平面简谐波的波函数.ppt

1,简谐波（harmonic waves): 波源的振动是简谐振动，介质中的质元都作简谐振动。,平面简谐波（plane harmonic waves） 波面是平面的简谐波。,平面简谐波,等幅平面简谐波 ：,介质不吸收波动的能量，介质中的质元都作振幅相等的简谐振动,10-2 平面简谐波的波函数,2,一、（等幅）平面简谐波的波函数,波函数:能够描述波动中所有质点运动状态的函数 y=y(x,t),介质中所有质点均作同频率、 同振动方向、同振幅的简谐振动。,平面简谐波函数的一般形式应为：,关键问题：确定位于x 处的质点的振动初相(x)。,右行波:沿x轴正向传播 左行波:沿x轴负向传播,3,沿波的传播方向,各质元的振动相位依次落后。,波动是振动相位的传播,图中b点比a点的相位落后,a点的振动传到b点需时间：,在这段时间内a点的振动相位增加量（即旋转矢量又转过的角度）为：,沿着波动传播的方向上相距L的两个质元间的振动相位差如何？,4,设原点振动表达式为：,沿波线上相距为一个波长的两点，振动的相位差为2。,5,所以，p 点的振动方程为：,P点的振动 初相位：,P点与O点的相位差为：,为坐标原点O点在t=0时刻的振动相位,设为已知.,右行波,这就是平面简谐波的波函数，或称为波动方程,P点在t时刻的位移等于原点处质点 在 时刻的位移,6,左行波的波函数：,p点的相位超前于O点相位：,所以 p点的振动方程，也就是左行波的波函数为：,7,波函数的几种常用形式,8,演示实验安排 周三 第3节 7班 第4节 8班,9,二 波函数的物理含义,（波具有时间的周期性）,1 一定， 变化,表示 点处质点的振动方程（ 的关系）,10,波线上各点的简谐运动图,11,2 一定 变化,该方程表示 时刻波传播方向上各质点的位移, 即 时刻的波形（ 的关系）,12,3. t 与 x 都发生变化,波在t时刻x处的相位经t时间后传到x+x处，传播的距离是u t,总之：当t, x都发生变化时，波函数就描述了波的传播过程。波函数就是普适性的振动方程.,13,三、有关波函数的应用,1、已知波函数即 均为已知.,1) 从波函数表达式中求:,利用比较法:将所给的波函数化为标准形式,再与标准式比较,得到所求.,14,例1 已知某一简谐波的波函数为：,求该波的波长、波速、周期、和坐标原点的振动初相,解,将原式变形为标准形式：,立即可得：,15,2）利用波函数研究质点的运动,任意 x 处质点的运动方程为：,该质点的速度和加速度分别为：,该质点的振动初相位为：,16,例2 已知某一简谐波的波函数为：,求波线上x=10m处的质元在t=5s时的位移，速度与加速度；再求该质元与x=25m处质元的振动相位差。,解,将x=10m带入波函数：,这就是该质元的运动方程。速度和加速度分别为：,17,将t=5s分别带入三个式子，即得所求。,18,2、建立平面简谐波的波函数,已知质元的振动情况，确定波函数。难点是确定坐标原点的初相,例3 已知一沿X轴正向传播的平面简谐波的振幅A、周期T、波速u。t=0时，x=0处的质点位于-A/2处且向位移的负方向运动。试求该波的波函数。,解,确定坐标原点的振动初相0,由：t=0时，x=0处的质点位于-A/2处 且向位移的负方向运动，知,19,例4.一平面简谐波，波长为12m，沿 ox轴负向传播.图（a）所示为x=1.0m处质点的振动曲线，求波动方程。,解：t=0时此质点的相位,t=5s时质点第一次回到平衡位置所以,x=1m处质点的运动方程为,20,把u=1.0m/s，x=1.0m代入波动方程一般形式,并与x=1.0m处的运动方程作比较，得,波动方程为,21,例5 已知一沿X轴负向传播的平面简谐波在t=0时的波形曲线如图所示。试求该波的波函数,解,确定坐标原点的振动初相0,由图知：t=0时，x=0处的质点位于A/2处 且向位移正方向运动,由图知：t=0时，x=1m处的质点位于平衡位置处且向位移负方向运动,22,23,复 习,24,15-3 波的能量和能流,一、波的能量和能量密度,波不仅是振动状态(相位)的传播，而且也是伴随着振动能量的传播。,以棒中的纵波为例,有一 平面简谐波：,质量为,在x处取一体积元,25,质元的动能为：,（可以证明）因为形变该质元的弹性势能为：,体积元内媒质质点的总能量为：,dWk = dWp,质元的振动速度,26,波动质元：,27,(1) 固定x,物理意义,dWk = dWp,(2) 固定t,Wk,Wp,(1/4) 2A2,28,说明：,2）在波传动过程中,任意质元的能量不守恒.其与邻近 的质元进行能量交换,表明了波的传播正是能量的传播.,3)以上结论针对棒中的纵波得出,对其余的波虽能量的 具体形式不同,但动能势能同相位的结论仍成立.,1)任意时刻，质元动能与势能相等，即动能与势能同时达到最大或极小。即同相的随时间变化。这不同于孤立振动系统。,29,孤立 谐振子 振动,Wk,Wp,(1/4) 2A2,波动,30,说明：,2、能量密度与振幅平方 频率平方 和质量密度 均成正比。,能量密度：介质中单位体积内的波动能量。,平均能量密度：一个周期内能量密度的平均值。,1、能量密度随时间周期性变化，其周期为波动周期的一半。,31,能流密度:(波的强度) 通过垂直于波动传播方向单位面 积的能流。,平均能流：在一个周期内能流的平均值。,能流