2007年数学一分析、详解和评注2

2007年数学一试题分析、详解和评注 一、选择题：(本题共10小题，每小题4分，共40分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)当时，与等价的无穷小量是(A) . (B) . (C) . (D) . 【 】【答案】 应选(B).【分析】 利用已知无穷小量的等价代换公式，尽量将四个选项先转化为其等价无穷小量，再进行比较分析找出正确答案.【详解】当时，有； 利用排除法知应选(B).【评注】 本题直接找出的等价无穷小有些困难，但由于另三个的等价无穷小很容易得到，因此通过排除法可得到答案。事实上， =完全类似例题见经典讲义P.28例1.63, 例1.64, 例1.65及辅导班讲义例1.6.(2)曲线，渐近线的条数为(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3. 【 】【答案】 应选(D).【分析】 先找出无定义点，确定其是否为对应垂直渐近线；再考虑水平或斜渐近线。【详解】 因为，所以为垂直渐近线；又 ，所以y=0为水平渐近线；进一步，=， = =，于是有斜渐近线：y = x. 故应选(D). 【评注】 一般来说，有水平渐近线(即)就不再考虑斜渐近线，但当不存在时，就要分别讨论和两种情况，即左右两侧的渐近线。本题在x0的一侧有斜渐近线。关键应注意指数函数当时极限不存在，必须分和进行讨论。重点提示见经典讲义P.145页，类似例题见P.150例7.13, 例7.14及辅导班讲义例7.8.(3)如图，连续函数y=f(x)在区间3，2，2，3上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间2，0，0，2的图形分别是直径为2的下、上半圆周，设则下列结论正确的是(A) . (B) . (C) . (D) . 【 】【答案】 应选(C).【分析】 本题考查定积分的几何意义，应注意f(x)在不同区间段上的符号，从而搞清楚相应积分与面积的关系。【详解】 根据定积分的几何意义，知F(2)为半径是1的半圆面积：，F(3)是两个半圆面积之差：=，因此应选(C).【评注1】 本题F(x)由积分所定义，应注意其下限为0，因此，也为半径是1的半圆面积。可知(A) (B) (D)均不成立.【评注2】若试图直接去计算定积分，则本题的计算将十分复杂，而这正是本题设计的巧妙之处。完全类似例题见经典讲义P.152例7.15, 例7.16，例7.18及辅导班讲义例7.12(4)设函数f(x)在x=0处连续，下列命题错误的是：(A) 若存在，则f(0)=0. (B) 若存在，则f(0)=0. (C) 若存在，则存在. (D) 若存在，则存在【 】【答案】 应选(D).【分析】 本题为极限的逆问题，已知某极限存在的情况下，需要利用极限的四则运算等进行分析讨论。【详解】(A),(B)两项中分母的极限为0，因此分子的极限也必须为0，均可推导出f(0)=0.若存在，则，可见(C)也正确，故应选(D). 事实上，可举反例：在x=0处连续，且=存在，但在x=0处不可导。重要知识点提示见经典讲义P.39，完全类似例题见P.41例2.1, P.42例2.6及P.60习题2及辅导班讲义例2.5.(5)设函数f (x)在上具有二阶导数，且 令, 则下列结论正确的是：(A) 若，则必收敛. (B) 若，则必发散. (C) 若，则必收敛. (D) 若，则必发散. 【 】【答案】 应选(D).【分析】 可直接证明或利用反例通过排除法进行讨论。【详解】 设f (x)=, 则f (x)在上具有二阶导数，且，但发散，排除(C); 设f(x)=, 则f (x)在上具有二阶导数，且，但收敛，排除(B); 又若设，则f(x)在上具有二阶导数，且，但发散，排除(A). 故应选(D).【评注】也可直接证明(D)为正确选项. 若，则存在，使得. 在区间上应用拉格朗日中值定理, 存在使得 ,又因为在上 因此在上单调增加，于是对有.在区间上应用拉格朗日中值定理, 存在使得 ,即 故应选(D).重要提示与例题见经典讲义P.19例1.40, 例1.41、真题（一）P.40题3及辅导班讲义例1.12(6)设曲线具有一阶连续偏导数)，过第II象限内的点M和第IV象限内的点N，T为L上从点M到点N的一段弧，则下列小于零的是(A) . (B) . (C) . (D) . 【 】【答案】 应选(B).【分析】 直接计算出四个积分的值，从而可确定正确选项。【详解】 设M 、N点的坐标分别为. 先将曲线方程代入积分表达式，再计算有： ; ; .故正确选项为(B).【评注】 对于线、面积分，应尽量先将线、面方程代入被积表达式化简，然后再积分.重要提示见经典讲义P.239，完全类似例题见P.240例12.1, 例12.2,例12.5及辅导班讲义例12.3.(7) 设向量组线性无关，则下列向量组线性相关的是 (A) . (B) . (C) . (D) . 【 】【答案】应选(A) .【详解1】直接可看出(A)中3个向量组有关系 ，即(A)中3个向量组有线性相关, 所以选(A) .【详解2】用定义进行判定:令，得 .因线性无关，所以 又 ， 故上述齐次线性方程组有非零解, 即线性相关. 类似可得(B), (C), (D)中的向量组都是线性无关的.这是一个基本题，完全类似的问题见经典讲义P314例3.5和辅导班上对应章节的例题(8) 设矩阵, , 则A与B (A)合同, 且相似. (B) 合同, 但不相似 . (C)不合同, 但相似. (D) 既不合同, 又不相似. 【 】【答案】应选 (B) .【详解】 由 得A的特征值为0, 3, 3, 而B的特征值为0, 1, 1，从而A与B不相似. 又r(A)=r(B)=2, 且A、B有相同的正惯性指数, 因此A与B合同. 故选(B) .【评注】1)若A与B相似, 则| A |=| B |；r(A)= r(B)；tr(A)= tr(B); A与B有相同的特征值.2)若A、B为实对称矩阵, 则A与B合同 r(A)= r(B), 且A、B有相同的正惯性指数.完全类似的问题见历年真题（一）P307的小结(9) 某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为p(0p1), 则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为(A) (B) .(C) (D) 【 】【答案】应选 (C) .【详解】“第4次射击恰好第2次命中”表示4次射击中第4次命中目标, 前3次射击中有1次命中目标. 由独立重复性知所求概率为：. 故选(C) . 几乎原题见经典讲义P498例题4.1中的情况, 完全类似的问题见P438例1.44 (10) 设随机变量(,)服从二维正态分布，且与不相关，分别表示，的概率密度，则在y的条件下，的密度为(A) (B) (C ) . (D) 【 】【答案】应选 (A) .【详解】因(,)服从二维正态分布，且与不相关，故与相互独立，于是 =. 因此选(A) .【评注】对于二维连续型随机变量(,)，有与相互独立 f (x, y)=.完全相同的问题见经典讲义P474二维正态分布的性质4二、填空题：(1116小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上.)(11)= .【答案】 应填【分析】 先作变量代换，再分部积分。【详解】 =本题为最基础题，一般教材中都有完全类似习题，经典讲义和辅导班上的例题一般要比此类题难度大，更综合.(12)设f(u,v)为二元可微函数，则= .【答案】 应填【详解】 利用复合函数求偏导公式，有完全类似例题见辅导班讲义例9.6及经典讲义P.199习题三1-3.(13)二阶常系数非齐次线性微分方程的通解为 .【答案】 其中为任意常数.【详解】 特征方程为 ，解得 可见对应齐次线性微分方程的通解为 设非齐次线性微分方程的特解为，代入非齐次方程可得k= 2. 故通解为完全类似例题见经典讲义P.172习题8.7及辅导班讲义例8.9.(14)设曲面，则= .【答案】 【详解】 由于曲面关于平面x=0对称，因此=0. 又曲面具有轮换对称性，于是=重要知识点说明见经典讲义P.239，完全类似例题见P.245例12.15及辅导班讲义例12.9. (15) 设矩阵, 则的秩为_.【答案】应填1 .【详解】依矩阵乘法直接计算得 , 故r()=1. 完全类似的问题见经典讲义P.300题型七和辅导班上对应章节的例题(16) 在区间(0, 1)中随机地取两个数, 则两数之差的绝对值小于的概率为_【答案】应填 .【详解】这是一个几何概型, 设x, y为所取的两个数, 则样本空间, 记.故 ，其中分别表示A与W 的面积. 几乎原题见经典讲义P430例1.21和辅导班上对应章节的例题三、解答题：(1724小题，共86分. ) (17)(本题满分11分) 求函数在区域上的最大值和最小值。【分析】 由于D为闭区域，在开区域内按无条件极值分析，而在边界上按条件极值讨论即可。【详解】 因为 ，解方程： 得开区域内的可能极值点为.其对应函数值为又当y=0 时，在上的最大值为4，最小值为0.当，构造拉格朗日函数 解方程组 得可能极值点：，其对应函数值为 比较函数值，知f(x, y)在区域D上的最大值为8，最小值为0.完全类似例题见经典讲义P.196例9.25及辅导班讲义例9.12.(18)(本题满分10分)计算曲面积分 其中为曲面的上侧。【分析】本题曲面不封闭，可考虑先添加一平面域使其封闭，在封闭曲面所围成的区域内用高斯公式，而在添加的平面域上直接投影即可。【详解】 补充曲面：，取下侧. 则 =其中为与所为成的空间区域，D为平面区域. 由于区域D关于x轴对称，因此. 又=其中.【评注】 注意在计算过程中尽量利用对称性进行简化。本题也可通过直接投影进行计算，但计算过程比较复杂。重要知识点说明见经典讲义P.246，完全类似例题见P.247例12.18，例12.19及辅导班讲义例12.13.(19)(本题满分11分)设函数f(x), g(x)在a, b上连续，在(a, b)内具有二阶导数且存在相等的最大值，f(a)=g(a), f(b)=g(b), 证明：存在，使得【分析】需要证明的结论与导数有关，自然联想到用微分中值定理，事实上，若令，则问题转化为证明, 只需对用罗尔定理，关键是找到的端点函数值相等的区间(特别是两个一阶导数同时为零的点)，而利用F(a)=F(b)=0, 若能再找一点，使得，则在区间上两次利用罗尔定理有一阶导函数相等的两点，再对用罗尔定理即可。【证明】构造辅助函数，由题设有F(a)=F(b)=0. 又f(x), g(x)在(a, b)内具有相等的最大值, 不妨设存在, 使得，若，令, 则若，因，从而存在，使 在区间上分别利用罗尔定理知，存在，使得. 再对在区间上应用罗尔定理，知存在，有， 即 完全类似例题见经典讲义P.120例5.11，例5.12,例5.13, P.127例5.27及辅导班讲义例5.3-5.(20)(本题满分10分)设幂级数在内收敛，其和函数y(x)满足(I)证明：(II)求y(x)的表达式.【分析】先将和函数求一阶、二阶导，再代入微分方程，引出系数之间的递推关系。【详解】 (I)记y(x)=, 则代入微分方程有即 故有 即 (II)由初始条件知， 于是根据递推关系式 有 故y(x)= =【评注】 本题由两部分组成，在讨论第二部分时应注意利用第一部分得到的结论，最后和函数的确定利用了指数函数的幂级数展开式。类似例题见经典讲义P.229例11.15，P.231例11.20及辅导班讲义例11.8.(21) (本题满分11分)设线性方程组 与方程 有公共解，求a的值及所有公共解【分析】 两个方程有公共解就是与联立起来的非齐次线性方程组有解. 【详解1】将与联立得非齐次线性方程组: 若此非齐次线性方程组有解, 则与有公共解, 且的解即为所求全部公共解. 对的增广矩阵作初等行变换得: .于是1 当a=1时，有=23，方程组有解, 即与有公共解, 其全部公共解即为的通解，此时，此时方程组为齐次线性方程组，其基础解系为: ,所以与的全部公共解为，k为任意常数.2 当a =2时，有=3，方程组有唯一解, 此时，故方程组的解为: , 即与有唯一公共解: 为.【详解2】将方程组的系数行列式: 当时，只有唯一零解, 但它不是的解；当a=1时, , 的解为 , k为任意常数.将其代入与方程 知， 也是的解.所以与的全部公共解为，k为任意常数. 当a = 2时, , 的解为 , k为任意常数;将其代入与方程 ，得k = 1.即与有唯一公共解: 为.完全类似的问题见经典讲义P.350题型四例4.20-4.22和辅导班上对应章节的例题(22) (本题满分11分)设3阶对称矩阵的特征值 是的属于的一个特征向量,记其中为3阶单位矩阵.(I) 验证是矩阵的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量(II) 求矩阵【分析】 根据特征值的性质可立即得B的特征值, 然后由B也是对称矩阵可求出其另外两个线性无关的.【详解】(I) 由 得 , 进一步 , ，故 ，从而是矩阵的属于特征值2的特征向量.因, 及的3个特征值 得B的3个特征值为.设为B的属于