进都需要用统计方法去设计和控制。另外，对市场（Marketing）做分析也需要用到统计方法。 本课程为MBA学生提供统计思维和统计方法的训练（Training）。统计思维使人们系统地澄清模糊的、不确定的过程，从而改进设计、降低成本。尽管统计学常被人们认为是很抽象、难学的学科，但实际上它是非常现实的学科，希望通过学习大家会体会到它的实用价值。,科学研究的步骤：,观察（observations） 假设（hypothesis） 推论（deduction） 验证（experimental verification),例子：铁锹的学问（泰勒Taylor）,观察：注意铁锹的操作 假设：有好的方法使操作更有效 推论：工作有效性受负荷量影响 验证: 在不同条件下，用几种大小不同的铁锹，记录工作结果，并进行比较。 结论：负荷量是有效性的关键因素，标准的负荷量是21磅，对工厂和工人都受益。 统计学主要与观察和验证两步骤有关。,一、统计学在我国的发展,二、对统计学的认识 三、统计学的性质 四、统计学研究对象的特点 五、统计学应用 六、统计学分类 七、需注意的问题 八、计量水准的概念（自学）,绪论的主要内容：,一、统计学在我国的发展,第一阶段：1949年-1978年峨嵋会议 （解放前我国没有形成统计学学科体系） 我国在这阶段的统计学照搬苏联的体系，即“社会经济统计学“，也称为“传统统计学“。主要研究：“统计指标体系“、“统计报表“、“收集数据“、“统计制度“，很少对数据做统计推断。 认为统计学是“一门独立的社会科学“，排斥数理统计学，认为概率、统计、抽样是投机赌博碰运气，冠以“资产阶级的统计学“。,一、统计学在我国的发展,第二阶段：1978年-现在 1.1978年峨嵋会议：两种观点争论激烈 观点1：“数理统计”才是真正的统计学，“社会经济统 计学” 是工作经验，不是科学。 观点2：“社会经济统计学”才是真正统计学，“数理统计”是数学。 2.1996年10月桂林会议，三大学会（中国统计学会，数理统计学会，中国现场统计学会）相聚，提出“大统计学”观点，认为统计学是将上面两者结合，应借鉴世界上普遍采用的体系。并指出要从发展眼光看统计学，它从对象、范围、方法论等方面早已同传统的统计学不同了。,二、对统计学的认识,传统的统计学侧重制度、指标、报表，实际中从事此类工作的人员易被别人替代（百分数）。统计学应是传统统计学与数理统计学的结合（见书中的体系） 做为管理人员要学会运用统计方法进行决策，改进工作，提高效率。,美国佛罗里达大学管理统计学课程主要内容： Methods for Describing Sets of Data Probability and Random Variables Sampling Distributions Inferences Based on a Single Sample Estimation Inferences Based on a Single Sample: Tests of Hypotheses Simple Linear Regression Multiple Regression Time Series: Index Numbers and Descriptive Analyses,三、统计学的性质 (什么是统计学？) 研究如何收集、整理、分析反映社会 经济管理问题的有关数据，并对研究对象 进行统计分析、推断的科学。 （以期认识事物的规律性）,四、统计学对象的特点,1。随机性：发生的结果不确定，不同个体 有差异 2。群体性：多个物体（单一物体不需统计） 3。数量性：以数量表示事件,五、统计学应用 1.气象预报，证券分析，产品寿命估计，抽样检验，保险、库存量估计、市场分析。 2.识别、度量风险，企业的风险管理 3.精算学：以统计学为基础，与金融学、保险理论结合。确定保费、盈余分配、出险规律。 4.新闻调查 总之，没有统计分析的管理是不完善的管理。,统计学的应用,审计员检查一个大公司的帐目，可以通过统计方法抽取帐目样本，根据样本结果确定该公司是否有帐目不清的问题。 小企业的经理在确定原材料的进货量时。需要考虑可能的原材料需求水平和原材料存储费用。为此他要做相应的调查。 经济学家需要根据消费者的购买模式，评价改变销售税对社会的影响。为此他需要通过实地调查，了解主要地区不同收入阶层消费者的购买模式。,统计学的应用,营销经理在决定是否销售一种新产品时，对样本顾客进行试销，并依据评价效果确定可能的销售水平。 投资经理依据咨询师的观点并考虑当前政策和企业现状，估计各种投资收益率出现的概率。 生产经理根据检验产品样本的质量情况，决定是否对生产过程作出必要的调整。,六、统计学的分类 1、描述统计学 数据的搜集、整理、显示和分析 2、推断统计学 利用概率论和数据对事物的数量规律性进行估计、检验等推断。由部分推断总体，由现在推断未来。,七、需注意的问题,1.正确选方法 例如：从AB，去时速度20km/h, 返回速度30km/h 平均速度=？ 25km/h？ 24km/h？ 2.统计方法要与定性分析相结合, 统计方法要与其他学科的知识相结合。 例如：电视增加，犯罪增加，是必然？ 3.防止系统误差 抽样误差（不可避免），系统误差（可避免） 例：调查读书欲望，调查交通工具,一、统计数据的收集 二、统计数据整理 三、集中趋势的测度 四、离散程度的测度,第二章 统计数据的描述,1、利用已有资料 出版物政府公报、期刊、专业数据库 教材14页列出了统计出版物 2、调查收集（collection through survey） 全面调查 非全面调查 重点调查 抽样调查（随机） 调查方式：观察、访问、表格（常用） 3、调查方案（survey plan） 目的；对象；项目；时间；方式；领导； 费用；（见教材16页） 4、误差 抽样误差（不可避免）；系统误差（可避免）,一、统计数据的收集（13页）,二、统计数据的整理 1.总体与样本 总体（Population） 样本（Sample） 涉及的全体元素 总体的部分元素 总体容量 样本容量 总体中元素个数N 样本中元素个数n 总体用X，Y大写 例：身高X，体重Y等 样本用x，y 小写 例：x1x2,y1y2,二、统计数据的整理（18页） 2、数据分组 按照某种标志，将数据分为几个部分 目的是：快速找出数据的规律性 次数分配 fi 次数落在第i组的数据个数 例如，20页的次数分配表 分组的有关问题 a、组数k b、组距取整数（便于计算） c、等距，不等距（调整次数= d、上下限要明确，保证数据不重、不漏,二、统计数据的整理,3累积次数 Fi=? 例 F1=3 F2=10 F3=23 F4=28 F5=30 f1=3 f2=7 f3=13 f4=5 f5=2 4频率，累积频率 fi/n, Fi/n便于不同容量资料的比较,二、统计数据的整理,直方图 横轴分组标志 （histogram）纵轴次数（或频率） （参见21页） 通过直方图可了解： a、研究对象的总体规律 b、各分组段的比例 c、数据的分布范围,二、统计数据的整理,条形图 （1）进出口增长（见图片80页） （2）人口金字塔（81页） 圆饼图(见图片84页) 象形图 世界人口变化(见图片85、86页) Lorenz曲线（见教材23页）,作业：168个商店投资情况分析 万元 0-1 1-2 2-3 3-5 5-10 10-20 个数 1 17 23 49 61 17 不等距情况应保证调整次数后，直方图面积不变。 下图是否直方图 6000万元 长话收入 （某地区） 90 91 92 93 94 95 96,三、集中趋势的测度,1.均值 性质 ,三、集中趋势的测度,2.几何均值（Geometric mean） 适用于环比数据 例如：已知各年产值 a0，a1 ，a2，,a5 X1=a1/a0，X2=a2/a1，X3=a3/a2，,X5=a5/a4 称为环比数据。 求平均增长速度 有关系a5= a0Mg5,三、集中趋势的测度,3.调和均值（Harmonic mean） 此公式适用于两类变量的相对变化率数据 （例如：速度） 4.众数（Mode） 出现次数最多的数 5.中位数（Median） 排序数据的“中间值” 6.四分位数(Quartile) 位于 位的数（先排序） （考虑分组数据的以上指标）,四、离散程度的测度（32页）,1、极差：R=Xmax -Xmin 2、方差： （总体容量N） （样本容量n） 标准差 S=,四、离散程度的测度,对于分组数据 （xI为第i组的组中值） 方差另一种表达式 （可方便计算）,补充作业 调查一个村子中200个孩子的牙齿情况 A医生：在200人中抽20人,结果如下： 蛀牙数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 孩子数 8 4 2 2 1 1 0 0 0 1 1 B医生：在200人中只记录了没有蛀牙的60名。估计村子里孩子总的蛀牙数： (1)用A的结果 （420） (2)用A，B的两种调查结果 （490）,第三章 概率及其分布（43页） (Probability and its distribution),一、随机事件与概率 二、概率运算公式 三、随机变量及其分布 四、常用分布（61页） （此章内容为复习性质）,现实中的一些应用问题 需用到概率与统计的方法,例如： 预防性更换问题(寿命) 产品保换期的确定(寿命) 库存水平的确定(需求) （还有很多例子）,一、随机事件与概率,1、随机事件： 可能发生也可能不发生的结果。 基本事件是不可再分的随机事件。 （基本事件也称为样本点） 2、样本空间：样本点的全体 例:掷一个骰子： （等可能） 掷两个骰子： （不等可能）,一、随机事件与概率,3、事件的概率 古典概率： P（A）= m/n (样本点有限个，样本点等可能发生) “统计”概率：m/n（n次试验中，A出现m次） P（A）=m/n 主观概率：由经验确定的 公理化概率：（满足下列条件） a、对事件A有 0P（A）1 b、P（S）=1 c、Ai互斥（i=1,2,n）,则P（Ai）=P（Ai）,二、概率运算公式（1/2）,1、加法 P（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB） 2、乘法P（AB）=P（A）P（B|A） 3、独立性 P（AB）=P（A）P（B） 4、全概率公式P（B）=P(A)P(B|A)+P( )P(B| ) 5、贝叶斯公式P（Ai|B）= P（Ai）先验概率 P（Ai|B）后验概率（在掌握信息后对P（Ai）调整）,二、概率运算公式,例如：已知，在严格控制下次品率为0.05， 在不严格控制下次品率为0.20 又根据历史情况知道： 90%的工作时间为严格控制 P（C） 10%的工作时间为不严格控制 P（C） 现从工作现场抽取一件产品为次品。 P（C|D）=0.690.9=P(C) （称P(C)为先验概率） 根据抽样为次品的情况，我们直觉上也倾向于严格控制的比例在减少。 D-次品 （称P（C|D)为后验概率）,三、随机变量及其分布 （random variable and its distribution）,r.v.随机变量是用变量表示事件 1. r.v.特点 取值随机，取值的概率是确定的 r.v.分为连续、离散 习惯用X，Y.大写字母表示,三、随机变量及其分布,2、r.v.的分布 (1)离散r.v.分布 （discrete） X x1 x2.Xn Pi P1 P2 Pn (n可以是, Pi0) 也可写成P(X=xI)=表达式的形式 例如：= （掷骰子？）,三、随机变量及其分布,(2)连续r.v. X的分布（continuous） 分布函数F（x）=P（Xx） 也可描述离散r.v. OF（x）1， F（x） F（）=?，F（-）=? 分布密度函数f（x） f（x）0，F（x）= =1 F（x）=f（x）,三、随机变量及其分布,密度f（x）几何意义 X连续r.v.,则P（X=a）=0。故此时F（x）=P（Xa）=1-F（a） P（aXb）=F（b）-F（a） 例：下面哪些式子是不可能的？ P（X=6）=0.8 P(X=10)=1.3 F（3.2)=1.6 f(1.5)=0.8 F1(3)=0.5 F1(4)=0.4 f2(3)=1.6 f1(4)=1.0,四、常用分布（61页）,(1)离散r.v的分布 两点分布 X 0 1 形式: pI 1-p p 常记q=1-p 背景:产品检验(合格取1，不合格取0) 打靶 （中靶取1，不中靶取0） 期望：E（X）=p 方差：D（X）=pq,四、常用分布（61页）,超几何分布 形式:P(X=k)= ， K=0,1,min(n,M) 背景:产品检验。从N个产品中取n个检验，（其中有M个合格品）求n中有k个合格品的概率。 （即X合格品个数） 不放回！ 期望：E（X）=nM/N=np 方差：D(X)=npq,四、常用分布（62页）,二项分布 形式：P（X=k）见书 背景：在n次独立重复试验中， “A发生K次”的概率。 （P为在一次试验中A发生的概率） 有放回的试验！ 期望：E（X）=np 方差：D（X）=npq,四、常用分布（62页）,泊松分布 形式：P（X=k）见书， k=0，1，n, 背景： 单位时间内，电话交换台接到的呼叫次数X 单位面积上，疵点个数X 期望=方差：E（X）=D（X）=,四、常用分布,例：62页例3.11 例：某单位每天用水正常的概率3/4，求“近六天 内有四天用水正常”的概率。（每天用水独立） 例：20部机器独立工作。已知1小时内每部机器故障概率0.01。求： “1小时内20部机器中有2部故障”的概率。 若有2人看此20部机器，求“至少1人空闲”的概率？,四、常用分布（62页）,例：72页习题6 关于超几何、二项、Poisson分布的近似关系： (1)当N大，n小（n/N0.1）时，可用二项分布近似超几何分布（此时令P=M/N） (2)当n大，p小时，可用Poisson分布近似二项分布（取=np）。（n100，p0.01 np=1， 一般0.1np10即可),四、常用分布（62页）,(2) 连续r.v的分布 正态分布 形式：F（x）= f（x）= 背景：见63页 (1)实际应用，(2)理论近似 期望：E（X）=u 方差：D（X）=2 记为N（u，2）,四、常用分布（63页）,正态分布密度函数的特点 对称的钟形 3= P（|X-|3）=0.9973 标准正态分布 ,记为N(0,1) 可查表知(x)的值(430页) 标准化方法:F(x)=( ) 例:(1)=？ (1.1)=？ (1.11)=？ P(X+)=F(+)= (1)= P(-3X+3)=F(+3)-F(-3)=(3)-(-3),四、常用分布,例题：见65页例3.12 例题: 预防性更换 确定更换时间t0使产品在t0时可靠度为0.90(t0称为可靠寿命) 解：设X寿命服从正态分布N(20,32) 例题：见65页例3.12 例题:确定产品的保用年限 见73页习题9,四、常用分布（66页）,指数分布 形式:F(x)=1-e-x,x0 f(x)=1-e-x,x0 背景:电子产品的寿命、服务时间、顾客到 达间隔时间一般服从指数分布。 期望:E(X) = 1/ 方差:D(X) = 1/2,四、常用分布（66页）,均匀分布 形式:F(x)= 0 xa axb 1 xb f(x)= 1/b-a axb 其它 背景:特定情况下 期望:E(X)=（a+b）/2 方差:D(X)=(b-a)2/12,概率的应用,例：某汽车加油站每周补充一次汽油。现在要确定此加油站储油库的最少容油体积，使得在一周内加油站的油售完的概率不大于0.01。要解决此问题，应考虑哪些因素，应如何收集数据，应采用什么统计方法，建立什么概率模型？,对问题的讨论（确定储油量的例子） 1、要明确随机变量X。显然X为“加油站每周的售油量（单位：KL）”，此为连续型随机变量。 2、要确定X服从的分布函数F（x）或分布密度f（x）。 若F（x）或f（x）未知，则应收集加油站每周的售油量的历史数据x1 ，x2， xn，绘制直方图，以此粗略判断分布类型。然后，用统计方法进行拟合优度检验。最后确定分布形式F（x）或f（x）。,（接上页） 3、若F（x）或f（x）已知，设 f（x）=C（1-x）3 0t0）= 即（1- t0）40.001 , t01- =0.6838(KL) 因此，储油库容油体积至少为684L才能保证在一周内售完油的概率不大于0.001。,概率的应用,例：某药品反应率为0.0001。现有2万人使用此药。求这2万人中发生过敏反应的人数不超过3人的概率。 解：X2万人中发生过敏反应的人数 P（X3）=P（X=0）+P（X=1）+P（X=2）+P（X=3） 用什么分布？,例：产品合格标准。若使产品（布）的合格率达98%，则单位面积的疵点数最多定为多少为合格标准x0 ？ 解：X单位面积上的疵点数（已知=3） P（Xx0）=0.98= 9/2 27/6 81/2481*5/24*5 1.012519.68(i=7),概率的应用,例：在前面“预防性更换”的题目中，若寿命X服从指数分布，情况会如何？ 例：门的高度确定？ 例：60岁健康人，5年内死亡的概率为P，保险公司办理5年保险交a元。死亡则赔b元。a=？b=？使公司获利。 X a a-b 解： P 1-P P a-bP0 aba/P,例：无人售票的可行性？ 例：一项工程项目能否在26天（规定时间内）完成？ （已知施工完成时间X？） 上面例题中涉及到的参数，均需由实际调查、试验数据确定。需依靠统计方法解决。一般密度函数f（x）与直方图相对应。,第四章 参数估计与假设检验,一、抽样的基本概念 二、抽样分布 三、参数估计,一、抽样的基本概念（Sampling）,1、样本的两重性（总体X） 抽样前样本看成随机变量 X1 ，X2 Xn 抽样后样本看成观察值 x1 ，x2 xn 2、简单随机样本 X1 ，Xn与总体X有同分布 X1 ，Xn相互独立 （independent identity distributions：iid） 3、样本统计量 样本的函数（ ，S2等），也有两重性。 统计量服从的分布抽样分布,二、抽样分布,抽样分布一般较复杂，但对于正态总体较简单。 1. X1 Xn iid 于N(,2),则XN(, ) (在大样本时,(n30),可不做总体的正态假设) 2. 2分布（见76页）（不对称分布） X1. Xn iid N(0,1),则2 =Xi2 2(n) 其中n自由度 df (degree of freedom) 一般求2 :P(2 (n) 2 )= , (查表433页) 例: =0.05, n=10 20.05(10)=18.307,二、抽样分布 Sampling distribution,3. t分布（见77页） （是对称分布 symmetrical distributiom n30时，近似正态分布） 有自由度要求 经常求:t/2 双侧百分位数：P（T t/2）= t 单侧百分位数：P（Tt）= (查表434页) 例：=0.1 t/2(21)=1.721, t (21)=1.323,三、参数估计,(用样本对分布中的参数加以推断) 1、点估计 代替法：用频率代替概率 用样本特征代替总体特征值 (总体特征包括：均值、方差等) 注意：用此法时，需知道总体特征与参数的关系 样本均值 样本方差,三、参数估计,例如：XN（，2），则 （ 表示参数的点估计值，其他参数同样解释） 例如：X指数分布F（x）=1-e-x，均值为1/ 则 例如：Xa，b上均匀分布，则 = , 由这两个式子求出,三、参数估计,2、估计量的标准 无偏性 E（ ）= 例如： 、中位数都是均值参数（）的无偏估计。S2是方差参数（2）的无偏估计。 有效性：参数的两个无偏估计1，2，若 E（1-）2E（2-）2，则称1比2有效。 例如， 比中位数有效。 为均值参数的“最小方差无偏估计”。,三、参数估计,3.区间估计 思想：确定一个区间，保证以很大概率使参数落入该区间中。 （此区间一般应包含参数的点估计） 例：设x1 ,x2 ,xn是来自于总体N(,32)的 样本,试确定区间,使其有95%把握包含参数。,三、参数估计,解：已知 服从N（0，1）。 由于 可查正态分布表得出 因此，有 其中 称为置信度， 包含的区间，称为置信区间。,均值 的区间估计,设 X1 Xn iid 于N(,2), 为的点估计，求置信度为 1- 的 的置信区间。 已知时： 由于 z= 服从N（0,1）, 得到置信区间 说明：对于非正态总体，当 n 50 时，仍可用 z 统计量进行区间估计，并用 S 代替(见89页例4.5)。,总体均值 的区间估计,未知时：未知时（小样本） 已知 t = 服从 t(n-1) 分布， 得置信区间 例题见90页（例4.6） 一般对称区间时，置信区间最短。,推荐网站： 北京大学中国经济研究中心双学位讲义中的商务与经济统计。 网址：,样本容量的确定 在正态总体下（非正态不易处理）均值区间估计时的样本容量n的确定方法 若规定区间宽度为2（为 偏差，允许误差）则有 问题：当区间减少一半时，n增加多少？,在点估计中用无偏性、有效性（方差大小）衡量估计量的优劣。 在区间估计中用置信度、样本容量及区间宽度衡量优劣。 有关系： n不变，1-增大，则 增大，即宽度增大，精度下降。所以追求置信度高，则影响精度。 1-不变， n增大，则宽度减小，精度上升。 但是,如果n太大，会造成浪费，失去抽样意义，因此，精度的选取要适当。,例：5000人中抽100人，计算出 平均月 收入800 元。 求这5000人中平均月收入范围 （取 =0.99,=10） 最大偏差是多少？ 不变，使减少 ，n为多少？ 不变，使 =0.95，n为多少？,1-,1-,1-, =2.576, = =2.576 3, = 2.576 n=225 n= 57.89,背景：随机抽取的n个产品中有k件次品，则次品率的点估计为 现有结论： 近似地有： 得p的置信区间为： 例题见 91页例4.7,两总体均值差的区间估计（见92页，此部分自学） 正态总体方差 的区间估计 设 iid N(,2), S2为2的点估计，求置信度1-的置信区间。 已知 查表求,得 的置信区间： 例题 97页例4.10 （ 没有在教材后的表中，可在其 他书中找）,两个正态总体方差比的区间估计( ) 从 两个总体中独立各取样本，样本方差分别为 ， ，现 对 做区间估计。,已知 ， ， ， 得到：,此区间估计常用来比较方差大小，当上限1，下限1时，不能做比较，需用其他方法。 例题：见97页例4.11 参数区间估计小结表见99页100页。 查 ，,四、假设检验（Testing Hypothesis） 统计推断的又一类问题，对问题得出“是”与“否”的结论。 背景： 改进加工工艺后，产品的平均尺寸是 否显著变化？（原尺寸 改进 工艺后，取10件测量， ） 改进工艺后，生产是否稳定？（ 是 否显著变化？ 合格率是否符合规定？ 产品寿命是否符合正态分布？,对以上问题，可分别假设： ：没有显著变化， ：稳定， ：符合规定 ：服从正态 然后根据样本，判定 是否正确，若正确，接受 ，否则拒绝 。这就是假设检验的内容。 一般把要检验的假设称为原假设（零假设 ），与原假设相反的假设称为备择假设 。,理论依据：“小概率原理”小概率事件在一次试验中几乎不发生。 1.假设检验的思想： 举例： 已知在总体 时，若 成 立，即 则应有 （即以很大概率出现，相反的不等式对应的事件以小概率出现）,现经抽样 ，计算 若 ，则没有矛盾。 若 ，说明“小概率”事 件在一次试验中出现了。这是与小概率原理矛盾的，说明 错了。 2.假设检验的步骤： a.建立原假设（及备择假设） b.确定显著性水平 表明：当零假设正确时，拒绝 的概率 是 弃真错误,c.选择统计量 （例如： ， d.计算统计量的值，与临界值做比较 若超出临界值，则拒绝 若小于临界值，则接受 若等于临界值，则加大样本容量。,3.检验的内容（104-111页） 总体均值的假设检验 ， （已知数） 已知时，用z统计量 未知时，用t统计量（用s代替 ） （例题见104页，例4.13） 大样本时（ ），不论总体为何种分布，均可用z统计量近似。,两正态总体均值是否相等的检验 ， ， 已知时，用z统计量 未知时，用t统计量（且要求 可用 代替 ）。 大样本时（ ），不论总体为何种分 布，均可用z统计量分析。 （例题，105页例4.14）,总体方差的假设检