等价关系的应用数学毕业论文范文.doc

合肥师范学院2012届本科生毕业论文（设计）装订线 本科生毕业论文（设计） 题目：等价关系的应用 22浅谈等价关系在大学数学一些课程中的应用摘 要等价关系作为集合元素之间的一种特殊二元关系，在大学数学多门课程中均有广泛应用，例如数学分析，高等代数，近世代数，离散数学，点集拓扑等基础课程和专业核心课程本文首先从等价关系的两种定义出发，通过等价关系的不同定义其在高等代数中的矩阵合同、相似概念；近世代数中的陪集、商群概念；离散数学中的等值式；图论及点集拓扑中的连通关系、商空间等概念，并讨论这些概念在一些课程中的作用其次，讨论等价关系在高等数学的求解极限中的应用最后，本文讨论了等价关系在大学课程之外的应用拓展关键词：等价关系；相似；陪集；商群；商空间abstract装订线as a special mutual relation within elements of a set, equivalence relation play an important and wide role in the university mathematics courses, such as mathematical analysis, advanced algebra, modern algebra, discrete mathematics, point set topology and other basic curriculum and the professional core courses. firstly, from the two definition of equivalence relation, this paper define the concepts of matrix similar in higher algebra, the conset quotient groups of modern algebra, equivalent type of the discrete mathematics,connected relation, quotient space concepts of graph theory and topology through different equivalence classes and discuss application of these concepts in those courses. secondly,this paper is using the equivalent relation to solving limit of higher mathematics. finally, this paper discusses the application development of equivalent relation which is outside of university courses.key words: equivalence relation ; similar ; conset ; topology of connected relation ; quotient space目 录摘 要iabstractii1引言12基本概念23等价关系与集合分类间的关系43.1由集合分类唯一确定一等价关系43.2等价关系唯一确定一集合分类43.3简单的应用64等价关系在几门课程中的应用74.1数学分析中的等价关系74.2高等代数中的等价关系94.2.1初等变换94.2.2矩阵的相似104.2.3矩阵的合同104.3等价关系在离散数学中的引出的新概念114.4等价关系在近世代数中的引出的新概念134.4.1陪集134.4.2商群154.5等价关系在点集拓扑中的引出的新概念154.5.1商空间154.5.2连通分支164.5.3道路连通空间175等价关系的发展以及应用拓展186小结20参考文献21致谢221 引言大学四年，在开设的数学与应用数学基础、核心课程中，我们发现，大多课程都是以集合作为第一章内容，随后利用集合定义映射、函数等概念，反之两集合元素之间的关联体现元素与元素之间关联，而映射和函数均为一种特殊的关系在集合的所有关系中，有一种特殊的关系等价关系出现在了大学数学众多课程中，例如：数学分析中等价无穷小的概念，高等代数中矩阵的合同、相似、等价概念，近世代数的中集合的分类等等基于此，本文从等价关系的两种定义出发，即代数角度和集合角度的定义出发，通过其等价类来统一总结与等价关系息息相关的这些概念，一方面有助于对这些课程中新概念的理解，另一方面进一步了解等价关系以及各种具体的等价类,有助于大家对等价关系的更深理解,并提高大家抽象思维能力和逻辑推理能力，为今后进一步学习和掌握与等价关系相关的新概念打好基础所以有必要对等价关系做一个更为深刻的理解本文首先介绍了等价关系的定义，其次分析了等价关系在数学分析、高等代数、离散数学、近世代数和离散数学等课程中的主要应用，最后对这些应用作了分析与拓展，使大家对等价关系有更为透彻的把握，也希望大家有一个大致的轮廓：以等价关系为主线，周围延伸出其在一些课程的应用2 基本概念首先，从代数和集合两个角度分别给出等价关系的定义.定义 2.1 一个到的映射叫做的元间的一个关系若=对，就说和符合关系，记成定义 2.2 设为非空集合 上的二元关系如果满足自反的、对称的和传递的，则称为 上的等价关系(1) 反射律( 自反性) : , 均有;(2) 对称律（对称性）: , 均有;(3) 推移律( 传递性) : , 均有.等价关系是指非空集合中二元反射律，对称律及推移律的一种二元关系，也就是定义2.3 设是一个非空集合，是中的一个二元关系，它满足以下条件: 1.，均有； 2.，若有，则有； 3.，若有及则有就叫集合的一个等价关系这个定义也可改写为较简单的定理2.1 设是一个非空集合，是中的一个二元关系，它满足以下条件:1,均有；2，若有及，则定有.就叫集合的一个等价关系 再来看为何前两个定义是一致的说明:（i）由定义2.1的自反性推出定义2.2中的第二条是显然的，这里就不再讨论了（ii）由的对称律知，所以有 ，又，所以有 证毕 数学中，等价关系有很多，例如，容易验证：为等价关系，我们称之为平凡的等价关系 下面再举几个例子 例1 集合的幂集中两个元素之间的“相等关系”可以理解为的子集,容易验证它是自反的，对称的，传递的因此是中的一个等价关系例2 集合的幂集中的两个元素之间的“包含关系”可以理解为集合的子集显而意见他是自反的，传递的，但是他不是对称的，因此不是中的一个等价关系 例3 实数集合中有一个通常的小于等于关系，即的子集容易验证关系是传递的，但是反对称的，反自反的所以不是上的等价关系3 等价关系与集合分类间的关系本节中，我们讨论等价关系与集合的分类之间的一一对应关系，近世代数中的内容告诉我们，集合的任一等价关系可唯一的确定集合的一种分类，反之，集合的任一分类可唯一地确定一等价关系本文就是从等价关系确定的等价类出发，来讨论几门课程中与等价关系息息相关的新概念3.1 由集合分类唯一确定一等价关系先来看集合的分类定义 3.1.1若把一个集合分成若干个叫做类的子集，使得的每一个元属于而且只属于一个类，那么这些类的全体叫做集合的一个分类等价关系于集合的分类的关系由以下的两个定理可以看出定理 3.1.1 集合的一个分类决定的元间的一个等价关系我们利用给的分类来做一个等价关系规定：,当而且仅当，在同一类 这样规定的 显然是的元间的一个关系只需证明，它是一个等价关系即可 （i）与同在一个类，即; （ii）若和同在一类，那么与也在一类，即; （iii）若，同在一类，且，同在一类，因为类与类之间两两无交，所以，也在同一类，即 从而命题得证3.2 等价关系唯一确定一集合分类 反之，下面的定理告诉我们：集合中元之间的一种等价关系亦能唯一确定集合的一种分类 定理3.2.1 集合元间的一个等价关系决定的的一个分类 我们利用给定的等价关系来做一个的分类把所有同的一个固定元等价的元都放在一起，作为一个子集，这个子集有符号来表示我们说，所有这样得到的子集就做成的一个分类可以分三步来证明这一点(i) 假定 那么，由等价关系的性质以及 和 的定义， 这就是说，(1) 但由等价关系的相关性质， 因此同样可以推得(2) 由(1)与(2)， (ii) 的每一个元只能属于一个类，假定 那么由，的定义， ，这样有上面的定理3.1.1证明的（ii） ，（iii）步得 ，于是由（i）可得 =(iii)的每一个元的的确属于某一个类因为，由定理3.1证明的（i）以及上述类的定义， 证完 由此可见，集合的等价关系与集合的分类之间有一一对应的关系，而本文正是基于这种对应关系，由集合的某一种等价关系确定的等价类诱导出数学分析、高等代数、近世代数等课程中的几个重要概念及应用3.3 简单的应用 等价关系及对应的等价类例子在生活中随处可见，比如定义一个班级同学的性别关系：甲乙满足关系当且仅当甲乙同性别（甲乙分别是指同学甲、乙），显然其为等价关系，利用等价关系确定等价类的方法很快得出两个等价类：男生、女生下面再介绍等价关系的两个简单应用的例子来说明如何利用等价关系来确定相应的等价类. 例 1 我们取一个固定的整数，利用这个，我们规定的元间的一个关系，当而且只当的时候，这里表示能整除可以验证这就一个等价关系 例 2 定义在整数集上的关系，则可以验证是等价关系，并且有4 等价关系在几门课程中的应用4.1 数学分析中的等价关系数学分析中，等价关系主要是指等价无穷小，有时候当我们在求极限时，我们可以不用罗比达法则，而利用等价无穷小会往往会给我们的求解带来极大地方便定义4.1 若性质 ，则； .1) 自反性：；2) 对称性：；3) 传递性：.综上所述，等价无穷小是等价关系.常见的等价无穷小:当时，从等价关系的角度来看，求极限时，将比值极限为1的两个无穷小量定义为等价关系，从而根据此等价关系将比值极限为1的无穷小量归为一类，在求极限时可以相互替代，给大家在求极限时带来很大的方便.例1 求极限解 因为，例 2 解 利用,则例 3 解 此题如果不用等价无穷小，在第二步的时候就要使用罗比达法则对分子分母分别求导，读者可以自己尝试，但这样可能会带来一定的计算量同时还有可能出错例 4 解 有，从而 从以上四例可以看出如果用罗比达法则去解题都会带来很大的计算量，而且很容易出错，而利用等价无穷小去求解极限，它大大提高了求解的效率和正确率，从而带来了解题的方便性4.2 高等代数中的等价关系4.2.1 初等变换在高等代数中我们讲的等价关系主要是讲矩阵的等价在讲等价矩阵之前，我们先定义初等变换定义4.2.1 对矩阵施行一下三种运算称为初等行(列)变换：（1） 对调矩阵的某两行（列）；（2） 非零数乘以矩阵的某一行(列)；（3） 一个数乘以矩阵的某一行（列）加到另外一行（列）我们再来看等价矩阵定义4.2.2 若矩阵经有限次的初等行变换变成矩阵，则称与行等价，记为;若矩阵经有限次的初等列变换变成矩阵，则称与列等价，记为;若矩阵经有限次的初等变换变成矩阵，则称与等价，记为所以初等变换满足等价关系，也就满足等价关系的自反性、对称性和传递性4.2.2 矩阵的相似定义4.2.3 设,为阶方阵，若存在可逆矩阵,使得则称与相似值得一提的是相似矩阵也必须满足反身性、对称性和传递性，因为矩阵相似必等价由定义我们注意两点：1 单位矩阵和矩阵或者单位矩阵相似的只能是他们本身 即,2 存在可逆矩阵.易知所以我们可以得出结论：，但是反过来就不成立4.2.3 矩阵的合同定义4.2.4 设为阶方阵，若存在可逆矩阵使得,则称与合同合同是矩阵之间的一种关系，很容易看出，合同关系具有 反身性: ; 对称性：由即得； 传递性：由和即得合同我们必须注意两点1.合同必定等价，等价未必合同；2.是对称矩阵既相似有合同与一个对角阵，即存在可逆矩阵使得下面通过几个简单的例子来进一步了解高等代数中的等价、相似、合同 例 1 已知4阶矩阵相似与,的特征值为2、3、4、5，则 解 要解决这个问题首先就要对等价关系的性质要有一个透彻的理解，由得特征值和性质相似的性质就可以知道矩阵的特征值是2、3、4、5，所以的特征值是1、2、3、4，所以，所以这道题利用相似的性质去解答就很简单 例 2 设则的个特征值是多少？ 解 由可以知道矩阵是可以对角化的，而且可以知道矩阵的秩是1(读者可以自己利用矩阵的性质加以证明）,所以有且仅有一个非零特征值，再由相似的性质可知该特征值是，而其余个特征值都是零 例 3 试判定=，=是否等价？是否相似？是否合同？ 解 首先观察这两个矩阵很容易看出他们是等价的，因为矩阵可以由经过一系列的初等变换而得，至于相似和合同我们可以通过求他们的特征值来确定, 具有四阶特征值1，具有二阶特征值1,二阶特征值-1，所以他们是不相似的（特征值的大小不一样）而且是不合同的（特征值的正负性是不同的）4.3 等价关系在离散数学中的引出的新概念离散数学中的等价关系是从代数角度出发定义的，也就是等价关系的定义2.1所定义的，在这里记作 定义 4.3.1 设为非空集合 上的等价关系，令 ，则称 为关于 的等价类，简记为 定义 4.3.2 设为非空集合 上的等价关系，以 的所有不交的等价类作元素的集合称为 关于 的商集，记为，即 定义 4.3.3 设为非空集合 上的等价关系，如果是自反的、反对称的和传递的，则称为上的偏序关系，简称偏序，记作例如实数集上的小于等于关系，正整数集上的整除关系都是偏序关系 需要指出的是偏序关系是等价关系的一种延伸，它和等价关系一起作为离散数学的两种重要的关系，对集合进行不同的分类例 ，其中的含义就是可以被3整除不难验证为上的等价关系，其中可以得到相应的等价类有 ，另外可以得到的相应的商集 数理逻辑中，命题公式 和等值(记为)是指由它们构成的等价式 为永真式命题公式的等值关系是建立在由所有命题公式构成的集合上的一种等价关系，这种等价关系将所有命题公式按其是否等值划分成若干个等价类，属于同一个等价类中的命题公式彼此等值，因而，只要清楚了等价类中某一个公式的性质，则与该公式同类的公式的性质也就完全清楚了至于等价类的公式这里不再介绍，下面看几个例题 例 1 验证等值式 证明 蕴涵等值式 结合律 德.摩根律 蕴涵等值式 需要指出的是上面的每一步都用了置换规则在上述演算中，是从左边公式开始进行的，当然也可以从右边公式演算 例 2 判别公式的类型： 解 因而是满足式 图论中，无向图中点与点之间的连通关系实际上是一种等价关系，它是建立在由无向图中所有结点做成的集合上的等价关系，只要两个结点间存在通路，则这两个结点就是等价的，它们便归于同一类，无向图中连通分支的概念就建立在连通关系的基础之上图的同构关系也是图论中又一种十分重要的等价关系，它实际上是全体图集合上的一个同时具有自反、对称和传递三个性质的二元关系，可按此等价关系对全体图集合中的图进行划分，使属于同一个等价类中的图具有完全相同的性质4.4 等价关系在近世代数中的引出的新概念我们知道群、环、域是近世代数的三个重要组成部分，三部分中的由等价关系所引出的陪集和商群的概念是大家学习的一个难点 先看一个群和的一个子群，先规定一个的元中间的关系： ,当且仅当的时候给出了和，可以唯一决定是不是属于，所以是一个关系且(1) ,所以；(2) ，所以 ；(3) ，所以 这样，是一个等价关系利用这个等价关系，可以得到一个的分类这样得来的类有一个特殊的名字，并且用一种特殊的符号来表示他们，在下一节中将会对其有一个详细的介绍4.4.1 陪集定义 4.4.1 由上节的等价关系所决定的类叫做子群的右陪集包含元的右陪集用符号来表示 同样的道理我们可以定义左陪集我们可以再规定等价关系：，当且仅当的时候 同右陪集一样可以看出，也是一个等价关系利用这个等价关系，可以得到的另一个分类，第三章已经讲过，这里就不再做过多的描述 定义 4.4.2 由等价关系所决定的类叫做子群的左陪集，包含元的左陪集用符号来表示例 ，求子群的左右陪集解 容易得到 同样也可以用来做右陪集但是因为所以一定有 可以算一个测验一下：,.这样，子群把整个群分成三个不同的右陪集而这三个右陪集放在一起显然是的一个分类类似的可以得到右陪集：可以看到的左右陪集并不相同 利用左右陪集的概念可以得到不变子群给出一个群，一个子群，那么的一个右陪集未必等于 定义 4.4.3一个群的子群叫做一个不变子群，假如对于的每一个元来说，都有=时一个不变子群的左(右)陪集叫做的一个陪集 注意，所谓=，并不是说可以和的每一个元交换，而且说和这两个集合一样4.4.2 商群定义 4.4.4 一个群的不变子群的陪集所做成的群叫做一个商群，用符号来表示 因为的指数就是的陪集的个数，显然有，商群的元的个数等于的指数，当是有限群的时候，有 从等价关系的角度看, 商群就是关于不变子群根据上述等价关系所做的一个分类, 把每一个类“粘合”成一个元, 这些新的元素构成的群称为的商群例1 是一个不变子群首先容易看出是子群，因为.但是,，所以从而命题得证4.5 等价关系在点集拓扑中的引出的新概念4.5.1 商空间定义 4.5.1 设是一个拓扑空间, 是一个集合，为一个满射,则 是 的一个拓扑，称为 的一个商拓扑定义4.5.2 设是一个拓扑空间, 是的一个等价关系商集及其商拓扑 构成的拓扑空间称为的商空间 定义 4.5.3 设和是两个拓扑空间，满足，则称映射为一个商映射，如果他是一个满射并且的拓扑是对于映射而言的商拓扑 如果是一个拓扑空间，是中的一个等价关系，若无另外的说明，则认为商集的拓扑是商拓扑，也就是说将商集认为拓扑空间时，指的就是商空间 通过在一个拓扑空间中给定等价关系的办法来得到商空间是构造新的拓扑空间的一种重要的方法手段，下面看几个例子 例 1 在单位闭区间中定义一个等价关系便得到了一个商空间习惯上将这个商空间说成是“在单位闭区间i中粘合两个短点所得到的商空间” 例 2 在单位正方形中定义一个等价关系：得到了一个商空间将这个商空间简单的说成是将的一对竖直的对边上的每一对具有相同的第二个坐标的点和粘合而得到的商空间这个商空间将同陪与一截“管子”，即圆柱面4.5.2 连通分支定义4.5.4 设是一个拓扑空间，如果中有一个连通子集同时包含和，称点和是连通的定义4.5.5 设是一个拓扑空间，对于中的点的连通关系而言的每一个等价类称为空间的一个连通 如果是拓扑空间的一个子集，作为的子空间的每一个连通分支称为的子集的一个连通分支定理4.5.1 设是一个拓扑空间，是拓扑空间的一个连通分支，则（1）如果是的一个连通子集，并且；（2）是一个连通子集；（3）是一个闭集4.5.3 道路连通空间定义4.5.6 设是一个拓扑空间，如果中有一条从到的道路，我们则称点和是道路连通的 定义 4.5.7 设是一个拓扑空间，对于中点的道路连通关系而言的每一个等价类称为拓扑空间的一个道路连通分支 如果是拓扑空间的一个子集，作为的子空间的每一个道路连通分支称为的子集的一个道路连通分支5 等价关系的发展以及应用拓展离散数学课程中,将等价关系用于多方面具体的分类,所以将要讲述一些关于等价关系的扩展知识等价关系的概念在被广泛应用的同时,也在不断地发展当中自从美国计算机与控制论专家l. a.zadeh 于1965 年首次提出fuzzy 集的概念,从而对经典的cantor 集合理论做出了深刻的推广以来,模糊数学已经逐步发展成为一个较为完善的数学分支,并在众多的领域特别是人工智能领域获得了卓有成效的应用经典的二元关系理论中存在一个缺限,即没有考虑元素与元素间关系程度的不同在zadeh提出了fuzzy 集的概念以后,人们便将经典的二元关系扩充为模糊数学中的模糊二元关系, 通过模糊二元关系可以较好地刻画元素与元素间关系程度的不同,以模糊二元关系为基础,人们很自然地提出了模糊等价关系的概念一个上的模糊等价关系实际上就是上的一个模糊子集,满足自反性、 对称性和传递性,与普通等价关系既有关系又有区别借助于模糊等价关系,可以较好地解决具有fuzzy 性的聚类分析问题,而聚类分析则是数据挖掘领域中的重要课题之一在教学过程中适当介绍模糊等价关系,一方面可以使学生们加深对等价关系概念的理解,学会用发展的眼光分析和解决问题,另一方面可以克服大多数离散数学教材只注重阐述理论而很少涉及其理论在计算机领域中的应用的缺陷,使学生们尽可能多地了解等价关系在计算机领域中的具体应用,提高学习的兴趣事实上,等价关系在计算机领域中还有很多应用,例如在软件工程领域,为了尽可能多的找出软件设计过程中可能存在的各种错误,常常使用一种被称之为“等价类划分”的软件测试方法这种方法实际上就是将所有待测试的数据所构成的集合划分成若干个符合软件需求规格及设计规定的有效等价类和若干个不符合软件需求规格及设计规定的无效等价类,然后在每个有效等价类和无效等价类中只各取一个数据进行测试在组合计数问题中会碰到这样一种困难，即区分所讨论的组合计数问题中哪些应该看成是相同的，哪些应该看成是不同的，在计数的过程中不能出现任何的重复或遗漏这种困难是概念性的，因为它要依据具体问题的要求确切地给出对象异同的数学定义也就是说，要在对象集合上定义一个等价关系，这样，计数的对象便是等价类，而不是元素本身组合计数问题中的许多结论、定理(如著名的burnside引理、polya计数定理)都要以这类等价关系的概念为基础 通过上面各种具体等价关系的描述可以看到，尽管这些具体的等价关系分属于离散数学课程中各个不同的分支，所基于的集合中的对象表现形式和描述方式不同，对象的性质也是千差万别，但它们都是基于某一集合上的二元关系且均具有自反、对称和可传递三个性质，将它们的这种共性抽象出来便可使这些具体的等价关系都统一到定义1上来，从而实现了从特殊到一般的抽象由此可见，等价关系实质上是对相应集合中的具有同一性的对象即具有共性特征的对象的一种抽象，从认识论的角度来看，这符合从特殊到一般的认识规律