2020版高考数学第2章导数的应用（第3课时）导数与函数的综合问题最值教学案理北师大版.docx

第3课时导数与函数的综合问题利用导数解决不等式的有关问题考法1证明不等式【例1】(2018郑州二模)已知函数f(x)ln x2ax1(aR)(1)讨论函数g(x)x2f(x)的单调性；(2)若a，证明：|f(x)1|.解(1)由题意知函数yg(x)的定义域为(0，)，g(x)x2ln x2ax1，则g(x)2x2a(x0)，记h(x)2x22ax1，当a0时，因为x0，所以h(x)0，故函数g(x)在(0，)上递增；当0a时，因为4(a22)0，所以h(x)0，故函数g(x)在(0，)上递增；当a时，由g(x)0，解得x，所以函数g(x)在区间上递减，同理可得函数g(x)在区间，上递增(2)证明：当a时，设H(x)f(x)1ln xx，故H(x)，故H(x)0，得x1，由H(x)0，得0x1，所以H(x)maxf(1)11，所以|H(x)|min1.设G(x)，则G(x)，由G(x)0，得xe，由G(x)0，得0xe，故G(x)maxG(e)1，所以G(x)max|H(x)|min，所以|f(x)1|.考法2由不等式恒(能)成立求参数的范围【例2】已知函数f(x).(1)如果当x1时，不等式f(x)恒成立，求实数k的取值范围；(2)若存在x01，e，使不等式f(x0)成立，求实数k的取值范围解(1)当x1时，k恒成立，令g(x)(x1)，则g(x).再令h(x)xln x(x1)，则h(x)10，所以h(x)h(1)1，所以g(x)0，所以g(x)为增函数，所以g(x)g(1)2，故k2，即实数k的取值范围是(，2(2)当x1，e时，k有解，令g(x)(x1，e)，由(1)题知，g(x)为增函数，所以g(x)maxg(e)2，所以k2，即实数k的取值范围是.规律方法1.利用导数证明含“x”不等式方法，即证明：f(x)g(x).,法一：移项，f(x)g(x)0，构造函数F(x)f(x)g(x)，转化证明F(x)min0，利用导数研究F(x)单调性，用上定义域的端点值.,法二：转化证明：f(x)ming(x)max.,法三：先对所求证不等式进行变形，分组或整合，再用法一或法二.2.利用导数解决不等式的恒成立问题的策略,(1)首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参数不等式，从而求出参数的取值范围.,(2)也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题. 设f(x)xln x，g(x)x3x23.(1)如果存在x1，x20,2使得g(x1)g(x2)M成立，求满足上述条件的最大整数M；(2)如果对于任意的s，t，都有f(s)g(t)成立，求实数a的取值范围解(1)存在x1，x20,2使得g(x1)g(x2)M成立，等价于g(x1)g(x2)maxM.由g(x)x3x23，得g(x)3x22x3x.令g(x)0得x0，或x，令g(x)0得0x，又x0,2，所以g(x)在区间上递减，在区间上递增，所以g(x)ming，又g(0)3，g(2)1，所以g(x)maxg(2)1.故g(x1)g(x2)maxg(x)maxg(x)minM，则满足条件的最大整数M4.(2)对于任意的s，t，都有f(s)g(t)成立，等价于在区间上，函数f(x)ming(x)max，由(1)可知在区间上，g(x)的最大值为g(2)1.在区间上，f(x)xln x1恒成立等价于axx2ln x恒成立设h(x)xx2ln x，h(x)12xln xx，令m(x)xln x，由m(x)ln x10得x.即m(x)xln x在上是增函数，可知h(x)在区间上是减函数，又h(1)0，所以当1x2时，h(x)0；当x1时，h(x)0.即函数h(x)xx2ln x在区间上递增，在区间(1,2)上递减，所以h(x)maxh(1)1，所以a1，即实数a的取值范围是1，)利用导数解决函数的零点问题考法1判断、证明或讨论函数零点的个数【例3】设f(x)x2mln x，g(x)x2(m1)x.当m0时，讨论函数f(x)与g(x)图像的交点个数解令F(x)f(x)g(x)x2(m1)xmln x，x0，问题等价于求函数F(x)的零点个数当m0时，F(x)x2x，x0，有唯一零点；当m0时，F(x)，当m1时，F(x)0，函数F(x)为减函数，注意到F(1)0，F(4)ln 40，所以F(x)有唯一零点当m1时，0x1或xm时，F(x)0；1xm时，F(x)0，所以函数F(x)在(0,1)和(m，)上递减，在(1，m)上递增，注意到F(1)m0，F(2m2)mln(2m2)0，所以F(x)有唯一零点当0m1时，0xm或x1时，F(x)0；mx1时，F(x)0，所以函数F(x)在(0，m)和(1，)上递减，在(m,1)上递增，易得ln m0，所以F(m)(m22ln m)0，而F(2m2)mln(2m2)0，所以F(x)有唯一零点综上，函数F(x)有唯一零点，即两函数图像有一个交点考法2已知函数的零点个数求参数的范围【例4】已知函数f(x)2ln xx2ax(aR)(1)当a2时，求f(x)的图像在x1处的切线方程；(2)若函数g(x)f(x)axm在上有两个零点，求实数m的取值范围解(1)当a2时，f(x)2ln xx22x，则f(x)2x2，切点坐标为(1,1)，切线的斜率kf(1)2，则函数f(x)的图像在x1处的切线方程为y12(x1)，即y2x1.(2)g(x)f(x)axm2ln xx2m，则g(x)2x，x，由g(x)0，得x1.当x1时，g(x)0，函数g(x)递增，当1xe时，g(x)0，函数g(x)递减，故当x1时，函数g(x)取得极大值g(1)m1，又gm2，g(e)m2e2，g(x)f(x)axm在上有两个零点需满足条件解得1m2.故实数m的取值范围是.考法3与函数零点有关的证明问题【例5】(2019武汉模拟)已知a为实数，函数f(x)ex2ax.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若函数f(x)有两个不同的零点x1，x2(x1x2)，()求实数a的取值范围；()证明：x1x22.解(1)f(x)ex2a.当a0时，f(x)0，函数f(x)在R上递增当a0时，由f(x)ex2a0，得x2ln a.若x2ln a，则f(x)0，函数f(x)在(2ln a，)上递增；若x2ln a，则f(x)0，函数f(x)在(，2ln a)上递减(2)()由(1)知，当a0时，f(x)在R上递增，没有两个不同的零点当a0时，f(x)在x2ln a处取得极小值，所以f(2ln a)eln aa(2ln a)0，得a，所以a的取值范围为.()由ex2ax0，得x2ln(ax)ln aln x，即x2ln xln a.所以x12ln x1x22ln x2ln a.令g(x)x2ln x(x0)，则g(x)1.当x1时，g(x)0；当0x1时，g(x)0.所以g(x)在(0,1)上递减，在(1，)上递增，所以0x11x2.要证x1x22，只需证x22x11.因为g(x)在(1，)上递增，所以只需证g(x2)g(2x1)因为g(x1)g(x2)，所以只需证g(x1)g(2x1)，即证g(x1)g(2x1)0.令h(x)g(x)g(2x)x2ln x2x2ln(2x)2x2ln xln(2x)，则h(x)2.因为x(2x)2，当且仅当x1时等号成立，所以当0x1时，h(x)0，即h(x)在(0,1)上递减，所以h(x)h(1)0，即g(x1)g(2x1)0，所以x1x22得证规律方法利用导数研究方程根的方法(1)研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等.(2)根据题目要求，画出函数图像的走势规律，标明函数极(最)值的位置.(3)可以通过数形结合的思想去分析问题，使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现. (2019南京模拟)设函数f(x)kln x，k0.(1)求f(x)的单调区间和极值；(2)证明：若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1，上仅有一个零点解(1)由f(x)kln x(k0)，得x0且f(x)x.由f(x)0，解得x(负值舍去)f(x)与f(x)在区间(0，)上的变化情况如下表：x(0，)(，)f(x)0f(x)所以，f(x)的递减区间是(0，)，递增区间是(，)f(x)在x处取得极小值f().(2)证明：由(1)知，f(x)在区间(0，)上的最小值为f().因为f(x)存在零点，所以0，从而ke，当ke时，f(x)在区间(1，)上递减，且f()0，所以x是f(x)在区间(1，上的唯一零点当ke时，f(x)在区间(0，)上递减，且f(1)0，f()0，所以f(x)在区间(1，上仅有一个零点综上可知，若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1，上仅有一个零点1(2018全国卷)已知函数f(x)exax2.(1)若a1，证明：当x0时，f(x)1；(2)若f(x)在(0，)只有一个零点，求a.解(1)证明：当a1时，f(x)1等价于(x21)ex10.设函数g(x)(x21)ex1，则g(x)(x22x1)ex(x1)2ex.当x1时，g(x)0，所以g(x)在(0，)递减而g(0)0，故当x0时，g(x)0，即f(x)1.(2)设函数h(x)1ax2ex.f(x)在(0，)只有一个零点当且仅当h(x)在(0，)只有一个零点()当a0时，h(x)0，h(x)没有零点；()当a0时，h(x)ax(x2)ex.当x(0,2)时，h(x)0；当x(2，)时，h(x)0.所以h(x)在(0,2)递减，在(2，)递增故h(2)1是h(x)在(0，)的最小值若h(2)0，即a，h(x)在(0，)没有零点；若h(2)0，即a，h(x)在(0，)只有一个零点；若h(2)0，即a，由于h(0)1，所以h(x)在(0,2)有一个零点由(1)知，当x0时，exx2，所以h(4a)11110，故h(x)在(2,4a)有一个零点因此h(x)在(0，)有两个零点综上，f(x)在(0，)只有一个零点时，a.2.(2017全国卷)已知函数f(x)x1aln x.(1)若f(x)0，求a的值；(