阶线性与全微分--华南理工大学高数.ppt

由基尔霍夫定律, 得微分方程 ,实例一 电路,有一个电路如图所示, 其中电源电动势为E=Emsinwt (Em、w都是常数), 电阻R和电感L都是常量. 求电流I(t).,实例二,静脉输液问题.,静脉输入葡萄糖是一种重要的医疗技术.,研究这一过程,设G(t)为时刻 t 血液中葡萄糖含量,与此,血液中的葡萄糖还会转化为其他物质或转移,其速率与血液中的葡萄糖含量成正比.,试列出描述这一现象的微分方程.,为了,到其他地方,含量.,糖以常数,同时,需要知道t 时刻中血液中的葡萄糖,且设葡萄,的固定速率输入到血液中,为正的比例常数,关于未知函数和未知函数的导函数都是线性的.,方程特点：,一阶微分方程,第四节 一阶线性微分方程,一阶线性微分方程的标准形式,上面方程称为,上面方程称为,如,线性的;,非线性的.,齐次的;,非齐次的.,一阶,自由项,齐次方程的通解为,1. 线性齐次方程,一阶线性微分方程的解法,(使用分离变量法),(C1为任意常数),2. 线性非齐次方程,的解.,2. 常数变易，令,1. 求相应的齐次方程 的通解,待定函数,3.确定u(x)，得线性非齐次方程的通解,常数变易法,例 解方程,化为标准形式,相应的齐次方程,代入原方程得,令,解：,例 解方程,若将方程写成,则它既不是线性方程,又不能分离变量.,若将方程写成,以x为未知函数,即,一阶非齐次线性方程.,分析,y 为自变量的,此外, y = 1也是原方程的解.,解,请大家补齐求解的过程,练习,练习,其中 为可微函数，求,形如,的方程,方程为线性微分方程.,方程为非线性微分方程.,称为,伯努利(Bernoulli)方程.,雅个布 伯努利 (瑞士) 1654-1705,伯努利(Bernoulli)方程,考察下列方程是否是(或能否化为)伯努利方程？,解法,用,除方程的两边,得,即,方程就可化为z 的一阶线性方程,令,解微分方程,例,解,原方程变形,一阶线性方程,原方程的解,思考题,A. 有极大值,B. 有极小值,C. 某邻域内单调增加,D. 某邻域内单调减少,例 解方程,解：,12.5 全微分方程,如果 P(x, y)dx+Q(x, y)dy恰好是某一个函数u=u(x, y)的全微分: du(x, y)=P(x, y)dx+Q(x, y)dy, 那么方程P(x, y)dx+Q(x, y)dy=0就叫做全微分方程.,第五节 全微分方程,解法,(1) 用直接凑全微分的方法. (2) 应用曲线积分与路径无关. (3) 不定积分法.,全微分方程,例1 求解(5x4+3xy2-y3)dx+(3x2y-3xy2+y2)dy=0,解,这里P=5x4+3xy2-y3 Q=3x2y-3xy2+y2 且,所以这是全微分方程,其通解为,定义,如何求方程的积分因子?,积分因子法,则称,为方程的,成为全微分方程.,问题,积分因子.,例 求方程ydx-xdy=0的积分因子并求其通解,因为,解,因为,故所给方程的通解为,例 求方程 (1+xy)ydx+(1-xy)xdy=0 的积分因子并求其通解,解,积分得通解,将方程的各项重新合并 得,(ydxxdy)xy(ydxxdy)0,再把它改写成,用积分因子乘以方程 方变为,解,方程的积分因子为,因此方程的通解为,一阶微分方程的解题程序,(1) 审视方程, 判断方程类型;,(2) 根据不同类型, 确定解题方案;,(3) 若方程的