元多项式的带余除法.ppt

1,线性代数(2)序 言,一、教学参考书,1 许甫华编, 线性代数(2)学习指导, 清华大学出版社, 2003 2 俞正光等编, 线性代数与空间解析几何学习指导: 典型 例题精解, 科学出版社, 2003年.,二、教学与辅导,可在网络学堂下载本讲稿 欢迎网络学堂上提问讨论 答疑从第2周起, 每周四下午5:006:00, 理科楼A107 讨论课: 第5、7、9、11、13周,2,三、作业与考试,成绩 作业: 30%: 每周四以班为单位提交上周作业 期末: 70%,四、学习中要注意的问题,提前预习, 体会思路, 掌握基本内容.,在此基础上: 多动手, 勤思考, 深入体会思想方法: 自己 动手推证书中每个结果尽量体会结论、证明的思想方法,用自己喜欢的方式写出简要总结(包括习题中重要结论).,3,五、学习要求,1. 按时上课, 不要迟到.,2. 课堂内可以喝水, 但不许吃东西. 3. 上课期间不许接听手机. 手机必须置于无声状态.,4. 有问题请招手示意或大声提问. 5. 独立完成作业. 6. 及时反映对课程的建议或意见.,4,六、线性代数(1)回顾,研究对象,线性代数的核心: 空间与变换 对空间的认识分局部和整体: 局部: 向量的线性关系 整体: 基, 维数, 内积, 对空间的研究方法: 直接: 研究抽象的向量 间接: 化为坐标来研究,线性代数中变换分两类: 空间结构类与空间变换类 空间结构类: 基变换引起坐标变换 空间变换类: 线性变换,5,思想方法,结构化: 向量组的极大无关组 解空间基础解系 空间的基 标准型: 矩阵相抵, 合同, 相似标准形 二次型的标准形与规范形,研究工具,行列式 矩阵 线性方程组,6,第一讲 一元多项式的带余除法,定义1 设 F 为一个数域, x 是不属于 F 的任一个符号 (或文,字), 则形式表达式,称为 F 上的符号(或文字) x 的一元多项式, 其中,若,则 n 称为其次数, 记为 deg f = n.,我们约定两个多项式相等 它们的次数相等, 且各同次项 系数均相等, 并约定 deg 0 = -.,数域上的符号 (或文字) x 的形式多项式与中学代数中的多项 式 (x 是变量) 没有本质的区别.,例1 设 F 是一个数域, 对任意一个非负整数 n, 有,线性无关.,证明 用反证法, 若不然, 存在不全为零的 a0, a1, anF, 使得 a0+a1x+anxn = 0, 则 F 中任意 n+1 个不同的数 c1, c2, cn+1 是 a0+a1x+anxn 的根, 所以,7,所以 a0 = a1 = an = 0, 与a0, a1, an 不全为零矛盾.,8,数域 F 上多项式全体记为 Fx, 在 Fx 中定义加法和乘法：,定理1 deg ( f g) maxdeg f, deg g.,定理2 deg( fg) = deg f +deg g.,证明 不妨设 f(x) 0, 且 g(x) 0, 则 f(x) 和 g(x) 的首项系 数均 0, 而 f(x)g(x) 的首项系数等于 f(x) 的首项系数乘以 g(x) 的首项系数 0, 故 deg( fg) = deg f +deg g.,定理3 设 F 为一个数域, Fx 中的多项式乘法有消去律.,证明 f(x), g(x), h(x)Fx, 若 f(x)g(x) = f(x)h(x), 且 f(x) 0, 则 g(x) = h(x). 反证法: 若 g(x) h(x), 则 g(x)-h(x) 的 首项系数 0, 而 f(x)(g(x)-h(x) 的首项系数等于 f(x) 的首,9,项系数乘以 g(x) 的首项系数 0, 与 f(x)g(x) = f(x)h(x) 矛盾, 故 g(x) = h(x). 证毕 易证多项式的加法和乘法有结合律, 交换律, 乘法对加法有,分配率. 例如乘法结合律：,10,带余除法定理 设 F 是一个数域, 则 f(x), 0 g(x)Fx, 总存在 q(x), r(x)Fx, 使得 f(x) = g(x)q(x) + r(x), 这里 deg r(x) deg g(x), 且 q(x) 和 r(x) 由 f(x), g(x) 唯一决定.,证明 先证 q(x) 和 r(x) 的存在性. 对 f (x) 的次数 n 用第2 数学归纳法: 若 n 小于 g(x) 的次数, 则取 q(x) = 0, r(x) = f(x) 即可. 否则, 记,这里,令,记,则,由,归纳假设存在 q2(x), r(x)Fx, 使 f1(x) = g(x)q2(x)+r(x),这里 deg r(x) deg g(x), 令,即可.,11,再证 q(x) 和 r(x) 的唯一性. 若 f(x) = g(x)q(x)+r(x) = s(x),+p(x)g(x), 这里 deg r(x) deg g(x), deg s(x) deg g(x),则 g(x)(q(x) p(x) + r(x) s(x) = 0, 若 r(x) s(x) 0, 则 q(x) p(x) 0,deg (r(x) s(x) = deg (q(x) p(x) + deg g(x) deg g(x), 矛盾. 所以 r(x) s(x) = 0, q(x) p(x) = 0.,例2,q(x) =,r(x) =,f (x) = g(x)q(x) + r(x).,12,定义2 设 F 是一个数域, f(x), g(x)Fx, 若存在 q(x) Fx, 使 f(x) = g(x)q(x), 则称 g(x) 能整除 f(x), g(x) 称为 f(x) 的因 式, f(x) 称为 g(x) 的倍式, 记为 g(x)|f(x)；否则称 g(x) 不能 整除 f(x).,整除的简单性质: (1) 自反性: g(x)|g(x).,(2) 传递性: 若 g(x)| f(x), f(x)|h(x), 则 g(x)|h(x).,(3) 若,则,有,(4) 互伴性: 若 g(x)| f(x), 且 f(x)|g(x), 则存在非零常数 c 使 得 f(x) = cg(x).,证明思路,13,定义3 设 F 是一个数域, f(x)Fx, cF, 若 f(c) = 0, 则称,c 为 f(x) 的根或零点.,对 f(x) 和 xc 应用带余除法定理可得下列推论.,推论1 对任意多项式 f(x) 和常数 c, 总存在多项式 q(x), 使 f(x) = q(x)(x-c)+f(c), 且 q(x) 由 f(x), c 唯一决定.,记,由,得,即,14,左边的算式称为综合除法,例3,15,例4 用综合除法把多项式 x4-x3+1 表成 x1 的方幂和(用 综合除法进行运算时, 被除式中所缺的项需补上零, 否则 计算就会出错),解,11 11 11,1,1 1 1 1,1 2 3,1,11 12,1,1,11,3,如果只要求 f(x) 表成 x1 的方幂的和中 x1 前面的系 数, 只需求两步.,16,推论2 常数 c 是多项式 f(x) 的根 存在多项式 q(x), 使得 f(x) = q(x)(x-c).,推论3 设 f(x) 有 m 个不同的根,则,证明 设 c1, c2, cm 是 f(x) 的 m 个不同的根, 由推论2, 存在多项式 q1(x), 使得 f(x) = q1(x)(x-c1), 故 f(c2) = q1(c2)(c2-c1),所以 c2 是 q1(x) 的根, 由推论2, 存在多项式 q2(x), 使 得 q1(x) = q2(x)(x-c2), 余此类推可知, 存在多项式,qm(x), 使得 f(x) = qm(x)(x-c1)(x-c2)(x-cm), 故,17,推论4 任意 n 次非零多项式 f(x) 最多有 n 个不同的根.,证法一 用反证法, 设 c1, c2, cn+1 是 f(x) 的 n+1 个不 同的根, 由推论3可知,故存在非零多项式 q(x)Fx, 使得 f(x) = q(x)(x-c1)(x-c2)(x-cn+1), 由定理2可知 n = deg f(x) = degq(x)+n+1 n, 矛盾.,18,证法二 用反证法, 设 c1, c2, cn+1 是 f(x) 的 n+1 个不 同的根, 记 f(x) = a0+a1x+anxn, 则,所以 f(X) = 0, 矛盾.,19,由推论4我们再一次证明例1, 从而有推论5如下.,推论5 设 F 是一个数域, 次数小于 n 的全体F-系数多项式 (包括零多项式) 所构成的集合 Fnx, 即,定义多项式的加法及数乘两种运算如下:,则 Fnx 是数域 F 上的 n 维线性空间, 而,是,Fnx 的一组基.,20,例5 设 Fnx 是数域 F 上次数小于 n 的多项式 (包括零多 项式)所组成的线性空间. 给定 n 个互不相同的数 a1, a2, an, 令,试证多项式组,是 Fnx 的一组基.,证明 推论5已证 dimFnx = n, 所以只需证明多项式 f1(x), f2(x), , fn(x) 线性无关, 从而构成 Fnx 的基.,设,所以, 当 x = ai 时, 由(*)式可得 ki fi(ai) = 0.,故 ki = 0 (i = 1, 2, n), 所以 f1(x), f2(x), , fn(x) 线性无 关, 从而构成 Fnx 的基.,21,例6 设 a, b, c 为 F 中三个不同的数, 已知用 xa, xb, xc 除多项式 f(x) 的余式分别为三个数 r, s, t, 试求 f(x) 被 g(x) = (xa)(xb)(xc) 除时的余式 r(x). 解法一 因为 (r, s, t) = (r, 0, 0)+(0, s, 0)+(0, 0, t), 先对上述 有两个0的特殊情况求解: 设用 xa, xb, xc 除多项式 f(x) 的余式分别为三个数 r, 0, 0, 试求 f(x) 被 g(x) = (xa)(xb)(xc) 除时的余式 r(x)：由推论3有 (xb)(xc)|r(x), 因为deg r deg g = 3, 所有存在 kF, 使 得 r(x) = k(xb)(xc), 所以 r = r(a) = k(ab)(ac),同理, 设用 xa, xb, xc 除多项式 f(x) 的余式分别为三个 数 0, s, 0, 则 f(x) 被 g(x) = (xa)(xb)(xc) 除时的余式为,22,设用 xa, xb, xc 除多项式 f(x) 的余式分别为三个数 0, 0, t, 则 f(x) 被 g(x) = (xa)(xb)(xc) 除时的余式为,所以, 设 a, b, c 为 F 中三个不同的数, 已知用 xa, xb, xc 除多项式 f(x) 的余式分别为三个数 r, s, t, 则 f(x) 被 g(x) = (xa)(xb)(xc) 除时的余式为,23,解法二 由例5可知 (xa)(xb), (x-a)(x-c), (xb)(x-c) 是 F3x 的