世纪金榜二轮专题辅导与练习专题六第一讲.ppt

专题六 解 析 几 何 第一讲 直 线 与 圆,一、主干知识 1.倾斜角与斜率: (1)直线的倾斜角的范围为_. (2)倾斜角为90的直线的斜率_，倾斜角为 (90)，过(x1,y1),(x2,y2)两点的直线的斜率公式 k=tan =_(x1x2).,0,),不存在,2.直线的方程: (1)点斜式方程：_(其中直线过点P(x0，y0)，斜 率为k). (2)斜截式方程：_(其中直线斜率为k,在y轴上的截距 为b). (3)两点式方程： _(其中直线过点 P1(x1，y1)，点P2(x2，y2)且x1x2,y1y2). (4)截距式方程：_(其中直线在x轴上的截距为a， 在y轴上的截距为b且a0,b0). (5)一般式方程：_(其中A，B不全为零).,y-y0=k(x-x0),y=kx+b,Ax+By+C=0,3.圆的方程: (1)已知圆心坐标为(a，b)，半径为r，则圆的标准方程为 _. (2)圆的一般方程为_(其中_).,(x-a)2+(y-b)2=r2,x2+y2+Dx+Ey+F=0,D2+E2-4F0,二、必记公式 1.点到直线的距离：d= _(其中点P(x0，y0), 直线方程为：Ax+By+C=0). 2.两平行线间的距离：d= _(其中两平行线方程 分别为l1：Ax+By+C1=0,l2：Ax+By+C2=0).,三、重要关系 1.两条直线的位置关系:当不重合的两条直线l1和l2的斜率存在 时,两直线平行l1l2_,两直线垂直l1l2_,两直 线的交点就是以两直线方程组成的方程组的解为坐标的点. 2.直线与圆的位置关系:相交、相切、相离,判断方法有:代数 判断法与几何判断法. 3.圆与圆的位置关系:相交、外切、内切、外离、内含,判断 方法有:代数判断法与几何判断法.,k1=k2,k1k2=-1,1.(2013北京模拟)已知直线l1:ax+(a+1)y+1=0,l2:x+ay+2=0,则“a=-2”是“l1l2”的 (填序号). 充分不必要条件 必要不充分条件 充分必要条件 既不充分也不必要条件 【解析】当a=-2时,(-2)1+(-2+1)(-2)=0,得l1l2,而l1l2时,有a+a(a+1)=0,解得a=-2或a=0, 故“a=-2”是“l1l2”的充分不必要条件. 答案:,2.(2013南通模拟)直线l1:x+2y-4=0与l2:(2-m)x+my-1=0平行,则实数m= . 【解析】因为l1l2,所以 解得m= 答案:,3.(2013陕西高考改编)已知点M(a,b)在圆O:x2+y2=1外,则直线ax+by=1与圆O的位置关系是 . 【解析】点M(a,b)在圆x2+y2=1外a2+b21. 圆心O(0,0)到直线ax+by=1的距离 =圆的半径,故直线与圆相交. 答案:相交,4.(2013新课标全国卷改编)已知点A(1,0),B(1,0),C(0,1),直线y=ax+b(a0)将ABC分割为面积相等的两部分,则b的取值范围是 . 【解析】由题意画出图形,如图(1).,由图可知,直线BC的方程为x+y=1. 可求N(0,b), 因为直线y=ax+b将ABC分割为面积相等的两部分,所以,所以SODN=SCMN, 整理得 所以 所以 所以 即 可以看出,当a增大时,b也增大. 当a+时,b 即b 当a0时,直线y=ax+b,接近于y=b.,当y=b时,如图(2), 所以1-b= 所以b=1- 所以b1- 由上分析可知1- b 答案：,5.(2013郑州模拟)若圆x2+y2+mx- =0与直线y=-1相切，其圆心在y轴的左侧，则m=_. 【解析】圆的方程可化为 由已知得 得m= 或- 又圆心 在y轴左侧，所以有m0, 所以m= 答案：,6.(2013南京模拟)直线2x-y=0与圆C：(x-2)2+(y+1)2=9交于 A，B两点，则ABC(C为圆心)的面积等于_. 【解析】根据条件可知，圆的半径为3，圆心(2，-1)到直线 2x-y=0的距离 则直线被圆截得的弦长为 所以ABC的面积为 答案：,热点考向 1 直线的斜率、方程与位置关系 【典例1】(1)(2013泰安模拟)直线x+(a2+1)y+1=0的倾斜角的取值范围是_. (2)(2013南通模拟)如果直线ax+2y-1=0与直线3x-y-2=0垂直，那么实数a=_. (3)(2013石家庄模拟)在过点(2，1)的所有直线中，距离原点最远的直线的方程是_.,【解题探究】 (1)本题的直线的斜率是_,斜率的取值范围是_. (2)两条斜率都存在的直线互相垂直，则它们的斜率k1,k2之间 有什么关系？ 提示：k1k2=-1. (3)过点(2，1)且距离原点最远的直线具有什么特点？ 提示：与原点和点(2，1)两点连线垂直.,-1,0),【解析】(1)由直线x+(a2+1)y+1=0得该直线的斜率k= 又a2+11,所以k-1,0), 由正切函数的图象和性质得倾斜角的取值范围为 答案： (2)直线ax+2y-1=0的斜率为 直线3x-y-2=0的斜率为3， 因为两直线垂直，所以有 3=-1，所以 答案：,(3)由已知得距离原点最远的直线与原点、点(2，1)两点连线 所得直线垂直. 而过原点、点(2，1)两点连线的直线的斜率为 所以待求直线的斜率为-2，由点斜式得直线方程为y-1=-2 (x-2),即2x+y-5=0. 答案：2x+y-5=0,【方法总结】 1.两直线平行、垂直的判定方法 (1)对斜截式方程. l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2(两直线斜率存在,且不重合), 则有l1l2k1=k2,l1l2k1k2=-1. 若两直线的斜率都不存在,并且两直线不重合,则两直线平行; 若两直线中,一条直线的斜率为0,另一条直线斜率不存在,则两直线垂直. (2)对一般式方程:l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0, 则有l1l2A1B2-A2B1=0,且B1C2-B2C10, l1l2A1A2+B1B2=0.,2.求直线方程的两种常用方法 (1)直接法：选用恰当的直线方程的形式，由题设条件直接求出方程中系数，写出结果. (2)待定系数法：即先由直线满足的一个条件设出直线方程，使方程中含有待定系数，再由题给的条件构建方程，求出待定系数.,【变式训练】设直线l过点A(2,4),它被平行线:x-y+1=0,x-y-1=0所截线段的中点在直线x+2y-3=0上,试求直线l的方程. 【解析】方法一：解方程组 及 得交点坐标 设BC中点为M，则M(1，1), 所以直线l的方程为3x-y-2=0.,方法二：设l被平行线x-y+1=0,x-y-1=0所截线段中点为M，M在直线x+2y-3=0上，则M点可设为(3-2k,k). 又M为所截线段中点，则M到两平行线距离相等，有 解之k=1,则M(1,1), 所以l方程为3x-y-2=0.,方法三：易知l的斜率存在，因为直线l过点A(2，4), 设l方程为y-4=k(x-2). 解方程组 由题意，交点坐标到两直线距离相等, 所以 因此k=3,l的方程为3x-y-2=0.,方法四：由已知可知，直线l被平行直线截得的线段中点在直 线y=x上. 由方程组 解得交点坐标(1，1)，所以可得l方程为3x-y-2=0.,热点考向 2 圆的方程及圆的性质的应用 【典例2】(1)(2013广州模拟)已知圆C经过直线2x-y+2=0与坐标轴的两个交点，且经过抛物线y2=8x的焦点，则圆C的方程为_. (2)已知圆C关于y轴对称，经过点A(1，0)，且被x轴分成两段弧长之比为12,求圆C的方程.,【解题探究】 (1)圆C的方程的求解思路: 求出圆C经过的点分别为_,_和_. 如何根据经过的三个点确定圆C的圆心坐标和半径? 提示：先求两条弦中垂线方程，再求交点即得圆心，而圆心到 三点中任一点的距离即为半径. (2)圆C关于y轴对称，说明圆C的圆心在_. 被x轴分成两段弧长之比为12,则弦所对圆心角的度数为 _.,(-1,0),(0,2),(2，0),y轴上,120,【解析】(1)直线2x-y+2=0与坐标轴的两个交点分别为(-1,0) 和(0,2)，抛物线y2=8x的焦点为(2，0)， 又过(-1，0)和(2，0)的弦的中垂线为 而经过(2,0)和(0，2)的弦的中垂线为y=x, 由 得圆C的圆心坐标为 所以半径 故所求圆的方程为 答案：,(2)因为圆C关于y轴对称，所以圆C的圆心C在y轴上，故可设 C(0，b),圆C的半径为r, 即圆的方程为x2+(y-b)2=r2, 又圆C被x轴分成两段弧长之比为12,经过A(1，0)， 所以圆C的方程为,【互动探究】若题(2)的条件变为:圆心在原点O，且圆周被直 线3x+4y+15=0分成12两部分，则圆的方程如何？ 【解析】设直线与圆相交于A，B两点，因为圆周被直线 3x+4y+15=0分成12两部分，所以AOB=120. 而圆心到直线3x+4y+15=0的距离 在AOB中，可求得OA=6. 所以所求圆的方程为x2+y2=36.,【方法总结】求圆的方程的两种方法 (1)直接法：通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，数形结合直接求出圆心坐标、半径，进而求出圆的方程. (2)待定系数法：先设出圆的方程，再由条件构建系数满足的方程(组)求得各系数，进而求出圆的方程.,【变式备选】(2013江西高考)若圆C经过坐标原点和点(4， 0)，且与直线y=1相切，则圆C的方程是_. 【解析】设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2，因为圆C经过点(0,0) 和点(4，0)，所以a=2，又圆与直线y=1相切，可得1-b=r，故圆 的方程为(x-2)2+(y-b)2=(1-b)2，将(0,0)代入解得 所以圆的方程为 答案：,热点考向 3 直线与圆的位置关系 【典例3】(1)(2013湖北高考)已知圆O：x2+y2=5，直线l： xcos +ysin =1(0 ).设圆O上到直线l的距离等于 1的点的个数为k，则k=_. (2)如图所示，已知以点A(-1，2)为圆心的圆与直线l1:x+2y+7 =0相切.过点B(-2，0)的动直线l与圆A相交于M，N两点，Q是MN 的中点，直线l与l1相交于点P. 求圆A的方程; 当MN= 时，求直线l的方程; 是否为定值？如果是， 求出其定值；如果不是，请说明理由.,【解题探究】 (1)确定k的三个步骤： 求圆心O到直线l的距离为_. 判断直线l与圆O的位置关系为_. 确定k的值为_. (2)以点A(-1，2)为圆心的圆与直线l1:x+2y+7=0相切，则圆 A的半径R=_. 直线l的斜率存在吗？是否需要分类讨论？ 提示：不一定存在，需分斜率不存在和存在两种情况讨论.,1,相交,4,与 有什么关系？判断 是否为定值的关 键是什么？ 提示： 判断 是否为定值的关键是将P点 的坐标表示出来. 【解析】(1)半径为 圆心到直线l的距离 故数形结合得k=4. 答案：4,(2)设圆A的半径为R. 因为圆A与直线l1:x+2y+7=0相切，所以 所以圆A的方程为(x+1)2+(y-2)2=20. 当直线l与x轴垂直时，易知直线x=-2符合题意; 当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=k(x+2),即kx- y+2k=0.连结AQ，则AQMN. 因为 所以 所以直线l的方程为3x-4y+6=0. 所以所求直线l的方程为x=-2或3x-4y+6=0.,因为AQBP,所以 所以 当直线l与x轴垂直时, 得 所以 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k(x+2).,【方法总结】 1.直线和圆的位置关系的判断方法 直线l:Ax+By+C=0(A2+B20)与圆:(x-a)2+(y-b)2=r2(r0)的位置关系如表.,2.弦长与切线长的计算方法 (1)弦长的计算：直线l与圆C相交于A，B两点，则 (其中d为弦心距). (2)切线长的计算：过点P向圆引切线PA，则PA= (其中C为圆心). 3.圆上的点到直线的距离问题的求解策略 (1)转化为两平行线间的距离以及直线与圆的交点个数问题 求解. (2)转化为圆心到直线的距离与半径之间的关系问题. (3)直接设点，利用方程思想解决.,【变式训练】已知圆C：x2+y2+2x+4y-30和直线l：x+y+10, 则圆C上到直线l的距离为 的点共有_个. 【解析】方法一：圆C的方程：x2+y2+2x+4y-30可化为 (x+1)2+(y+2)28, 所以圆C的圆心坐标为(-1，-2)，半径为 设与直线l：x+y+10平行且距离为 的直线方程为x+y+m0, 由 知：m-1或m3. 当m-1时，圆心到直线x+y-10的距离 直线与圆相切，满足要求的点有1个；,当m3时，圆心到直线x+y+30的距离 直线与圆相交，满足要求的点有2个. 故满足要求的点共有3个. 方法二：圆C的方程：x2+y2+2x+4y-30可化为 (x+1)2+(y+2)28, 所以圆C的圆心坐标为(-1，-2)，半径为 圆心C到直线l的距离 故与直线l平行且距离为 的两条直线l1，l2中，一条与圆C相 交，一条与圆C相切，故圆C上到直线l的距离为 的点共有3个. 答案：3,【典例】已知圆C：(x+1)2+y2=8. (1)设点Q(x,y)是圆C上一点，求x+y的取值范围. (2)在直线x+y-7=0上找一点P(m,n)，使得过该点所作圆C的切线段最短.,与圆有关的最值问题,【解题探究】 (1)若令x+y=t,则该直线与圆C有什么关系？ 提示：该直线与圆相交或相切. (2)要使切线段最短，则点P应具有什么特点？ 提示：点P为过圆心C向直线x+y-7=0所作垂线的垂足.,【解析】(1)设x+y=t，因为Q(x,y)是圆上的任意一点，所以该 直线与圆相交或相切，即 即x+y的取值范围为-5,3. (2)因为圆心到直线x+y-7=0的距离 所以直线与圆相离，因为过点P作的切线长、圆心与切点的连 线、点P与圆心的连线，组成一直角三角形且半径为一定值， 所以只有当过圆心向直线x+y-7=0作垂线，过其垂足作的切线 段最短，其垂足即为所求. 设过圆心作直线x+y-7=0的垂线为x-y+c=0. 又因为该线过圆心(-1,0)，所以-1-0+c=0，即c=1， 而x+y-7=0与x-y+1=0的交点为(3,4)，该点即为所求.,【方法总结】与圆有关的最值问题的求解策略 与圆有关的最值问题求解时需根据待求值及式子的几何意义，充分利用几何图形的性质,数形结合求解.,【变式训练】(2013山东高考)过点(3，1)作圆(x2)2+ (y2)2=4的弦，其中最短的弦长为_. 【解析】 半径为r=2，圆心为(2,2)，圆心到点(3,1)的距离 所求最短弦长为 答案：,转化与化归思想 解决与直线、圆有关的最值问题 【思想诠释】 1.主要类型：(1)圆外一点与圆上任一点间距离的最值.(2)直 线与圆相离，圆上的点到直线的距离的最值.(3)过圆内一定点 的直线被圆截得的弦长的最值.(4)直线与圆相离，过直线上一 点作圆的切线，切线长的最小值问题.(5)两圆相离，两圆上点 的距离的最值.(6)已知圆上的动点Q(x,y)，求与点Q的坐标有 关式子的最值,如求ax+by, 等的最值，转化为直线与圆 的位置关系.,2.解题思路： (1)数形结合法：一般结合待求距离或式子的几何意义，数形结合转化为直线与直线及直线与圆的位置关系求解. (2)函数法：引入变量构建函数，转化为函数的最值求解. 3.注意事项：(1)准确理解待求量的几何意义，准确转化为直线与直线及直线与圆的相应的位置关系.(2)涉及切线长的最值时，要注意切线，圆心与切点的连线以及圆心与切线段另一端点的连线组成一直角三角形.,【典例】 (2013武汉模拟)已知P是直线l:3x-4y+11=0上的动点，PA，PB是圆x2+y2-2x-2y+1=0的两条切线，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值是_.,【审题】分析