概率论与数理统计JA(48,13-14).ppt

3）Poisson 分布,如果随机变量X 的分布律为,则称随机变量 X 服从参数为的Poisson 分布,第二章 随机变量及其分布,2离散型随机变量,分布律的验证, 由于,可知对任意的自然数 k，有,第二章 随机变量及其分布,2离散型随机变量, 又由幂级数的展开式，可知,所以,是分布律,Poisson 分布的应用,Poisson分布是概率论中重要的分布之一 自然界及工程技术中的许多随机指标都服从 Poisson分布 例如，可以证明，电话总机在某一时间间隔 内收到的呼叫次数，放射物在某一时间间隔 内发射的粒子数，容器在某一时间间隔内产 生的细菌数，某一时间间隔内来到某服务台 要求服务的人数，等等，在一定条件下，都 是服从Poisson分布的,第二章 随机变量及其分布,2离散型随机变量,第二章 随机变量及其分布,2离散型随机变量,如果随机变量X 的分布律为,试确定未知常数c .,例11,由分布率的性质有,解：,例 12 设随机变量 X 服从参数为的Poisson分布， 且已知,解： 随机变量 X 的分布律为,由已知,第二章 随机变量及其分布,2离散型随机变量,得,由此得方程,得解,所以，,第二章 随机变量及其分布,2离散型随机变量,例 13,第二章 随机变量及其分布,2离散型随机变量,解：设 B= 此人在一年中得3次感冒 ,则由Bayes公式，得,第二章 随机变量及其分布,2离散型随机变量,_,=,Poisson 定理,证明：,第二章 随机变量及其分布,2离散型随机变量,对于固定的 k，有,第二章 随机变量及其分布,2离散型随机变量,所以，,Poisson 定理的应用,由 Poisson 定理，可知,第二章 随机变量及其分布,2离散型随机变量,例 14,设每次射击命中目标的概率为0.02，现射击400次， 求至少命中2次目标的概率（用Poisson分布近似计 算）,第二章 随机变量及其分布,解：,第二章 随机变量及其分布,2离散型随机变量,例 15 某车间有100 台车床独立地工作着，发生故障的概率都是 0.01. 在通常情况下，一台车床的故障可由一个人来处理. 问至少需配备多少工人，才能保证当车床发生故障但不能及时维修的概率不超过 0.01 ？,解：设需配备 N 人，记同一时刻发生故障的设备台 数为 X ，,则 X B(100，0.01），,取值，使得：,需要确定最小的 N 的,满足上式的最小的 N 是 4 , 因此至少需配备 4 个工人。,第二章 随机变量及其分布,2离散型随机变量,例 16 保险公司售出某种寿险（一年）保单2500份.每单交保费100元，当被保人一年内死亡时，家属可从保险公司获得2万元的赔偿.若此类被保人一年内死亡的概率为0.001，求 （1）保险公司亏本的概率； （2）保险公司获利不少于10万元的概率.,解：设此类被保人一年内死亡的人数为 X ，,则 X B(2500，0.001）.,第二章 随机变量及其分布,2离散型随机变量,例 16（续）,（1）P(保险公司亏本),（2）P(保险公司获利不少于10万元),4）几 何 分 布,若随机变量 X 的分布律为,第二章 随机变量及其分布,2离散型随机变量,分 布 律 的 验 证, 由条件, 由条件可知,综上所述，可知,是一分布律,第二章 随机变量及其分布,2离散型随机变量,几何分布的概率背景,在Bernoulli试验中，,试验进行到 A 首次出现为止,第二章 随机变量及其分布,2离散型随机变量,即,例 17,对同一目标进行射击，设每次射击时的命中率为0.64， 射击进行到击中目标时为止， X表示所需射击次数。 试求 (1) 随机变量 X 的分布律；（2） X 取偶数的概 率；（3）至少进行2次射击才能击中目标的概率 解：,第二章 随机变量及其分布,2离散型随机变量,5）超 几 何 分 布,如果随机变量 X 的分布律为,第二章 随机变量及其分布,2离散型随机变量,超几何分布的概率背景,一批产品有 N 件，其中有 M 件次品，其余 N-M 件为正品现从中取出 n 件 令 X：取出 n 件产品中的次品数 则 X 的分 布律为,2离散型随机变量,第二章 随机变量及其分布,第二章 随机变量及其分布,思考题： 若商店里某一时间段里来的顾客人数服从泊松分布，参数为 ，而每个顾客买电视的概率为 ，且各顾客之间是否买电视彼此间没有关系，求这一时间段卖出k台电视的概率。( ),2离散型随机变量,第二章 随机变量及其分布,本节小结：,1）离散型随机变量的分布率及其性质； 2）两点分布、二项分布、泊松分布、几何分布；,要求：,1）掌握分布率的性质； 2）熟练运用两点分布、二项分布、泊松分布、几何分布这几个分布模型解决实际问题。特别是二项分布。,3 随机变量的分布函数,第二章 随机变量及其分布,分布函数的定义 分布函数的性质,一、分布函数的定义,1）定义 设 X 是一个随机变量，x 是任意实数， 函数,称为 X 的分布函数,对于任意的实数 x1, x2 (x1 x2) ，有：,3 随机变量的分布函数,第二章 随机变量及其分布,解：当 x -2 时，,2） 例 子,3 随机变量的分布函数,第二章 随机变量及其分布,3 随机变量的分布函数,第二章 随机变量及其分布,同理当,3 随机变量的分布函数,第二章 随机变量及其分布,分布函数 F (x) 在 x = xk (k =1, 2 ,) 处有跳跃，其跳 跃值为 pk=PX= xk.,3 随机变量的分布函数,第二章 随机变量及其分布,说 明：,例 2 一个靶子是半径为 2 米的圆盘，设击中靶上任 一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比，并 设射击都能中靶，以 X 表示弹着点与圆心的距离. 试 求随机变量 X 的分布函数.,解：,（1） 若 x 0, 则,（2）,X,3 随机变量的分布函数,第二章 随机变量及其分布,是不可能事件，于是,（3） 若 , 则 是必然事件，于是,3 随机变量的分布函数,第二章 随机变量及其分布,0 1 2 3,1,F(x),x,3 随机变量的分布函数,第二章 随机变量及其分布,二、 分 布 函 数 的 性 质,1）性质： 分别观察离散型、连续型分布函数的图象， 可以 看出，分布函数 F(x) 具有以下基本性质：,（1） F (x) 是一个单调不减的函数,0 1 2 3,1,F(x),x,3 随机变量的分布函数,第二章 随机变量及其分布,（2）,（3）,-1 0 1 2 3 x,1,3 随机变量的分布函数,第二章 随机变量及其分布,2）用分布函数计算某些事件的概率,3 随机变量的分布函数,第二章 随机变量及其分布,用分布函数计算某些事件的概率（续）,3 随机变量的分布函数,第二章 随机变量及其分布,例 3,3 随机变量的分布函数,第二章 随机变量及其分布,(4),(5),(6),3 随机变量的分布函数,第二章 随机变量及其分布,(5),(6),例4 设随机变量 X 的分布函数为,解： 由分布函数的性质，我们有,3 随机变量的分布函数,第二章 随机变量及其分布,例 4（续）,解方程组,得解,3 随机变量的分布函数,第二章 随机变量及其分布,例5 设