2018届高三数学一轮复习平面解析几何第七节抛物线课件理.pptx

理数 课标版,第七节 抛物线,1.抛物线的定义 满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线: (1)在平面内. (2)与一个定点F和一条定直线l距离 相等 . (3)l不经过点F.,教材研读,2.抛物线的标准方程与几何性质,1.抛物线y= x2的准线方程为 ( ) A.y=-1 B.y=-2 C.x=-1 D.x=-2 答案 A 由y= x2得x2=4y,所以抛物线的准线方程为y=-1.,2.抛物线y=4x2上的一点M到焦点F的距离为1,则点M的纵坐标是 ( ) A. B. C. D.0 答案 B 设M(x,y),且抛物线方程可化为x2= y,则必有|MF|=y+ =y+ =1,所以y= .,3.已知点A(-2,3)在抛物线C:y2=2px的准线上,记C的焦点为F,则直线AF 的斜率为 ( ) A.- B.-1 C.- D.- 答案 C 由点A(-2,3)在抛物线C:y2=2px的准线上,得焦点F(2,0),kAF= =- ,故选C.,4.已知AB是抛物线y2=2x的一条焦点弦,|AB|=4,则AB的中点C的横坐标 是 . 答案 解析 设A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=x1+x2+p=4,又p=1,所以x1+x2=3,所以点C 的横坐标是 = .,5.顶点在原点,对称轴是y轴,并且经过点P(-4,-2)的抛物线方程是 . 答案 x2=-8y 解析 设抛物线的方程为x2=my,将点P(-4,-2)代入x2=my,得m=-8,所以抛 物线方程是x2=-8y.,考点一 抛物线的定义及其应用 典例1 (1)已知直线l1:4x-3y+6=0和直线l2:x=-1,抛物线y2=4x上一动点P 到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是 ( ) A. B.2 C. D.3 (2)设P是抛物线y2=4x上的一个动点,若B(3,2),则|PB|+|PF|(F为抛物线的 焦点)的最小值为 .,考点突破,答案 (1)B (2)4 解析 (1)由题可知l2:x=-1是抛物线y2=4x的准线,设抛物线的焦点为F,则 F(1,0),则动点P到l2的距离等于|PF|,则动点P到直线l1和直线l2的距离之 和的最小值,即焦点F到直线l1:4x-3y+6=0的距离,所以最小值是 =2.,(2)如图,过B作BQ垂直于准线交准线于点Q,交抛物线于点P1,连接P1F.抛 物线的准线方程为x=-1,则|BQ|=4. 易知|PB|+|PF|P1B|+|P1Q|=|BQ|=4.|PB|+|PF|的最小值为4.,方法技巧 与抛物线有关的最值问题的两个转化策略 转化策略一:将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离, 利用“两点之间线段最短”使问题得解. 转化策略二:将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离,利用 “与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决.,1-1 已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点,则点P到点(0,2)的距离与点 P到该抛物线准线的距离之和的最小值为( ) A. B.3 C. D. 答案 A 抛物线y2=2x的焦点为F ,由抛物线的定义知点P到焦点,F的距离等于它到准线的距离,因此要求点P到点(0,2)的距离与点P到抛 物线的准线的距离之和的最小值,可以转化为求点P到点(0,2)的距离与 点P到焦点F的距离之和的最小值,结合图形不难得出相应的最小值就 等于焦点F到点(0,2)的距离.因此所求的最小值等于 = , 选A.,1-2 设抛物线x2=12y的焦点为F,经过点P(2,1)的直线l与抛物线相交于 A,B两点,又知点P恰为AB的中点,则|AF|+|BF|= . 答案 8 解析 分别过点A,B,P作准线的垂线,垂足分别为M,N,Q,根据抛物线上 的点到焦点的距离等于该点到准线的距离,得|AF|+|BF|=|AM|+|BN|=2| PQ|=8(由P(2,1)及抛物线x2=12y的准线方程为y=-3可知|PQ|=4).,考点二 抛物线的标准方程及性质 典例2 (1)(2016河南中原名校联考)抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,O为 坐标原点,M为抛物线上一点,且|MF|=4|OF|,MFO的面积为4 ,则抛物 线的方程为 ( ) A.y2=6x B.y2=8x C.y2=16x D.y2= (2)(2016课标全国,10,5分)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,B两 点,交C的准线于D,E两点.已知|AB|=4 ,|DE|=2 ,则C的焦点到准线的 距离为 ( ) A.2 B.4 C.6 D.8,答案 (1)B (2)B 解析 (1)设M(x,y)(x0),因为|OF|= ,|MF|=4|OF|,所以|MF|=2p,由抛物线,定义知x+ =2p,所以x= p,所以y= p,又MFO的面积为4 ,所以 p=4 ,解得p=4(p=-4舍去).所以抛物线的方程为y2=8x. (2)不妨设C:y2=2px(p0),A(x1,2 ),则x1= = ,由题意可知|OA|=|OD|, 得 +8= +5,解得p=4.故选B.,方法技巧 (1)求标准方程要先确定形式,必要时要进行分类讨论,标准方程有时可 设为y2=mx或x2=my(m0). (2)抛物线的标准方程有四种不同的形式,焦点到准线的距离为p,顶点到 准线、焦点的距离为 ,通径长为2p. 2-1 已知抛物线C与双曲线x2-y2=1有相同的焦点,且顶点在原点,则抛物 线C的方程是 ( ) A.y2=2 x B.y2=2x C.y2=4x D.y2=4 x 答案 D 因为双曲线的焦点为(- ,0),( ,0).设抛物线方程为y2=2px,(p0),则 = ,所以p=2 ,所以抛物线方程为y2=4 x.,2-2 过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点,O为坐标原 点.若|AF|=3,则AOB的面积为 ( ) A. B. C. D.2 答案 C 设A(x1,y1),B(x2,y2), 不妨令y10,y20, 如图所示,l为抛物线的准线,过A作AC垂直于直线l,垂足为C,则|AF|=|AC| =x1+1=3, x1=2,y1=2 . 由题意设直线AB的方程为x-1=ty,由 消去x,并整理得y2-4ty-4=0, y1y2=-4. y2=- , SAOB= 1|y1-y2|= ,故选C.,考点三 直线与抛物线的位置关系 典例3 已知曲线C在y轴右边,C上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y 轴距离的差都是1. (1)求曲线C的方程; (2)是否存在正数m,对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A、B的任一 直线,都有 0), 化简得y2=4x(x0). (2)存在.理由如下: 设过点M(m,0)(m0)的直线l与曲线C的交点为A(x1,y1),B(x2,y2). 设l的方程为x=ty+m(tR),由 得y2-4ty-4m=0, 于是=16(t2+m)0, , =(x1-1,y1), =(x2-1,y2), 0(x1-1)(x2-1)+y1y20 x1x2-(x1+x2)+1+y1y20 +y1y2- +10, +y1y2- (y1+y2)2-2y1y2+10, 将代入,并整理得,m2-6m+14t2, ,对于任意实数t,4t2的最小值为0,所以不等式对于一切实数t成立等价 于m2-6m+10,解得3-2 m3+2 .,由此可知,存在正数m,对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A,B的任一 直线,都有 0,且m的取值范围是(3-2 ,3+2 ).,方法技巧 (1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似, 一般要用到一元二次方程的根与系数的关系进行解题; (2)有关直线与抛物线相交的弦长问题,要注意直线是否过抛物线的焦 点,若过抛物线的焦点,可直接用公式|AB|=|xA|+|xB|+p或|AB|=|yA|+|yB|+p,若 不过焦点,则必须用一般弦长公式; (3)涉及抛物线的弦长、弦中点等相关问题时,一般采用“设而不求,整 体代入”的解法. 提醒:涉及弦的中点、弦所在直线的斜率时一般用“点差法”求解.,3-1 已知抛物线y2=2px(p0),过点C(-2,0)的直线l交抛物线于A,B两点, 坐标原点为O, =12. (1)求抛物线的方程; (2)当以AB为直径的圆与y轴相切时,求直线l的方程. 解析 (1)显然直线l的斜率存在. 设l:x=my-2,代入y2=2px中,得y2-2pmy+4p=0. (*) 设A(x1,y1),B(x2,y2), 则y1+y2=2pm,y1y2=4p, 则x1x2= =4.,因为 =12, 所以x1x2+y1y2=12, 即4+4p=12,解得p=2,