函数的奇偶性.doc

函数的奇偶性 【学习目标】1.理解函数的奇偶性定义；2.会利用图象和定义判断函数的奇偶性；3.掌握利用函数性质在解决有关综合问题方面的应用.【要点梳理】要点一、函数的奇偶性概念及判断步骤1函数奇偶性的概念偶函数：若对于定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)称为偶函数.奇函数：若对于定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)称为奇函数.要点诠释：（1）奇偶性是整体性质；（2）x在定义域中，那么-x在定义域中吗？-具有奇偶性的函数，其定义域必定是关于原点对称的；（3）f(-x)=f(x)的等价形式为：， f(-x)=-f(x)的等价形式为：；（4）由定义不难得出若一个函数是奇函数且在原点有定义，则必有f(0)=0；（5）若f(x)既是奇函数又是偶函数，则必有f(x)=0.2.奇偶函数的图象与性质（1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数.（2）如果一个函数为偶函数，则它的图象关于轴对称；反之，如果一个函数的图像关于轴对称，则这个函数是偶函数.3.用定义判断函数奇偶性的步骤（1）求函数的定义域，判断函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步；（2）结合函数的定义域，化简函数的解析式；（3）求，可根据与之间的关系，判断函数的奇偶性.若=-，则是奇函数；若=，则是偶函数；若，则既不是奇函数，也不是偶函数；若且=-，则既是奇函数，又是偶函数要点二、判断函数奇偶性的常用方法（1）定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断与之一是否相等.（2）验证法：在判断与的关系时，只需验证=0及是否成立即可.（3）图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（轴）对称.（4）性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数.（5）分段函数奇偶性的判断判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.在函数定义域内，对自变量的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫做分段函数.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断与的关系.首先要特别注意与的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，与对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较.要点三、关于函数奇偶性的常见结论奇函数在其对称区间a,b和-b，-a上具有相同的单调性，即已知是奇函数，它在区间a,b上是增函数（减函数），则在区间-b，-a上也是增函数（减函数）；偶函数在其对称区间a,b和-b，-a上具有相反的单调性，即已知是偶函数且在区间a,b上是增函数（减函数），则在区间-b，-a上也是减函数（增函数）.【典型例题】类型一、判断函数的奇偶性例1. 判断下列函数的奇偶性：(1)； (2)f(x)=x2-4|x|+3 ；(3)f(x)=|x+3|-|x-3|； (4)； (5)； (6)【思路点拨】利用函数奇偶性的定义进行判断.【答案】（1）非奇非偶函数；（2）偶函数；（3）奇函数；（4）奇函数；（5）奇函数；（6）奇函数【解析】(1)f(x)的定义域为，不关于原点对称，因此f(x)为非奇非偶函数； (2)对任意xR，都有-xR，且f(-x)=x2-4|x|+3=f(x)，则f(x)=x2-4|x|+3为偶函数 ；(3)xR，f(-x)=|-x+3|-|-x-3|=|x-3|-|x+3|=-f(x)，f(x)为奇函数；(4)，f(x)为奇函数；(5)xR，f(x)=-x|x|+x f(-x)=-(-x)|-x|+(-x)=x|x|-x=-f(x)，f(x)为奇函数；(6)，f(x)为奇函数.【总结升华】判定函数奇偶性容易失误是由于没有考虑到函数的定义域.函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件，因此研究函数的奇偶性必须“坚持定义域优先”的原则，即优先研究函数的定义域，否则就会做无用功.如在本例（4）中若不研究定义域，在去掉的绝对值符号时就十分麻烦.举一反三：【变式1】判断下列函数的奇偶性：(1)；(2)；(3)；(4).【答案】（1）奇函数；（2）偶函数；（3）非奇非偶函数；（4）奇函数【解析】(1)的定义域是，又，是奇函数（2）的定义域是，又，是偶函数（3），为非奇非偶函数（4）任取x0则-x0，f(-x)=(-x)2+2(-x)-1=x2-2x-1=-(-x2+2x+1)=-f(x)任取x0 f(-x)=-(-x)2+2(-x)+1=-x2-2x+1=-(x2+2x-1)=-f(x)x=0时，f(0)=-f(0) xR时，f(-x)=-f(x) f(x)为奇函数.【高清课堂：函数的奇偶性356732例2（1）】【变式2】已知f(x)，g(x)均为奇函数，且定义域相同，求证：f(x)+g(x)为奇函数，f(x)g(x)为偶函数.证明：设F(x)=f(x)+g(x)，G(x)=f(x)g(x)则F(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-f(x)+g(x)=-F(x)G(-x)=f(-x)g(-x)=-f(x)-g(x)=f(x)g(x)=G(x)f(x)+g(x)为奇函数，f(x)g(x)为偶函数.【高清课堂：函数的奇偶性356732例2（2）】【变式3】设函数和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是 （ ）.A+|g(x)|是偶函数 B-|g(x)|是奇函数C| +g(x)是偶函数 D|- g(x)是奇函数【答案】A例2.已知函数，若对于任意实数都有，判断的奇偶性.【答案】奇函数【解析】因为对于任何实数，都有，可以令为某些特殊值，得出.设则，.又设，则，是奇函数.【总结升华】判断抽象函数的单调性，可用特殊值赋值法来求解.在这里，由于需要判断与之间的关系，因此需要先求出的值才行.举一反三：【变式1】 已知函数，若对于任意实数，都有，判断函数的奇偶性.【答案】偶函数【解析】令得，令得由上两式得：，即是偶函数.类型二、函数奇偶性的应用(求值，求解析式，与单调性结合)例3. f(x)，g(x)均为奇函数，在上的最大值为5，则在（-）上的最小值为 【答案】 -1【解析】考虑到均为奇函数，联想到奇函数的定义，不妨寻求与的关系+= ， 当时， 而， 在上的最小值为-1 【总结升华】本例很好地利用了奇函数的定义，其实如果仔细观察还可以发现也是奇函数，从这个思路出发，也可以很好地解决本题过程如下：时，的最大值为5，时的最大值为3，时的最小值为-3，时，的最小值为-3+2=-1举一反三：【变式1】已知f(x)=x5+ax3-bx-8，且f(-2)=10，求f(2).【答案】-26【解析】法一：f(-2)=(-2)5+(-2)3a-(-2)b-8=-32-8a+2b-8=-40-8a+2b=108a-2b=-50 f(2)=25+23a-2b-8=8a-2b+24=-50+24=-26法二：令g(x)=f(x)+8易证g(x)为奇函数g(-2)=-g(2) f(-2)+8=-f(2)-8f(2)=-f(-2)-16=-10-16=-26.【总结升华】本题要会对已知式进行变形，得出f(x)+8= x5+ax3-bx为奇函数，这是本题的关键之处，从而问题便能迎刃而解.例4. 已知是定义在R上的奇函数，当时，求的解析式【答案】【解析】是定义在R上的奇函数，当时， =又奇函数在原点有定义，【总结升华】若奇函数在处有意义，则必有，即它的图象必过原点（0，0）举一反三：【高清课堂：函数的奇偶性 356732 例3】【变式1】（1）已知偶函数的定义域是R，当时，求的解析式.（2）已知奇函数的定义域是R，当时，求的解析式.【答案】（1）；（2）例5. 定义域在区间2，2上的偶函数，当x0时，是单调递减的，若成立，求m的取值范围【思路点拨】根据定义域知1m，m1，2，但是1m，m在2，0，0，2的哪个区间内尚不明确，若展开讨论，将十分复杂，若注意到偶函数的性质：，可避免讨论【答案】【解析】由于为偶函数，所以，因为x0时，是单调递减的，故，所以，解得故m的取值范围是【总结升华】在解题过程中抓住偶函数的性质，将1m，m转化到同一单调区间上，避免了对由于单调性不同导致1m与m大小不明确的讨论，从而使解题过程得以优化另外，需注意的是不要忘记定义域类型三、函数奇偶性的综合问题例6. 已知是偶函数，且在0，+）上是减函数，求函数的单调递增区间【思路点拨】本题考查复合函数单调性的求法。复合函数的单调性由内层函数和外层函数的单调性共同决定，即“同增异减”。【答案】0，1和（，1【解析】 是偶函数，且在0，+）上是减函数，在（，0上是增函数设u=1x2，则函数是函数与函数u=1x2的复合函数当0x1时，u是减函数，且u0，而u0时，是减函数，根据复合函数的性质，可得是增函数当x1时，u是增函数，且u0，而u0时，是增函数，根据复合函数的性质，可得是增函数同理可得当1x0或x1时，是减函数所求的递增区间为0，1和（，1【总结升华】（1）函数的奇偶性与单调性的综合问题主要有两类：一类是两个性质交融在一起（如本例），此时要充分利用奇偶函数的图象的对称性，从而得到其对称区间上的单调性；另一类是两个性质简单组合，此时只需分别利用函数的这两个性质解题（2）确定复合函数的单调性比较困难，也比较容易出错确定x的取值范围时，必须考虑相应的u的取值范围本例中，x1时，u仍是减函数，但此时u0，不属于的减区间，所以不能取x1，这是应当特别注意的例7. 设a为实数，函数f(x)=x2+|x-a|+1，xR，试讨论f(x)的奇偶性，并求f(x)的最小值.【思路点拨】对a进行讨论，把绝对值去掉，然后把f(x)转化成二次函数求最值问题。【答案】当a=0时，函数为偶函数；当a0时，函数为非奇非偶函数.当.【解析】当a=0时，f(x)=x2+|x|+1，此时函数为偶函数；当a0时，f(x)=x2+|x-a|+1，为非奇非偶函数.(1)当时，且上单调递增，上的最小值为f(a)=a2+1.(2)当时，上单调递减，上的最小值为上的最小值为综上：.举一反三：【变式1】 判断的奇偶性【答案】当时，函数既是奇函数，又是偶函数；当时，函数是奇函数【解析】对进行分类讨论若，则，定义域关于原点对称，函数既是奇函数，又是偶函数当时，是奇函数综上，当时，函数既是奇函数，又是偶函数；当时，函数是奇函数例8. 对于函数，若存在x0R，使成立，则称点（x0，x0）为函数的不动点（1）已知函数有不动点（1，1），（3，3），求a，b的值；（2）若对于任意的实数b，函数总有两个相异的不动点，求实数a的取值范围；（3）若定义在实数集R上的奇函数存在（有限）n个不动点，求证：n必为奇数【答案】（1）a=1，b=3；（2）（0，1）；（3）略【解析】 （1）由已知得x=1和x=3是方程ax2+bxb=x的根，由违达定理a=1，b=3（2）由已知得：ax2+bxb=x（a0）有两个不相等的实数根，1=(b1)2+4ab0对于任意的实数b恒成立即b2+(4a2)b+10对于任意的实数b恒成立也就是函数的图象与横轴无交点又二次函数的图象是开口向上的抛物线，从而2=(4a2)240，即|4a2|2，0a1满足题意的实数a的取值范围为（0，1）（3）是R上的奇函数，.令x=0，得，（0，0）是的一个不动点设（x0，x0）（x00）是的一个不动点，则又，（x0，x0）也是的一个不动点又x0x0，的非零不动点是成对出现的又（0，0）也是的一个不动点，若存在n个不动点，则n必为奇数【总结升华】本例是一个信息迁移问题，解这类问题关键在于准确理解新定义，充分利用新定义分析解决问题本例的“不动点”实质是关于x的方程的解的问题本例（3）的解决主要是结合奇函数关于原点的对称性从而得到有关的结论【巩固练习】1 函数是( )A奇函数B偶函数C既是奇函数又是偶函数 D既不是奇函数又不是偶函数2若函数是偶函数，则有 ( )A. B. C. D. 3设函数，且则等于（ ）A.-3 B.3 C.-5 D. 54若偶函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是( )ABCD5如果奇函数在区间 上是增函数且最大值为，那么在区间上是( )A增函数且最小值是 B增函数且最大值是C减函数且最大值是 D减函数且最小值是6设是定义在上的一个函数，则函数，在上一定是( )A奇函数 B偶函数 C既是奇函数又是偶函数 D非奇非偶函数.7设函数的图象关于轴对称，且，则 .8如果函数为奇函数，那么= .9设函数是定义在R上的奇函数，且，在上单调递减，在上单调递减，则不等式的解集为 10若函数是偶函数，则的递减区间是_.11函数在R上为奇函数，且，则当，_.12已知函数，试判断的奇偶性.13设函数是偶函数，且在上是增函数，判断在上的单调性，并加以证明.14定义在上的偶函数满足：对任意 ，有成立，