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第五节 随机变量的函数的分布,问题的提出 离散型随机变量的函数的分布 连续型随机变量的函数的分布,一、问题的提出,在实际中, 人们常常对随机变量的函数更感兴趣.,求截面面积 A= 的分布.,* 比如，已知圆轴截面直径 d 的分布，,* 再比如, 已知 t=t0 时刻噪声电压 V 的分布，,求功率 W=V2/R (R 为电阻) 的分布等.,二、离散型随机变量函数的分布,例1:,设X,求 Y= 2X + 3 的概率函数.,设随机变量 X 的分布已知, Y=g (X), 如何由 X 的分布求出 Y 的分布？,解： 当 X 取值 1，2，5 时， Y 取对应值 5，7，13，,而且X取某值与Y取其对应值是两个同时发生的事件,两者具有相同的概率.,故,如果 g(xk) 中有一些是相同的, 把它们作适当并项即可.,一般地, 若X是离散型 r.v ，X 的分布律为:,则 Y=X2 的分布律为：,三、连续型随机变量函数的分布,解: 设Y 的分布函数为 FY(y)，,例2:,设 X ,求 Y=2X+8 的概率密度.,于是Y 的密度函数:,故:,注意到: 0 x 4 时，,即: 8 y 16 时，,此时:,Y=2X+8,当 y0 时,注意到: Y=X2 0,解: 设Y 和 X 的分布函数分别为 和 ，,求导可得:,若,则 Y=X2 的概率密度为：,该概率密度函数对应的分布为：,从上述两例中可以看到, 在求 P(Y y) 的过程中, 关键的一步是设法从 g(X) y 中解出X, 从而得到与 g(X) y 等价的X 的不等式.,这样做是为了利用已知的 X的分布，从而求出相应的概率.,这是求r.v的函数的分布的一种常用方法.,例如:,例4: 设随机变量X的概率密度为:,求 Y = sinX 的概率密度.,解:,所以：,其中，,x=h(y) 是 y=g(x) 的反函数 .,设 X是一个取值于区间 a, b, 具有概率密度 f(x)的连续型随机变量, 又设 y=g(x)处处可导, 且对于任意 x, 恒有 g(x)0 或恒有 g(x)0, 则 Y=g(X)是一个连续型随机变量，它的概率密度为：,定理:,解：,例7 设随机变量 服从正态分布，,也服从正态分布.,证明：,*随机变量函数的分布,II. 连续型随机变量函数概率密度的求法:,(1)先求出Y的分
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