高考数学总复习直线、平面、简单几何体和空间向量第54讲空间几何体的表面积与体积练习理新人教A版.docx

第54讲空间几何体的表面积与体积夯实基础【p124】【学习目标】熟记棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积公式，运用这些公式解决一些简单问题【基础检测】1圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则圆锥的表面积为()A(1)B4C3D5【解析】圆锥的轴截面是边长为2的正三角形ABC，圆锥的底面半径r1，母线长l2；表面积Sr22rl23.【答案】C2某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为_【解析】由三视图可知：该三棱锥的底面三角形的底边为1，高为1，三棱锥的高为1.该三棱锥的体积V11.【答案】3已知空间四面体SABC中，SA，SB，SC两两垂直且SASBSC2，那么四面体SABC的外接球的表面积是()A12B24C36D48【解析】以SA，SB，SC两两垂直的线段分别作为正方体的三条棱，则此正方体的外接球球心和此四面体的外接球的球心是同一点，正方体的外接球的球心在体对角线的中点处，正方体的体对角线长为：2，球的半径为，故球的表面积为4()212.【答案】A4在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，BAD60，侧棱PA底面ABCD，PA2，E为AB的中点，则四面体PBCE的体积为_【解析】SEBC，VPEBC2.【答案】5一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的表面积与侧面积的比是_【解析】设正方形的边长为a，圆柱的底面半径为r，则2ra，r，所以圆柱的全面积为S全2a2a2，故侧面积与全面积之比为.【答案】【知识要点】柱、锥、台和球的侧面积和体积面积体积圆柱S侧_2rl_Vr2h圆锥S侧_rl_Vr2h圆台S侧(r1r2)lVh(rr1r2r)直棱柱S侧chVS底h正棱锥S侧_ch_VS底h正棱台S侧(cc)hV(S上S下)h球S球面_4R2_V球_R3_表中S表示面积，c，c分别表示上、下底面周长，h表示高，h表示斜高，l表示侧棱长典例剖析【p124】考点1空间几何体的表面积计算(1)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A128B126C146D168【解析】根据三视图，画出空间结构体如图ECD的底为DC4，高为B1C2，则SSED1DSEC1D1SECC1SECDS矩形CC1D1DED1D1DC1D1B1C1CC1EC1DCB1CCC1C1D1224222422424248128.【答案】A(2)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A162B16C122D12【解析】由三视图可画出几何体的直观图为多面体ABCDEF，放在长方体中如图所示，则几何体的表面由四个全等且直角边长分别为2，3的直角三角形，两个边长分别为，2的等腰三角形及一个边长为2的正方形构成，故几何体的表面积为42324162.【答案】A(3)某几何体由圆柱挖掉半个球和一个圆锥所得，三视图中的正视图和侧视图如图所示，求该几何体的表面积为()A60 B75 C90 D93【解析】该图形的表面积为圆柱的侧面积、圆锥的侧面积、球的表面积一半，则其面积分别为：圆柱侧面积：S16742，圆锥侧面积：圆锥的母线长为：5，面积S26515，半个球面的面积：S34r218，所以表面积为75.【答案】B考点2空间几何体的体积计算(1)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为()A.B.C1 D.【解析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个如图所示的三棱锥D1ABE，其底面ABE的面积为S222，高为h2，所以该三棱锥的体积为VSh22.【答案】D(2)湖面上漂着一个小球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下了一个直径为12 cm，深2 cm的空穴，则该球的体积是_cm3.【解析】设球的半径为r，画出球与水面的位置关系图，如图由勾股定理可知，r2(r2)236，解得r10.所以体积为r31 000.【答案】(3)若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是()A202 B40C20 D20【解析】由三视图可知，该几何体是由一个四棱柱去掉半个球形成的组合体，其中，棱柱的底面为对角线为2的正方形，则其边长为a2，高为h5，球的直径为正方形的边长，则其半径R1，据此可知，组合体的体积V2251320.【答案】C【点评】思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整在如图所示的多面体ABCDE中，AB平面ACD，DE平面ACD，ABCD1，AC，ADDE2，G为AD的中点(1)在线段CE上找一点F，使得BF平面ACD，并加以证明；(2)求三棱锥GBCE的体积【解析】(1)由已知AB平面ACD，DE平面ACD，ABDE.设F是CE的中点，H是CD的中点，连接BF，FH，AH，FHED，FHED.AB1，DE2，ABDE，四边形ABFH是平行四边形，BFAH.AH平面ACD，BF平面ACD，BF平面ACD.(2)DE平面ACD，平面ABED平面ACD，在平面ACD内，作CPAD于P，平面ABED平面ACDAD，CP平面ABED，CP为三棱锥CBGE的高VGBCEVCBGESBGECP，且SBGES梯形ABEDSABGSEDG.由三角形的等面积法得CP，VGBCEVCBGESBGECP.考点3与球有关的切、接问题(1)将半径为3，圆心角为的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的内切球的体积为()A. B. C. D2【解析】设圆锥的底面半径为r，高为h，则2r3，r1，h2，设内切球的半径为R，则，R，VR3.【答案】A(2)某几何体的三视图如图所示，则这个几何体外接球的表面积为()A20 B40 C50 D60【解析】由三视图得该几何体是一个直三棱柱ABCA1B1C1，其中AB3，AC4，AA15，这个几何体外接球是棱长为3，4，5的长方体的外接球，这个几何体外接球的半径R，这个几何体外接球的表面积S4R2450.【答案】C方法总结【p125】1多面体的表面积是各个面的面积之和圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，其表面积为侧面积与底面积之和；2组合体的表面积要注意重合部分的处理；3三棱锥体积的计算用等体积法计算时，三棱锥的顶点和底面是相对的，可以变换顶点和底面，使体积计算容易；4求空间几何体的体积除利用公式法外，还常用分割法、补体法、转化法等，它们是解决一些不规则几何体体积计算问题的常用方法走进高考【p125】1(2018天津)已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，除面ABCD外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M(如图)，则四棱锥MEFGH的体积为_【解析】连接AD1，CD1，B1A，B1C，AC，因为E，H分别为AD1，CD1的中点，所以EHAC，EHAC，因为F，G分别为B1A，B1C的中点，所以FGAC，FGAC，所以EHFG，EHFG，所以四边形EHGF为平行四边形，又EGHF，EHHG，所以四边形EHGF为正方形，又点M到平面EHGF的距离为，所以四棱锥MEFGH的体积为.【答案】2(2018全国卷)已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为，SA与圆锥底面所成角为45，若SAB的面积为5，则该圆锥的侧面积为_【解析】因为母线SA，SB所成角的余弦值为，所以母线SA，SB所成角的正弦值为，因为SAB的面积为5，设母线长为l，所以l25，l280，因为SA与圆锥底面所成角为45，所以底面半径为lcosl，因此圆锥的侧面积为rll240.【答案】403(2018全国卷)设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC为等边三角形且其面积为9，则三棱锥DABC体积的最大值为()A12B18C24D54【解析】如图所示，点M为ABC的重心，E为AC中点，当DM平面ABC时，三棱锥DABC体积最大(O是球心)，此时，ODOBR4，SABCAB29，AB6，BMBE32，RtABC中，有OM2，DMODOM426，(VDABC)max9618.【答案】B考点集训【p242】A组题1某几何体的三视图如图所示，则其表面积为()A4 B3 C2 D【解析】由题意，根据给定的几何体的三视图可知，该几何体表示一个半径为1的半球，所以其表面积为S4R2R23123.【答案】B2如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱BC上的一点，则三棱锥D1B1C1E的体积等于()A.B. C.D.【解析】VD1B1C1ESB1C1ED1C1111.【答案】D3设矩形边长为a，b(ab)，将其按两种方式卷成高为a和b的圆柱筒，以其为侧面的圆柱的体积分别为Va和Vb，则()AVaVb BVab，所以VaVb.【答案】B4已知一个表面积为44的长方体，且它的长、宽、高的比为321，则此长方体的外接球的体积为()A. B. C.D.【解析】设长方体的长、宽、高分别为3x，2x，x，则23x2x23xx22xx44，解得x22，即x，即长方体的棱长分别为3，2，所以长方体的对角线长为2，所以球的半径为2R2，即R，所以球的体积为VR3()3.【答案】D5一个几何体的三视图及其尺寸如下图所示，其中正视图是直角三角形，侧视图是半圆，俯视图是等腰三角形，则这个几何体的表面积是_【解析】此几何体是半个圆锥，直观图如下图所示，先求出圆锥的侧面积S圆锥侧rl224，S底224，SSAB424，所以S表42(1)4.【答案】2(1)46已知所有棱长都相等的三棱锥的各个顶点同在一个半径为的球面上，则该三棱锥的表面积为_【解析】构造一个各棱长为a的正方体，连接各面的对角线可作出一个正四面体，而此四面体的外接球即为正方体的外接球此球的直径为正方体的体对角线，即2，由勾股定理得到3a212a2，三棱锥的边长即为正方体的面对角线长为：2，所以该锥体表面积S4(2)28.【答案】87已知某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积为_cm3.【解析】此几何体为上下结构，上面是正四棱柱，底面为边长为4的正方形，侧棱长为2，下面是个正棱台，下底面为边长为8的正方形，高为3，所以几何体的体积为正四棱柱的体积加上棱台的体积，V1底面积高，V2h，V4423144.【答案】1448(1)某圆锥的侧面展开图是圆心角为120，面积为3的扇形，求该圆锥的表面积和体积(2)已知直三棱柱ABCA1B1C1的底面是边长为的正三角形，且该三棱柱的外接球的表面积为12，求该三棱柱的体积【解析】(1)设圆锥的底面半径、母线长分别为r，l，则l23，l2r3，解得r1，l3，所以圆锥的高为2，得表面积是34，体积是122.(2)设球半径为R，上，下底面中心设为M，N，由题意，外接球心为MN的中点，设为O，则OAR，由4R212，得ROA，又易得AM，由勾股定理可知，OM1，所以MN2，即棱柱的高h2，所以该三棱柱的体积为()223.B组题1九章算术是我国古代的数学名著，书中提到一种名为“刍甍”的五面体，如图所示，四边形ABCD是矩形，棱EFAB，AB4，EF2，ADE和BCF都是边长为2的等边三角形，则这个几何体的体积是()A.B.2C.D.【解析】过F作FO平面ABCD，垂足为O，取BC的中点P，连结PF，过F作FQAB，垂足为Q，连结OQ.ADE和BCF都是边长为2的等边三角形，OP(ABEF)1，PF，OQBC1，OF，采用分割的方法，过F，E做一个与平面ABCD垂直的平面，这个平面把几何体分割成三部分，如图，包含1个三棱柱EMNFQH，两个全等的四棱锥：EAMND，FQBCH，这个几何体的体积：VVEMNFQH2VFQBCHSQFHMQ2S矩形QBCHFO22212.【答案】C2在三棱锥ABCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，ABC，ACD，ADB的面积分别为，则该三棱锥外接球的表面积为()A2 B6C4 D24【解析】设相互垂直的三条侧棱AB，AC，AD分别为a，b，c，则ab，bc，ac，解得a，b1，c.所以三棱锥ABCD的外接球的直径2R，则其外接球的表面积S4R26.【答案】B3如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为6，则以正方体ABCDA1B1C1D1的中心为顶点，以平面AB1D1截正方体外接球所得的圆为底面的圆锥的全面积为_【解析】设O为正方体外接球的球心，则O也是正方体的中心，O到平面AB1D1的距离是体对角线长的，即为.又球的半径是正方体对角线长的一半，即为3，由勾股定理可知，截面圆的半径为2，圆锥底面面积为S1(2)224，圆锥的母线即为球的半径3，圆锥的侧面积为S22318.因此圆锥的全面积为SS2S11824(1824).【答案】(1824)4一块边长为12 cm的正三角形薄铁片，按如图所示设计方案，裁剪下三个全等的四边形(每个四边形中有且只有一组对角为直角)，然后用余下的部分加工制作成一个“无盖”的正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)形容器(1)请将加工制作出来的这个“无盖”的正三棱柱形容器的容积V表示为关于x的函数，并标明其定义域；(2)若加工人员为了充分利用边角料，考虑在加工过程中，使用裁剪下的