安徽省蚌埠市2019届高三数学第三次教学质量检查考试试题理（含解析）.docx

蚌埠市2019届高三年级第三次教学质量检查考试数学（理工类）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.是虚数单位，复数（ ）A. 1B. C. -1D. 【答案】B【解析】【分析】根据复数运算的除法运算法则，分子分母同乘以，进行运算.【详解】,故本题选B.【点睛】本题考查了复数的除法运算，掌握运算法则是关键.本题还有一种巧解方法是.2.已知集合，集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】通过解不等式，把集合化简，然后求出.【详解】因为，所以；又因为，所以，因此，故本题选C.【点睛】本题考查了集合的运算、正确求解不等式是本题的关键.3.函数的图像是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先根据函数值f(0)=1排除选项C,D;再根据指数函数图像的性质可得f(x)0恒成立，即可得到答案.【详解】，可得f(0)=1,排除选项C,D;由指数函数图像的性质可得函数f(x)0恒成立，排除选项B，故选：A【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.4.我市高三年级第二次质量检测的数学成绩近似服从正态分布，且.已知我市某校有800人参加此次考试，据此估计该校数学成绩不低于90分的人数为（ ）A. 64B. 81C. 100D. 121【答案】A【解析】【分析】通过数学成绩近似服从正态分布，可以看出数学成绩关于对称，通过，可以计算出，这样可以求出，这样就可以估计出我市某校有800人参加此次考试，该校数学成绩不低于90分的人数.【详解】因为数学成绩近似服从正态分布，所以数学成绩关于对称，已知，所以 ， ，所以我市某校有800人参加此次考试，据此估计该校数学成绩不低于90分的人数为，故本题选A.【点睛】本题考查了正态分布的应用、重点掌握的是当时，关于对称这个重要性质.5.已知双曲线的左、右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点坐标为，则双曲线的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设 ，由题意可知：点在上，这样得到一个等式；因为以为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点坐标为，所以有,这样又得到一个等式，再结合，可以求出的值.【详解】设 ，由题意可知：点在上，所以，由题意可知在以为直径的圆上，所以有，即，而，解得，所以双曲线方程为，故本题选B.【点睛】本题考查了求双曲线标准方程，解题的关键是应用向量构造等式.6.执行如图程序框图所示的程序，若输出的的值为9，则输入的为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的x值，当i=4时退出循环，即可得到答案.【详解】执行程序框图，输入x,当i=1时，得到2x-1；当i=2时，得到2（2x-1）-1=4x-3,当i=3时，得到4（2x-1）-3=8x-7,当i=4时，退出循环,输出8x-7=9,解得x=2,故选：B【点睛】本题考查循环结构的程序框图的输出结果的计算问题，着重考查推理与运算能力，属于基础题.7.如图，网格纸上小正方形的边长均为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】通过三视图可知，该几何体是由一个球和一个三棱柱组合而成，分别求出它们的体积相加即可.【详解】通过三视图可知，该几何体是由一个球和一个三棱柱组合而成，因此，故本题选A.【点睛】本题考查了通过三视图求几何体的体积问题，关键是识别出几何体的形状.8.若二项式的展开式中含有常数项，则的值可以是（ ）A. 8B. 9C. 10D. 11【答案】C【解析】【分析】写出二项式展开式的通项，化简，令的指数为零，对照选项，求出答案.【详解】二项式的第项为：，由题意可知含有常数项，所以只需，对照选项当时，故本题选C.【点睛】本题考查了二项式定理的应用，解题的关键是应用二项式的展开式的通项公式.9.已知函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为，将函数的图像向左平移个单位长度后，得到函数的图像.若函数为偶函数，则函数在区间上的值域是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】通过函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为，可以求出周期，进而可以求出的值，函数的图像向左平移个单位长度后，得到函数的图像，因此，函数为偶函数，有，结合已知，求出，再利用正弦函数的性质，求出函数在区间上的值域.【详解】因为函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为，所以,而，又因为函数的图像向左平移个单位长度后，得到函数的图像，所以，由函数为偶函数，可得，而，所以，因此，所以函数在区间上的值域是，故本题选D.【点睛】本题综合考查了正弦型函数的图象和单调性.解决本题的关键是对函数为偶函数的理解，写出等式.10.如图，在四棱锥中，点是棱的中点，与平面交于点，设，则（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】与平面交于点，设，所以到平面的距离是到平面的距离的倍，利用等积性质，可得出，根据，可得，最后求得.【详解】与平面交于点，设，所以有:,因为，所以，因此，故本题选B.【点睛】本题考查了利用三棱锥体积公式，求点分线段的比问题.11.设抛物线的焦点为，点在抛物线上，若以为直径的圆过点，则抛物线的焦点到准线距离为（ ）A. 2B. 2或4C. 8D. 8或16【答案】A【解析】【分析】设出的坐标为，由抛物线的定义，根据可得到，再由以为直径的圆过点，可以得到，进而可以求出的值，代入，求出，而就是抛物线的焦点到准线距离.【详解】设点的坐标为，,抛物线的焦点，抛物线的准线为，由抛物线的定义可知： ，因为以为直径的圆过点，所以有，代入中得，抛物线的焦点到准线距离为2，故本题选A.【点睛】本题考查了抛物线的定义以及的几何意义.重点是由以为直径的圆过点，想到这个向量等式.12.已知函数，过点作曲线的两条切线，切点为，其中.若在区间中存在唯一整数，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】对函数求导，然后求出过点作曲线的两条切线，把，代入两条切线方程，得到，所以可以把看成的两个根，因为，所以有 ，解出的取值范围，可以证明出，在区间中存在唯一整数，必须要满足，解出的取值范围，结合，最后求出的取值范围.【详解】，切点为的切线的斜率为，所以切点为的切线方程为：，同理可求得切点为的切线方程为：，两条切线过点，把，代入两条切线方程得：，所以可以把看成的两个根，因为，所以有 ，即，因为，所以，在区间中存在唯一整数必须满足：，结合，的取值范围是，故本题选C.【点睛】本题考查了导数的几何意义、求曲线方程的切线.本题重点考查了在区间上方程有唯一整数解问题，考查了转化思想、方程思想.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量，若，则的值为_【答案】2【解析】【分析】运用向量的坐标运算公式，分别求出，再求出它们的模，根据已知，得到一个方程，解方程，求得的值.【详解】因为，所以因为，所以有.【点睛】本题考查了向量的坐标运算、求模.本题也可从向量的加减法的几何意义上入手，设，以邻边作平行四边形,显然,所以平行四边形是矩形，因此有：.14.在中，角所对的边分别为，若，且的面积.则角_【答案】【解析】【分析】的面积,结合面积公式，可得，代入已知等式中，得到，先用正弦定理，后用余弦定理，最后求出角的值.【详解】，代入中，得，由正弦定理,可将上式化简为，由余弦定理可知：,所以有，又因为，所以角 .【点睛】本题考查了面积公式、正弦定理、余弦定理.解题的关键在于对公式的模型特征十分熟悉.15.回收1吨废纸可以生产出0.8吨再生纸，可能节约用水约100吨，节约用煤约1.2吨，回收1吨废铅蓄电池可再生铅约0.6吨，可节约用煤约0.8吨，节约用水约120吨，回收每吨废铅蓄电池的费用约0.9万元，回收1吨废纸的费用约为0.2万元.现用于回收废纸和废铅蓄电池的费用不超过18万元，在保证节约用煤不少于12吨的前提下，最多可节约用水约_吨【答案】9000【解析】【分析】设回收废纸x吨，回收废铅蓄电池y吨，由题意列出不等式组及目标函数，转化成求目标函数的最值问题.【详解】设回收废纸x吨，回收废铅蓄电池y吨，可节约用水z吨，由已知条件可得 ，即 ，z=100x+120y,作出不等式组表示的可行域，如图所示，,平移直线可得当直线过点A时，在y轴的截距最大，即z最大， 由图可得点A(90,0)，此时z取得最大值为9000.故答案为：9000【点睛】本题考查简单线性规划应用，属于基础题解决线性规划的应用题时，其一般步骤为：分析题目中相关量的关系，列出不等式组，即约束条件；由约束条件画出可行域；分析目标函数与直线截距之间的关系；使用平移直线法求出最优解；还原到现实问题中16.已知球的半径为3，圆与圆为该球的两个小圆，为圆与圆的公共弦，若点是弦的中点，则四边形的面积的最大值为_【答案】2【解析】【分析】利用球的性质可以推出，这样可以得到,同理，这样求出四边形的面积的最大值.【详解】如下图所示：点是弦的中点， ，又因为,当且仅当时，等号成立，同理当且仅当时，等号成立，因此四边形的面积的最大值为2.【点睛】本题考查了球的性质.重点考查了重要不等式，关键是构造直角三角形，得到两线段长度的平方和是定值.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：60分17.已知数列中，且，其中.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）方法一：由，可以变形为，应用累和公式，进行求和，最后求出数列的通项公式；方法二：由，可以变形为：，根据等差数列的定义可以求出数列的通项公式；（2）方法一：根据（1）可以求出，根据错位相减法，求出数列的前项和；方法二：根据（1）可以求出是 ，应用裂相消法求出数列的前项和.【详解】解：（方法一）由题意知，相加得：，其中.又，而符合上式，故，.（方法二）由题意知，进而，.（2）（方法一）由（1），于是，相减得： 故.（方法二）由（1），于是 ， .【点睛】本题考查了用累和法和递推公式求出等差数列的通项公式.重点考查了裂相相消法和错位相减法求数列的前项和.18.如图，在以为顶点，母线长为的圆锥中，底面圆的直径长为2，是圆所在平面内一点，且是圆的切线，连接交圆于点，连接，.（1）求证：平面平面；（2）若是的中点，连接，当二面角的大小为时，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】【分析】（1）由是圆的直径，与圆切于点，可得,由底面圆，可得，利用线面垂直的判定定理可知，平面，即可推出.又在中，可推出，利用线面垂直的判定定理可证平面，从而利用面面垂直的判定定理可证出平面平面.（2）由，可知为二面角的平面角，即，建立空间直角坐标系，易知，求得点的坐标如下；，由（1）知为平面的一个法向量，设平面的法向量为，通过，可求出平面的一个法向量为，. 平面与平面所成锐二面角的余弦值为.【详解】解：（1）是圆的直径，与圆切于点，底面圆，平面，.又在中，平面，从而平面平面.（2） ，为二面角的平面角， ，如图建立空间直角坐标系，易知，则，由（1）知为平面的一个法向量，设平面的法向量为， ， ，即故平面的一个法向量为，. 平面与平面所成锐二面角的余弦值为.【点睛】本题考查了通过线面垂直证明面面垂直.重点考查了利用空间向量法求二面角的问题.19.已知点，是平面内一动点，可以与点重合.当不与重合时，直线与的斜率之积为.（1）求动点的轨迹方程；（2）一个矩形的四条边与动点的轨迹均相切，求该矩形面积的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）当与点不重合时，根据直线与的斜率之积为，直接可求出动点的轨迹方程；当与点重合时，或，最后写出动点的轨迹方程；（2）记矩形面积为，当矩形一边与坐标轴平行时，易知.当矩形各边均不与坐标轴平行时，根据对称性，设其中一边所在直线方程为，则对边方程为另一边所在的直线为，则对边方程为，联立：，得，则，即.矩形的一边长为，同理：，矩形的另一边长为， ，综上：.【详解】解：（1）当与点不重合时，得，即，当与点重合时，或.综上，动点的轨迹方程为.（2）记矩形面积为，当矩形一边与坐标轴平行时，易知.当矩形各边均不与坐标轴平行时，根据对称性，设其中一边所在直线方程为，则对边方程为另一边所在的直线为，则对边方程为，联立：，得，则，即.矩形的一边长为，同理：，矩形的另一边长为， ，综上：.【点睛】本题考查了直译法求曲线的轨迹方程.重点考查了求椭圆外切矩形的面积的取值问题，考查了基本不等式的应用.20.某地种植常规稻和杂交稻，常规稻的亩产稳定为485公斤，今年单价为3.70元/公斤，估计明年单价不变的可能性为，变为3.90元/公斤的可能性为，变为4.00的可能性为.统计杂交稻的亩产数据，得到亩产的频率分布直方图如图.统计近10年杂交稻的单价（单位：元/公斤）与种植亩数（单位：万亩）的关系，得到的10组数据记为，并得到散点图如图.（1）根据以上数据估计明年常规稻的单价平均值；（2）在频率分布直方图中，各组的取值按中间值来计算，求杂交稻的亩产平均值；以频率作为概率，预计将来三年中至少有二年，杂交稻的亩产超过795公斤的概率；（3）判断杂交稻的单价（单位：元/公斤）与种植亩数（单位：万亩）是否线性相关？若相关，试根据以下的参考数据求出关于的线性回归方程；调查得知明年此地杂交稻的种植亩数预计为2万亩.若在常规稻和杂交稻中选择，明年种植哪种水稻收入更高？统计参考数据：，附：线性回归方程，.【答案】（1）3.9；（2）0.104；（3）；选择种杂交稻收入更高.【解析】【分析】（1）设明年常规稻的单价为，列出的分布列，计算;（2）根据频率分布直方图中，各组的取值按中间值来计算，所以可以求出杂交稻的亩产平均值；根据以频率作为概率，可以预计出将来三年中至少有二年，杂交稻的亩产超过795公斤的概率；（3） 根据题中给的数据和分式，可以求出线性回归方程；估计明年杂交稻的单价，进而可以估计明年杂交稻的每亩平均收入，估计明年常规稻的每亩平均收入，两者进行比较，可以得出明年选择种杂交稻收入更高.【详解】解：（1）设明年常规稻的单价为，则的分布列为3.703.904.000.10.70.2，估计明年常规稻的单价平均值为3.9（元/公斤）；（2）杂交稻的亩产平均值为： .依题意知杂交稻的亩产超过795公斤的概率，则将来三年中至少二年，杂交稻的亩产超过795公斤的概率为：.（3）散点图中各点大致分布在一条直线附近，可以判断杂交稻的单价与种植亩数线性相关，由题中提供的数据得：，由得，线性回归方程为， 估计明年杂交稻的单价元/公斤；估计明年杂交稻每亩平均收入为元/亩，估计明年常规稻的每亩平均收入为元/亩，明年选择种杂交稻收入更高.【点睛】本题考查了求离散型随机变量的分布列及均值、求线性回归方程并依据线性回归方程做出预测.21.已知函数，其中.（1）求函数的单调区间；（2）讨论函数的零点个数.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）求导，让导函数为零，解出方程，根据根之间的大小关系，进行分类讨论，求出函数的单调区间；（2）（）由（1）知，当时，单调递增，可以判断有一个零点；（）当或时，,结合（1）中的结论，对作如下分类，利用单调性，判断零点的个数. 当时，可以判断有二个零点； 当时，可以判断有一个零点； 当时，当时，可以判断有1个零点；当时，可以判断有2个零点；当时，可以判断有3个零点；【详解】解：（1），令得，当，即时，恒成立，在上增；当，即时，令，得或，令，得，在上增，在上减，在上增；当即时，令，得或，令，得，在上增，在上减，在上增；综上，当时，函数的减区间为，增区间为；当时，的单调增区间为；当时，的单调增区间为，单调减区间为；当时，的单调增区间为，单调减区间为.（2）（方法一）（）由（1）知，当时，单调递增，又，故1个零点；（）当或时， 当时，在上增，在上减，在上增，此时2个零点； 当时，在上增，在