高考数学一轮复习第七篇立体几何（）第2节空间几何体的表面积与体积习题理（含解析）.docx

第2节 空间几何体的表面积与体积【选题明细表】知识点、方法题号空间几何体的侧面积与表面积2,5,7,9空间几何体的体积1,3,11,13与球有关的问题6,10,12,14折叠与展开问题4综合应用8,15基础巩固(时间:30分钟)1.(2017北京卷)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为(D)(A)60 (B)30 (C)20 (D)10解析:由三视图知,该三棱锥的高为4,底面是直角边长为3和5的直角三角形,所以V=4=10.选D.2.(2016全国卷)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是,则它的表面积是(A)(A)17(B)18(C)20(D)28解析:因为R3=,所以R=2.S=4R2+3R2=17,故选A.3.(2018全国卷)在长方体ABCDA1B1C1D1中,AB=BC=2,AC1与平面BB1C1C所成的角为30,则该长方体的体积为(C)(A)8 (B)6 (C)8 (D)8解析:如图,连接AC1,BC1,AC.因为AB平面BB1C1C,所以AC1B为直线AC1与平面BB1C1C所成的角,所以AC1B=30.又AB=BC=2,在RtABC1中,AC1=4,在RtACC1中,CC1=2,所以V长方体=ABBCCC1=222=8.故选C.4.(2018全国卷)某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图.圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A,圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上,从M到N的路径中,最短路径的长度为(B)(A)2 (B)2 (C)3 (D)2解析:先画出圆柱的直观图,根据题图的三视图可知点M,N的位置如图所示.圆柱的侧面展开图及M,N的位置(N位于OP的四等分点)如图所示,连接MN,则图中MN即为M到N的最短路径.ON=16=4,OM=2,所以MN=2.故选B.5.(2017福建南平模拟)如图,一个几何体的三视图分别为两个等腰直角三角形和一个边长为2的正方形(含一条对角线),则该几何体的侧面积为(B)(A)8(1+)(B)4(1+)(C)2(1+)(D)1+解析:由已知中的三视图可得该几何体的直观图如图所示.底面为正方形,AB=AD=2,棱锥的高为SA=2.SB=SD=2,CDSD,CBSB,所以S侧=SSAB+SSAD+SSCB+SSCD=2SSAB+2SSCB=222+222=4+4.故选B.6.(2018福建模拟)已知三棱锥D-ABC中,AB=BC=1,AD=2,BD=, AC=,BCAD,则该三棱锥的外接球的表面积为(B)(A)(B)6(C)5(D)8解析:由勾股定理易知ABBC,因为DABC,所以BC平面DAB.所以CD=.所以AC2+AD2=CD2.所以DAAC.取CD的中点O,由直角三角形的性质知O到点A,B,C,D的距离均为,其即为三棱锥的外接球球心.故三棱锥的外接球的表面积为4 ()2=6.7.已知圆锥的母线长为2,高为,则该圆锥的侧面积是.解析:由圆锥的性质知其底面圆的半径为=1,所以圆锥的侧面积为S侧=rl=12=2.答案:28.(2018六安模拟)我国古代数学名著数书九章中有“天池盆测雨”题:在下雨时,用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸,盆底直径为一尺二寸,盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸,则平地降雨量是寸.(注:平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积;一尺等于 十寸)解析:因为圆台的轴截面为等腰梯形,上底为2.8尺,下底为1.2尺,所以中位线为=2,所以盆中积水的上底面半径为1尺,所以盆中积水为V=h(S上+S下+)=0.9(0.62+12+)= 0.31.96=0.588.又盆口面积为S=1.42=1.96 .所以平地降水量为=0.3尺=3寸.答案:3能力提升(时间:15分钟)9.(2016全国卷)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为(B)(A)18+36(B)54+18(C)90 (D)81解析:由三视图知此多面体是一个斜四棱柱,其表面积S=2(33+36+33)=54+18.故选B.10.(2018合肥模拟)底面是正多边形,顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫正棱锥.如图,半球内有一内接正四棱锥S-ABCD,该四棱锥的体积为,则该半球的体积为(A)(A)(B)(C)(D)解析:设所给半球的半径为R,则棱锥的高h=R,底面正方形中有AB=BC=CD=DA=R,所以其体积R3=,则R3=2,于是球的体积为V= R3=,则半球的体积为V=.11.(2018日照一模)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的体积为(A)(A)(B)(C)(D)解析:该几何体可以看成是在一个半球上叠加一个圆锥,然后挖掉一个相同的圆锥,所以该几何体的体积和半球的体积相等.由题图可知,球的半径为2,则V=r3=.故选A.12.(2018全国卷)设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点,ABC为等边三角形且其面积为9,则三棱锥DABC体积的最大值为(B)(A)12(B)18(C)24(D)54解析:由等边ABC的面积为9可得AB2=9,所以AB=6,所以等边ABC的外接圆的半径为r=AB=2.设球的半径为R,球心到等边ABC的外接圆圆心的距离为d,则d=2.所以三棱锥D-ABC高的最大值为2+4=6,所以三棱锥D-ABC体积的最大值为96=18.故选B.13.(2018全国卷)已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB互相垂直,SA与圆锥底面所成角为30,若SAB的面积为8,则该圆锥的体积为.解析:在RtSAB中,SA=SB,SSAB=SA2=8,解得SA=4.设圆锥的底面圆心为O,底面半径为r,高为h,在RtSAO中,SAO=30,所以r=2,h=2,所以圆锥的体积为r2h=(2)22=8.答案:814.(2017全国卷)已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上,SC是球O的直径.若平面SCA平面SCB,SA=AC,SB=BC,三棱锥S-ABC的体积为9,则球O的表面积为.解析:O为球心,SBC,SAC为等腰直角三角形,SAC=SBC=90.AOSC.BOSC.所以AOB为二面角A-SC-B的平面角,又因为平面SCA平面SCB,所以AOB=90,且SC平面AOB,设球的半径为r,SAOB=r2,=+VC-AOB=2=2SAOBSO=2r2r=,所以=9,所以r=3.所以球的表面积为S球=4r2=36.答案:3615.(2018兰州模拟)已知正三角形ABC三个顶点都在半径为2的球面上,球心