2020版高考数学一轮复习第3章三角函数、解三角形第5节三角恒等变换教学案理新人教版.docx

第五节三角恒等变换考纲传真1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式.3.会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.4.能运用上述公式进行简单的三角恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆).1两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin()sin_cos_cos_sin_；(2)cos()cos_cos_sin_sin_；(3)tan().2二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 22sin cos ；(2)cos 2cos2sin22cos2112sin2；(3)tan 2.3辅助角公式asin bcos sin()其中sin ，cos .常用结论1公式的常用变式tan tan tan()(1tan tan )；sin 2；cos 2.2降幂公式：sin2；cos2；sin cos sin 2.3升幂公式：1cos 2cos2；1cos 2sin2；1sin 2；1sin 2.基础自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)存在实数，使等式sin()sin sin 成立()(2)公式asin xbcos xsin(x)中的取值与a，b的值无关()(3)cos 2cos2112sin2.()(4)当是第一象限角时，sin .()答案(1)(2)(3)(4)2(教材改编)已知cos ，是第三象限角，则cos为()A.BC. DAcos ，是第三象限角，sin .cos(cos sin ) .故选A.3已知sin cos ，则sin 2()A BC. D.Asin cos ，12sin cos ，sin 21，故选A.4函数 f(x)sin xcos x的最小值为_2函数f(x)2sin的最小值是2.5若锐角，满足tan tan tan tan ，则_.由已知可得，即tan().又(0，)，所以.三角函数的给值求值问题【例1】(1)若，且3cos 2sin，则sin 2的值为()AB.C D.(2)(2018江苏高考)已知，为锐角，tan ，cos().求cos 2的值；求tan()的值(1)C由3cos 2sin可得3(cos2sin2)(cos sin )，又由可知cos sin 0，于是3(cos sin )，所以12sin cos ，故sin 2.故选C.(2)解因为tan ，tan ，所以sin cos .因为sin2cos21，所以cos2，因此cos 22cos21.因为，为锐角，所以(0，). 又因为cos()，所以sin()，因此tan()2.因为tan ，所以tan 2，因此，tan()tan2().规律方法已知三角函数值，求三角函数式值的一般思路(1)先化简所求式子.(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手).(3)将已知条件或已知条件的变形式代入所求式子，化简求值. (1)已知角为锐角，若cos，则sin的值为()A. B.C D(2)已知cossin ，则sin的值是()A B.C D.(1)B(2)C(1)是锐角，cos，sin，sin2sincos2，故选B.(2)cossin ，cos sin ，cos sin ，即sin，sinsinsin，故选C.三角函数的给值求角问题【例2】(1)(2019成都模拟)若sin 2，sin()，且，则的值是()A. B.C.或 D.或(2)已知，(0，)，且tan()，tan ，则2的值为_(1)A(2)(1)因为，所以2，又sin 2，所以2，故cos 2.又，所以，又sin()，故cos().所以cos()cos2()cos 2 cos()sin 2sin()，且，故.故选A.(2)tan()，tan ，tan tan().tan(2)tan()1.又tan ，tan ，(0，)，0，2，2.规律方法1.解决给值求角问题的一般步骤(1)求角的某一个三角函数值；(2)确定角的范围；(3)根据角的范围求出要求的角.2.在求角的某个三角函数值时，应注意根据条件选择恰当的函数，尽量做到所选函数在确定角的范围内为单调函数. (1)已知A，B均为钝角，sin2cos，且sin B，则AB()A. B.C. D.(2)定义运算adbc.若cos ，0，则_.(1)C(2)(1)因为sin2cos，所以cos Asin A，即sin A，解得sin A.因为A为钝角，所以cos A.由sin B，且B为钝角，可得cos B.所以cos(AB)cos Acos Bsin Asin B.又A，B都为钝角，即A，B，所以AB(，2)，故AB，故选C.(2)根据题意得，sin cos cos sin ，即sin()，又0，0，sin ，cos()，sin sin()sin cos()cos sin()，又为锐角，.三角函数的化简求值【例3】(1)已知(0，)，化简：_.(2)已知cos，若x，求的值(1)cos 原式.因为(0，)，所以，所以cos 0，所以原式cos2sin2cos .(2)解由x，得x2.又cos，所以sin，所以cos xcoscoscos sinsin ，从而sin x，tan x7.则.规律方法(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角，二看名，三看式子结构与特征.(2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点.(3)主要手段有：化弦、通分、倍角公式、辅助角公式等. (1)化简：_.(2)2sin 50sin 10(1tan 10)_.(1)cos 2(2)(1)原式cos 2.(2)原式sin 80sin 80sin 80sin 80cos 10.1.(2018全国卷)若sin ，则cos 2()A.B.C DBcos 212sin2122.2(2016全国卷)若cos，则sin 2()A. B.C DD因为cos，所以sin 2coscos 22cos2121.3(2015全国卷)sin 20cos 10cos 160sin 10()A B.C D.Dsin 20cos 10cos 160sin 10sin 20cos 10cos 20sin 10sin(2010)sin 30，故选D.4(2014全国卷)设，且tan ，则()A3 B2C3 D2B由tan 得，即sin cos cos cos sin ，sin()cos sin.，由sin()sin，得，2.5(2014全国卷)函数f(x)sin(x2)2sin cos(x)的最大值为_1f(x)sin(x2)2sin cos(x)sin(x)2sin cos(x)sin(x)cos cos(x)sin 2sin cos(x)sin(x)cos cos(x)sin sin(x)sin x，f(x)的最大