地下水动力学-第五讲.ppt

地下水动力学讲稿_第五讲,1,地下水向完整井的非稳定运动（续第四章）,三、考虑弱透水层弹性释水补给和越流补给的完整井流 前述在研究越流补给时忽略了弱透水含水层的弹性释水补给，当弱透水层较厚时，这种补给量是可观的，不能忽略不计。 （一）模型 1、物理模型、基本假设与数学模型 （1）物理模型 1960年，M. S. Hantush提出的三层结构模型，根据弱透水层弹性释水与相邻含水层关系分三种情况进行了研究，如图4-16所示。 1）与两弱透水相邻的越流含水层为定水头含水层； 2）与两弱透水层相邻为隔水层； 3）上弱透水含水层与定水头含水层相邻，下弱透水含水层与隔水层相邻。,地下水动力学讲稿_第五讲,2,地下水向完整井的非稳定运动（续第四章）,（2）基本假设 1）抽水含水层与弱透水含水层均质，各向同性且等厚（K1、K、K2，*1、*、*2，m1，M，m2）。 2）含水层产状水平，无限分布；天然水力坡度为零。 3）单井定流量抽水。 4）抽水含水层抽水时能得到弱透水含水层弹性释水的补给；在弱透水层中水流垂直运动，抽水含水层水流水平运动。 5）与弱透水层相邻条件： a) 定水头含水层； b) 隔水含水层； c) 定水头含水层与各水含水层。,地下水动力学讲稿_第五讲,3,地下水向完整井的非稳定运动（续第四章）,（3）数学模型 1）上弱透水含水层（仅有垂向运动）,地下水动力学讲稿_第五讲,4,地下水向完整井的非稳定运动（续第四章）,2）下弱透水含水层（仅有垂向运动）,初始条件：,地下水动力学讲稿_第五讲,5,地下水向完整井的非稳定运动（续第四章）,3）抽水（主）含水层（仅有水平运动） 式中“正负”号表示上下弱透水层向主抽水层补给弹性释水和越流补给。,地下水动力学讲稿_第五讲,6,地下水向完整井的非稳定运动（续第四章）,（二）数学模型的求解 1、求解思路 上述数学模型为偏微分方程组，求解思路：第一步进行Laplace变换，化为常微分方程组；第二步进行Hankel变换，求解Bessel方程；第三步进行Hankel逆变换；第四步进行Laplace逆变换。可求出s(r,t), s1(r,z,t), s2(r,z,t)。 详细求解过程可参考： 张蔚榛：地下水非稳定流计算和地下水资源评价，pp. 81-109； Hantush, M. S. , Modification of the theory of leaky aquifiers; J. Geophy Research, Vol. 65, No. 11,地下水动力学讲稿_第五讲,7,地下水向完整井的非稳定运动（续第四章）,2、数学模型的解 （1）三层结构，相邻含水层为定水头情况的解 考虑弱含水层弹性释水时的简化近似解 1）抽水初期 当 和 三种情况有相同的近似解，主抽水层的降深公式为： 式中考虑弱透水层弹性释水的越流井函数 可查表4-8，p. 119，曲线见图-17。,地下水动力学讲稿_第五讲,8,地下水向完整井的非稳定运动（续第四章）,余误差函数 误差函数（概率积分） 计算系数 越流因素：,地下水动力学讲稿_第五讲,9,地下水向完整井的非稳定运动（续第四章）,2）抽水时间较久时的近似解 a）相邻含水层为定水头情况下 降深公式可近似表示为 式中 W(u1,)为不计弱透水层弹性释水的越流系统井函数。,当 和,地下水动力学讲稿_第五讲,10,地下水向完整井的非稳定运动（续第四章）,b）两相邻层为隔水层 降深公式可近似表示为 式中：W(u2)为无越流含水层的井函数；,当 和,地下水动力学讲稿_第五讲,11,地下水向完整井的非稳定运动（续第四章）,c）上相邻含水层为定水头含水层，下相邻层为隔水层 住含水层的降深近似公式 式中： W(u3,r/B1)为不计弱含水层弹性释水越流系统井函数；,当 和,地下水动力学讲稿_第五讲,12,地下水向完整井的非稳定运动（续第四章）,3、公式讨论 （1）当B1=B2，或*1=*2=0时，有=0，即： erfc（0）=1； 主含水层降深公式简化为Theis公式 （2）对第一、三情况（定水头）下，当K2=0， *1=*2=0，此时即为不考虑弱透水层弹性释水的情况。 （3）由图4-17，H(u,)1/u曲线，反映了S与t（1/u）和的关系，总的来看，s随的增大而减小，当=0时，曲线即为Theis曲线；可以得出： 1）当*1、*2增大（1/u减小）时，S将减小； 2）随着r增大（1/u减小），S会减小； 3）B减小（增大），S将减小。,地下水动力学讲稿_第五讲,13,地下水向完整井的非稳定运动（续第四章）,4、利用抽水资料确定水文地质参数配线法 （1）短期抽水资料确定T，* 配线关系（降深-时间配线） 做实验曲线点lg(s)lg(t)与标准曲线lg(H(u,)lg(1/u)配线后可确定： 由此可确定：,、 、 、 及,地下水动力学讲稿_第五讲,14,地下水向完整井的非稳定运动（续第四章）,（2）长时间抽水资料确定*1、*2、K1、K2 1）相邻为定水头函水层（以第一种情况为例） 配线关系（降深-时间配线） 由实验测点，做曲线点lg(s) lg(t)与越流井函数标准曲线lg(W(u,) lg(1/u)配线，确定配线参数值及两组配线点 由方程 可确定*1、*2。, 、 、 及 、 、 。,地下水动力学讲稿_第五讲,15,地下水向完整井的非稳定运动（续第四章）,再由 可求的B1、B2。 有越流因素可求K1，K2。 2）相邻层为隔水层的配线法方法相同，不再赘述。,地下水动力学讲稿_第五讲,16,地下水向完整井的非稳定运动（续第四章）,四、潜水完整井流的非稳定运动 （一）潜水流动的特点 1、潜水井流的导水系数T=Kh随距离r和时间t而变动； 2、当潜水井流降深较大时，流速的垂向分量不可忽视，一般为垂向、径向二维流动，用一维径向流动描述将引起较大误差； 3、潜水抽水的水量主要来自含水层的重力疏干，不能瞬时完成，有明显的迟后与水位下降现象。潜水面以上的非饱和带的水向下不断地补给潜水，因而给水度y在抽水过程中其速率呈递减过程，如下图所示。只有在足够 抽水时间下， 给水度y才趋 于一个常数。,地下水动力学讲稿_第五讲,17,地下水向完整井的非稳定运动（续第四章）,（二）潜水完整井抽水的降深-时间曲线特征 降深-时间曲线明显地存在三个阶段： 1、第一阶段：抽水早期（或许仅几分钟），降深-时间曲线与承压含水层完整井的曲线Theis曲线一致，含水层通过重力排水迟后；此时水流主要是水平运动。 2、第二阶段：降深-时间曲线明显偏离Theis曲线，会出现暂短的假稳定状态，说明潜水含水层疏干排水的作用。含水层的反应类似于一个受到越流补给的承压含水层。 3、第三阶段：降深-时间曲线又与Theis曲线重合，说明重力排水已跟上水位下降，疏干迟后影响逐渐变小，可忽略不计。给水度所起的作用相当于承压含水层的贮水系数。,地下水动力学讲稿_第五讲,18,地下水向完整井的非稳定运动（续第四章）,（三）潜水完整井非稳定运动的近似计算 1、潜水完整井的数学模型 （1）假设条件 1）潜水含水层均质，各向同性，潜水井为完整井； 2）潜水含水层底隔水层水平； 3）潜水含水层抽水前水面水平，抽水过程中降深s0.1H0，抽水含水层厚度可用平均厚度表示 4）定流量抽水，无入渗补给或蒸发 5）流动满足Darcy定律，流动过程中满足Dupuit假设，既不计z的变化，可作为二维运动或径向对称流动处理。,地下水动力学讲稿_第五讲,19,地下水向完整井的非稳定运动（续第四章）,（2）数学模型 选择坐标系在隔水层，如图所示，则有H=z+h=h，则上式可表示为： 1）线性化方法之一： 方程可简化为：,地下水动力学讲稿_第五讲,20,地下水向完整井的非稳定运动（续第四章）,柱坐标表示为： 初始条件： 边界条件： 方程之解为： 式中,地下水动力学讲稿_第五讲,21,地下水向完整井的非稳定运动（续第四章）,2）线性化方法之二（修正降深法） 式中： 方程简化为： 方程之解为：,地下水动力学讲稿_第五讲,22,地下水向完整井的非稳定运动（续第四章）,（四）考虑迟后疏干的Boulton模型 较详细的推导见参考文献： N. S. Boulton, The Drawdown of Water Table under Nonsteady Conditions near a Pumped Well in Unconfined Formation; Proc. Institute of Civil Engineering (London), Vol. 3 , Part ,564-579(1954). 张蔚榛：地下水非稳定流计算和地下水资源评价，pp. 46-59。 1、假设条件 （1）均质、各向同性、隔水底板水平，无限延伸的潜水含水层； （2）抽水初始，潜水面为水平面； （3）完整井，井径无限小，降深sH0，定流量抽水； （4）地下水流动服从Darcy定律； （5）抽水时，水位下降，含水层中的水不能瞬时排出，存在滞后现象。,地下水动力学讲稿_第五讲,23,地下水向完整井的非稳定运动（续第四章）,2、迟后疏干出水量的表示 （1）Boulton假设 Boulton根据潜水抽水过程降深-时间曲线的特征，提出了考虑迟后疏干的计算方法，即：抽水开始后从到+之间，潜水面下降了s，此间抽出水量由两部分组成 1）弹性释水放出水量，水位下降s，单位面积含水层弹性释水为 2）迟后疏干排出水量，在水位下降s，假设为： 式中 -经验系数，将1/称为延迟指数。,地下水动力学讲稿_第五讲,24,地下水向完整井的非稳定运动（续第四章）,（2）Boulton假设的合理性 1）迟后疏干单位面积的排水量 与t-的关系符合一般经验。迟后疏干排水过程线见图4-18。 2）在时刻以后，取s=1，则重力排水的总体积为： 是含水层的给水度，满足水量均衡条件，符合实际情况； 3）在和t时间区间的迟后排水总量为： 当t时，有迟后效应。,地下水动力学讲稿_第五讲,25,地下水向完整井的非稳定运动（续第四章）,（3）迟后疏干的水量表示 在抽水过程中从0至t时刻，水位下降了s，潜水层单位面积的疏干水量q可表示为n个i=i-i-1,对应降深为si=si-si-1水量的叠加，当n时，可得到q的表示式，即：,地下水动力学讲稿_第五讲,26,地下水向完整井的非稳定运动（续第四章）,3、Boulton考虑迟后疏干潜水井非稳定流数学模型,初始条件：,地下水动力学讲稿_第五讲,27,地下水向完整井的非稳定运动（续第四章）,4、Boulton模型的解 （1）Boulton求得上述数学模型的解为：,式中：,；,；,疏干因素（量纲为L）；,x 积分变量。,（详细求解过程可参考张蔚榛：pp.46-59。）,地下水动力学讲稿_第五讲,28,地下水向完整井的非稳定运动（续第四章）,（2）解的简化 当时，即y*时，上述解可简化为：,地下水动力学讲稿_第五讲,29,地下水向完整井的非稳定运动（续第四章）,将简化解按抽水过程分为三部分： 1）抽水早期 与不计弱含水层弹性释水的越流系统井函数相同，越流因素B的作用由疏干因素D代之。W(ua,r/D)潜水含水层A组井函数。 2）抽水中期 3）抽水晚期 W(uy,r/D)潜水含水层B组井函数。如图4-19所示。,式中：,不计弱含水层弹性释水下的越流稳定解。,式中：,地下水动力学讲稿_第五讲,30,地下水向完整井的非稳定运动（续第四章）,5、通过抽水实验确定潜水含水层的水文地质参数 水文地质参数包括：T（K），y，*，D及1/。 （1）配线法 作抽水实验，得观测井的lg(s)-lg(t)曲线，与标准曲线配线。 可得r/D，确定D。 对早期曲线处取点，可确定： 对晚期配线处取点，可确定： 及,；,；,；,地下水动力学讲稿_第五讲,31,地下水向完整井的非稳定运动（续第四章）,（2）直线图解法 当抽水时间足够长时，迟后重力疏干排水影响消除，s-lg(t)关系满足于无越流补给的承压完整井一样呈线性关系。S-lg(t)曲线如图4-21所示。S-lg(t)直线方程为： 由图可确定： （3）迟后重力排水影响结束时间tW,t。 根据标准潜水井函数曲线，对每个r/D，可确定与B组Theis曲线切入点uy，其对应时间为tW,t。 由 可作曲线图4-20，由该曲线 可确定tW,t 。,；,地下水动力学讲稿_第五讲,32,地下水向完整井的非稳定运动（续第四章）,（五）考虑流速垂直分量和弹性释水的Neuman模型 1、数学模型及其解 （1）Boulton延迟疏干模型的缺陷 1）延迟指数 1/缺乏明确的物理含义； 2）对确定的潜水含水层，不能保证是常数，既不是一个物性参数； 3）难于解释潜水含水层的释水机制。 （2）Neuman模型的特点 1）是二维轴对称模型，计入z坐标变化对降深的影响，以及含水层的各向异性特征； 2）将潜水面作为动边界，建立了潜水面变动的连续方程； 3）由于避免了潜水疏干释水所涉及的非饱和带问题；无需引入物理意义不明的延迟指数，克服了Boulton延迟疏干模型的缺陷。,地下水动力学讲稿_第五讲,33,地下水向完整井的非稳定运动（续第四章）,（3）Neuman模型的假设条件 1）含水层均质（s、y），各向异性（Kr、Kz），侧向无限延伸；坐标轴与主渗透方向一致，隔水层水平； 2）初始潜水面水平（H0）； 3）水流服从Darcy定律； 4）完整井，定流量抽水（Q）； 5）抽水期间自由面（潜水面）没有入渗补给和蒸发； 6）潜水面的降深和含水层厚度相比小得多，在建立潜水面边界条件时可以忽略水头H对r（或x，y）的导数。,地下水动力学讲稿_第五讲,34,地下水向完整井的非稳定运动（续第四章）,（3）Neuman数学模型 如图4-22所示概化物理模型。,初始条件：,地下水动力学讲稿_第五讲,35,地下水向完整井的非稳定运动（续第四章）,（4）数学模型的解,地下水动力学讲稿_第五讲,36,地下水向完整井的非稳定运动（续第四章）,详细求解过程可参考：Neuman, S. P. Theory of flow in unconfined aquifers considering delayed response of water table, Water Resour. Res. Vol. 8, Res. 1031-1045, 1972,地下水动力学讲稿_第五讲,37,地下水向完整井的非稳定运动（续第四章）,对完整观测井，降深s需用沿z的平均降深表示，此时计算公式不变，仍为：,但0、n须用下两式代之,地下水动力学讲稿_第五讲,38,地下水向完整井的非稳定运动（续第四章）,2、Neuman解的特点 （1）当=*/y是的解，相当于抽水初期，可以证明其解 为： （2）当t时，解的渐近曲线满足,rH0条件下，有：,地下水动力学讲稿_第五讲,39,地下水向完整井的非稳定运动（续第四章）,（3）降深 时间曲线的特点 1）以ts为横坐标表示的无量纲降深-时间曲线，如图4-23所示。 可看出降深-时间曲线的三个阶段。同样，当用ty为横坐标表示无量 纲降深-时间曲线是曲线如图4-24所示，也可参数抽水降深随时间变化的三个阶段。 2）不同z坐标下（同一观测井在不同井深处）的降深-时间曲线变化，如图4-25所示。可以看出：在抽水早期和晚期，降深沿整个井高程变化较小，说明垂向流速较小，水流水平流动；在抽水中期含水层上存在明显的垂向速度分量如图4-26所示。 3）不同r下（随径向距离的变化）降深-时间曲线的特点，如图4-27所示。可以看出：随着r的增大，如r/H0=5，10下，弹性释水过程可以忽略，降深-时间曲线与ty的Theis曲线一致；潜水面的滞后反应也随r的增大而减弱，前面所述的降深-时间曲线的三个阶段仅在r不大的情况下才会明显地表现出来。 4）各项异性对降深-时间曲线的影响如图4-28所示。可以看出：Kd越小，水平分速度比垂向分速度越大，弹性释水和迟后反应越明显。,地下水动力学讲稿_第五讲,40,地下水向完整井的非稳定运动（续第四章）,3、利用抽水实验资料确定水文地质参数 （1）配线法 1）标准曲线：无量纲降深sd与变量ts（ty）、 及参数 有关，取=0，为参变量，分别以ts、ty计算 无量纲降深，作出A组和B组双对数曲线，用以分析早期和晚期的降深资料，标准图见4-29，计算数据见表4-10所列。 2）配线过程。 作出在完整抽水井下完整观测井的双对数曲线lg（s）-lg（t）；在B组曲线下配线，可得和对应的sd ，ty，s，t 。由此可得：,地下水动力学讲稿_第五讲,41,地下水向完整井的非稳定运动（续第四章）, 与A组曲线配线，在保持相等的条件下，可得出： sd ，ts，s，t ； 两次所得的T应大致相等。 计算其他谁文地质参数,地下水动力学讲稿_第五讲,42,地下水向完整井的非稳定运动（续第四章）,（2）直线图解法 1）标准半对数曲线分析 将标准对数曲线的计算数据画出无量纲降深-对数时间曲线，A组sd-lg(ts)；B组sd-lg(ty)，如图4-30所示。 则在抽水早期，数据应落在A组直线 附近； 抽水中期，数据应位于一条水平线附近； 抽水后期，数据应落在B组直线 附近。 由此可见，要求实测观测井s-lg(ts)与s-lg(ty)应相互平行，否则不能用直线图解法。 2）作1/与ty的关系曲线如图4-31所示。,地下水动力学讲稿_第五讲,43,地下水向完整井的非稳定运动（续第四章）,3）直线图解法步骤 将抽水实验数据s-t画在半对数坐标纸上； 得后期数据点的斜率iL和早期数据点的斜率iE，两斜率值应接近； 延长两直线的交于s = 0出的tL和tE； 可得： 做抽水中期水平线与晚期直线的交点，确定时间t，计算可得： 查图可确定。 其它参数、Kd、Kr，Kz计算方法如前所述。,地下水动力学讲稿_第五讲,44,地下水向完整井的非稳定运动（续第四章）,本讲结束,地下水动力学讲稿_第五讲,45,地下水向完整井的非稳定运动附录,附录：Bessel函数 （选自张蔚榛“地下水非稳定流计算和地下水资源评价”附录一） 一、Bessel方程和Bessel函数 1、Bessel方程 称为n阶Bessel方程，该方程为2阶变系数常微分方程。 当n为整数或为零时，方程的解可表示为： 式中 A、B：为任意系数； Jn（x）：n阶第一类Bessel函数； Yn（x）：n阶第二类Bessel函数。,地下水动力学讲稿_第五讲,46,地下水向完整井的非稳定运动附录,2、Bessel函数 （1）n阶第一类Bessel函数 （2） n阶第二类Bessel函数 式中： 称为欧拉常数。,地下水动力学讲稿_第五讲,47,地下水向完整井的非稳定运动附录,3、0阶和1阶第一类、第二类Bessel函数 （1）第一类Bessel函数 1）0阶第一类Bessel函数 2）1阶第一类Bessel函数 3）0阶与1阶第一类Bessel函数图形曲线 曲线特点：振荡函数，随x的增加，振幅减小。,地下水动力学讲稿_第五讲,48,地下水向完整井的非稳定运动附录