高考数学一轮复习第七章不等式第三节基本不等式及其应用教案文苏教版.docx

第三节 基本不等式及其应用1基本不等式(1)基本不等式成立的条件：a0，b0.(2)等号成立的条件：当且仅当ab.2几个重要的不等式(1)a2b2 2ab(a，bR)；(2)(a，b同号)；(3)ab2(a，bR)；(4)2(a，bR)3算术平均数与几何平均数设a0，b0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数4利用基本不等式求最值问题已知x0，y0，则(1)如果xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最小值是2(简记：积定和最小)(2)如果xy是定值q，那么当且仅当xy时，xy有最大值是(简记：和定积最大)小题体验1(2019南京调研)已知m，n均为正实数，且m2n1，则mn的最大值为_解析：m2n1，m2n2，即mn，当且仅当m2n时，mn取得最大值.答案：2若实数x，y满足xy1，则x22y2的最小值为_解析：x22y2x2(y)22x(y)2，所以x22y2的最小值为2.答案：23若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是_m2.解析：设一边长为x m，则另一边长可表示为(10x)m，由题知0x10，则面积Sx(10x)225，当且仅当x10x，即x5时等号成立，故当矩形的长与宽相等，且都为5 m时面积取到最大值25 m2.答案：251使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可2“当且仅当ab时等号成立”的含义是“ab”是等号成立的充要条件，这一点至关重要，忽略它往往会导致解题错误3连续使用基本不等式求最值，要求每次等号成立的条件一致小题纠偏1(2019启东检测)函数yx(x1)的最小值为_解析：x1，x10，yx(x1)1217，当且仅当x4时取等号答案：72函数f(x)x的值域为_答案：(，22，)典例引领1(2018启东期末)设正实数a，b满足ab1，则的最小值为_解析：ab1，4248，当且仅当，即a，b时等号成立，的最小值为8.答案：82(2019常州调研)若实数x满足x4，则函数f(x)x的最小值为_解析：因为x4，所以x40，所以f(x)xx442 42，当且仅当x4，即x1时取等号答案：23(2018徐州调研)已知实数x，y满足x2y23，|x|y|，则的最小值为_解析：因为(2xy)2(x2y)25(x2y2)15，所以令(2xy)2t，(x2y)2，所以t15，(t)(54)，当且仅当t5，10时取等号，所以的最小值为.答案：由题悟法利用基本不等式求最值的方法利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或积为定值，主要有两种思路：(1)对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解常用的方法有：拆项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等(2)条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值即时应用1设0x，则函数y4x(32x)的最大值为_解析：y4x(32x)22x(32x)22，当且仅当2x32x，即x时，等号成立又因为，所以函数y4x(32x)的最大值为.答案：2已知正数x，y满足x22xy30，则2xy的最小值是_解析：由题意得y，所以2xy2x3，当且仅当xy1时，等号成立答案：33(2017天津高考)若a，bR，ab0，则的最小值为_解析：因为ab0，所以4ab24，当且仅当时取等号，故的最小值是4.答案：4典例引领经调查测算，某产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m万元(m0)满足x3(k为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件已知2018年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)(1)将2018年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；(2)该厂家2018年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？解：(1)由题意可知，当m0时，x1，所以13k，解得k2，即x3，每1万件产品的销售价格为1.5(万元)，所以2018年的利润yx(816xm)48xm48m28m(m0)所以利润y表示为年促销费用的函数关系式是y28m(m0)(2)由(1)知y29(m0)因为m0时，(m1)2 8，当且仅当m1，即m3时取等号所以y82921，即当m3时，y取得最大值21.所以当该厂家2018年的促销费用投入3万元时，厂家获得的利润最大，为21万元由题悟法解实际应用题的3个注意点(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解即时应用某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD，公园由形状为长方形的休闲区A1B1C1D1和人行道(阴影部分)组成已知休闲区A1B1C1D1的面积为4 000 m2，人行道的宽分别为4 m和10 m(如图所示)(1)若设休闲区的长和宽的比x(x1)，求公园ABCD所占面积S关于x的函数S(x)的解析式；(2)要使公园所占面积最小，则休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计？解：(1)设休闲区的宽为a m，则长为ax m，由a2x4 000，得a.则S(x)(a8)(ax20)a2x(8x20)a1604 000(8x20)160 804 160(x1)(2)S(x)804 1608024 1601 6004 160 5 760，当且仅当2，即x2.5时，等号成立，此时a40，ax100.所以要使公园所占面积最小，休闲区A1B1C1D1的长和宽应分别设计为100 m,40 m.典例引领1(2019淮安调研)若x(0,1)时，不等式m恒成立，则实数m的最大值为_解析：x(0,1)，1x(0,1)，x(1x)1，x(1x)2224，当且仅当，即x时取等号，m4，即实数m的最大值为4.答案：42已知函数f(x)(aR)，若对于任意的xN*，f(x)3恒成立，则a的取值范围是_解析：对任意xN*，f(x)3，即3恒成立，即a3.设g(x)x，xN*，则g(x)x4，当x2时等号成立，又g(2)6，g(3).因为g(2)g(3)，所以g(x)min.所以3，所以a，故a的取值范围是.答案：由题悟法求解含参数不等式的求解策略(1)观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或取值范围(2)在处理含参数的不等式恒成立问题时，往往将已知不等式看作关于参数的不等式，体现了主元与次元的转化即时应用1(2019东台月考)若对任意x0，a恒成立，则a的最小值为_解析：，x0，x332325，当且仅当x，即x1时取等号，0，要使a恒成立，则a，故a的最小值为.答案：2已知正数x，y满足x2(xy)恒成立，求实数的最小值解：依题意得x2x(x2y)2(xy)，即2(当且仅当x2y时取等号)，即的最大值为2.又，因此有2，即的最小值为2.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1(2019连云港调研)若x0，y0，且log2xlog2y2，则的最小值为_解析：x0，y0，且log2xlog2ylog2xy2，xy4，2，当且仅当且xy4，即x，y2时取等号，的最小值为 .答案：2当x0时，f(x)的最大值为_解析：因为x0，所以f(x)1，当且仅当x，即x1时取等号答案：13(2018苏州期末)已知a0，b0，且1，则3a2b的最小值为_解析：a0，b0，且1，3a2b3a2b55211，当且仅当ab2时取等号，3a2b的最小值为11.答案：114当3x12时，函数y的最大值为_解析：y152 153.当且仅当x，即x6时，ymax3.答案：35(2018通州期末)若log4(a4b)log2，则ab的最小值是_解析：log4(a4b)log2，log2log2，a4b0，ab0.，即a4bab，1，ab(ab)5529，当且仅当a2b6时取等号ab的最小值是9.答案：96某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品_件解析：每批生产x件，则平均每件产品的生产准备费用是元，每件产品的仓储费用是元，则2 20，当且仅当，即x80时“”成立，所以每批生产产品80件答案：80二保高考，全练题型做到高考达标1(2019盐城调研)若x0，y0，且xy9，则的最大值为_解析：令xyn，m，mn(xy)59.9mnm.m29m90，解得m.的最大值为.答案：2已知ab，a，b(0,1)，则的最小值为_解析：由题意得b，所以01，即a，得2.4(1a)(4a1)3，记S，则S(44a)(4a1)22，当且仅当时等号成立，所以所求最小值为4.答案：43(2018连云港期末)已知x0，y0，且2x4y4，则的最小值是_解析：x0，y0，且2x4y4，42x4y2，即x2y2，(x2y)4，当且仅当x2y时等号成立，的最小值是4.答案：44(2019湖北七市(州)协作体联考)已知直线axby60(a0，b0)被圆x2y22x4y0截得的弦长为2，则ab的最大值是_解析：将圆的一般方程化为标准方程为(x1)2(y2)25，圆心坐标为(1,2)，半径r，故直线过圆心，即a2b6，所以a2b62，可得ab，当且仅当a2b3时等号成立，即ab的最大值是.答案：5某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边夹角为60(如图)，考虑到防洪堤的坚固性及水泥用料等因素，要求设计其横断面的面积为9 m2，且高度不低于 m，记防洪堤横断面的腰长为x m，外周长(梯形的上底与两腰长的和)为y m，若要使堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即横断面的外周长最小)，则防洪堤的腰长x_.解析：设横断面的高为h，由题意得ADBC2BCx，hx，所以9(ADBC)h(2BCx)x，故BC，由得2x6，所以yBC2x(2x6)，从而y2 6，当且仅当(2x6)，即x2时等号成立答案：26(2018苏州期末)已知正数x，y满足xy1，则的最小值为_解析：令x2a，y1b，则ab4(a2，b1)，所以(ab)(54)，当且仅当a，b，即x，y时取等号则的最小值为.答案：7(2018南通三模)若正实数x，y满足xy1，则的最小值是_解析：因为正实数x，y满足xy1，所以4248，当且仅当，即x，y时取“”，所以的最小值是8.答案：88(2018扬州期末)已知正实数x，y满足xyxy，则的最小值为_解析：xyxy，2x3y.又xyxy可化为1，2x3y(2x3y)52525，当且仅当2x23y2时取等号，的最小值为25.答案：259(1)当x时，求函数yx的最大值；(2)设0x2，求函数y的最大值解：(1)y(2x3).当x时，有32x0，所以2 4，当且仅当，即x时取等号于是y4，故函数的最大值为.(2)因为0x2，所以2x0，所以y ，当且仅当x2x，即x1时取等号，所以当x1时，函数y的最大值为.10(2019泰州调研)已知x0，y0，且2xy4.(1)求xy的最大值及相应的x，y的值；(2)求9x3y的最小值及相应的x，y的值解：(1)因为42xy2xy2，所以xy的最大值为2，当且仅当2xy2，即x1，y2时取“”(2)因为9x3y32x3y218，所以9x3y的最小值为18，当且仅当9x3y，即2xy2x1，y2时取“”三上台阶，自主选做志在冲刺名校1(2018启东期中)已知为锐角，则2tan 的最小值为_解析：为锐角，tan 0，2tan 2tan 2 ，当且仅当tan ，即时取得等号，2tan 的最小值为.答案：2(2018苏北四市联考)已知对满足xy42xy的任意正实数x，y，都有x22xyy2axay10，则实数a的取值范围为_解析：法一：由xy42xy得(xy)22(xy)80，又x，y是正实数，得xy4.原不等式整理可得(xy)2a(xy)10，令xyt，t4，则t2at10，t4，)(*)恒成立，当a240，即2a2时，(*)式恒成立；当a2时，对称轴t1，(*)式恒成立；当a2时，对称轴t，要使(*)式恒成立，则4，且164a10，得2a.综上可得(*)式恒成立时，a，则实数a的取值范围是.法二：由xy42xy得(xy)22(xy)80，又x，y是正实数，得xy4.原不等式整理可得(xy)2a(xy)10，令xyt，t4，则t2at10，t4，)(*)恒成立，则amin，故实数a的取值范围是.答案：3某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C(x)，当年产量不足80千件时，C(x)x210x(万元)当年产量不小于80千件时，C(x)51x1 450(万元)每件商品售价为0.05万元通过市场分析，该厂生产的商品能全部 售完(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式(2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？解：(1)因为每件商品售价为0.05万元，则x千件商品销售额为0.051 000x万元，依题意得：当0x80时，L(x)(0.051 000x)x210x250x240x250.当x80时，L(x)(0.051 000x)51x1 4502501 200.所以L(x)(2)当0x80时，L(x)(x60)2950.此时，当x60时，L(x)取得最大值L(60)950万元当x80时，L(x)1 2001 2002 1 2002001 000.此时x，即x100时，L(x)取得最大值1 000万元由于9501 000，所以，当年产量为100千件时，该厂在这一商品生产中所获利润最大，最大利润为1 000万元命题点一一元二次不等式1.(2017山东高考改编)设函数y的定义域为A，函数yln(1x)的定义域为B，则AB_.解析：由题意可知Ax|2x2，Bx|x1，故ABx|2x1答案：2,1)2(2014江苏高考)已知函数f(x)x2mx1，若对于任意xm，m1，都有f(x)0成立，则实数m的取值范围是_解析：由题可得f(x)0对于xm，m1恒成立，即解得m0.答案：3(2012江苏高考)已知函数f(x)x2axb(a，bR)的值域为0，)，若关于x的不等式f(x)c的解集为(m，m6)，则实数c的值为_解析：因为f(x)的值域为0，)，所以0，即a24b，所以x2axc0的解集为(m，m6)，易得m，m6是方程x2axc0的两根，由一元二次方程根与系数的关系得解得c9.答案：9命题点二简单的线性规划问题1.(2016江苏高考)已知实数x，y满足则x2y2的取值范围是_解析：根据已知的不等式组画出可行域，如图阴影部分所示，则(x，y)为阴影区域内的动点d可以看做坐标原点O与可行域内的点(x，y)之间的距离数形结合，知d的最大值是OA的长，d的最小值是点O到直线2xy20的距离由可得A(2,3)，所以dmax，dmin.所以d2的最小值为，最大值为13.所以x2y2的取值范围是.答案：2(2018全国卷)若x，y满足约束条件则z3x2y的最大值为_解析：作出满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示由z3x2y，得yx.作直线l0：yx.平移直线l0，当直线yx过点(2,0)时，z取最大值，zmax32206.答案：63(2017全国卷改编)设x，y满足约束条件则zxy的取值范围是_解析：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线l0：yx，平移直线l0，当直线zxy过点A(2,0)时，z取得最大值2，当直线zxy过点B(0,3)时，z取得最小值3，所以zxy的取值范围是3,2答案：3,24(2018全国卷)若x，y满足约束条件则zxy的最大值为_解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示由图可知当直线xyz过点A时z取得最大值由得点A(5,4)，zmax549.答案：95(2018北京高考)若x，y满足x1y2x，则2yx的最小值是_解析：由条件得即作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示设z2yx，即yxz，作直线l0：yx并向上平移，显然当l0过点A(1,2)时，z取得最小值，zmin2213.答案：36(2017天津高考)电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：连续剧播放时长(分钟)广告播放时长(分钟)收视人次(万)甲70560乙60525已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍分别用x，y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数(1)用x，y列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？解：(1)由已知，x，y满足的数学关系式为即该二元一次不等式组所表示的平面区域为图中的阴影部分中的整数点(2)设总收视人次为z万，则目标函数为z60x25y.考虑z60x25y，将它变形为yx，这是斜率为，随z变化的一族平行直线.为直线在y轴上的截距，当取得最大值时，z的值最大又因为x，y满足约束条件，所以由图可知，当直线z60x25y经过可行域上的点M时，截距最大，即z最大解方程组得点M的坐标为(6,3)所以电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多命题点三基本不等式1.(2017江苏高考)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是_解析：由题意，一