概率2.4连续型随机变量.ppt

第二章,1,2.4 连续型随机变量及其概率密度,一、连续型随机变量及其概率 密度的定义 二、概率密度的性质 三、重要的连续型随机变量,返回,上页,下页,第二章,2,设随机变量X 的分布函数为F(x),如果存在一个非负可积函数f(x). 使对于任意实数x有,则称X 为连续型随机变量, 称函数f(x)为X 的概率密度函数, 简称密度函数.,1 f(x) 0, x R ;,一、密度函数的定义,二、概率密度函数的性质,F( x) =P X x ,返回,上页,下页,第二章,3,3 P x1 X x2 = F( x2) F( x1),(x1 x2 ),4 F(x)为连续函数.,5 若f(x)在点x 处连续, 则有,F (x)= f( x).,返回,上页,下页,第二章,4,因为,7 对连续型 r.v X, 有,连续型随机变量的一个重要特点,PX = a =0,6 设X 为连续型随机变量, 则对aR, 有,Px1 X x2 = Px1 X x2 ,= Px1 X x2 ,= Px1 X x2 ,(x1 x2 ),= 0,PX = a =F(a) F( a0),返回,上页,下页,第二章,5,解,(1) 由密度函数的性质,例1 设连续型随机变量X 具有概率密度,(1) 确定常数k; (2) 求F(x); (3) 求,有,得,返回,上页,下页,第二章,6,(2) F(x)=PX x,当x0时,当0 x3时,当3 x4时,当x 4时,F(x)= 0,F(x)=,F(x)=,F(x) = 1 .,所以X的分布函数为,返回,上页,下页,第二章,7,所以X的分布函数为,返回,上页,下页,第二章,8,解,又因连续型随机变量分布函数是连续的, 故,于是,例2 已知连续型随机变量X 的分布函数为,求 (1) A, B; (2) P1 x 1; (3) f (x).,(1) 1=F(+),= A,=A+B,= F(0) = 0.,得 B = 1,(2) P1x1=F(1)F(1),返回,上页,下页,=1e ,(3) f (x) = F(x),第二章,9,1、均匀分布,若随机变量X的密度函数为,则称 X 服从(a, b)上的均匀分布.,记为 X U(a, b).,类似地可以定义a, b), (a, b, a, b上的均匀分布.,三、几种常见连续型分布,返回,上页,下页,第二章,10,分布函数为,(1) 若(c, d ) (a, b), 则,Pc X d ,(2)若(a, b)的子区间c1, d1、c2 , d2 的长度相等, 则,Pc1 X d1 = P c2 X d2,返回,上页,下页,第二章,11,例3 设公共汽车站从上午7时起每隔15分钟来一班,如果某乘客到达此站的时间是 7:00 到7:30之间的均匀随机变量.试求该乘客候车时间不超过5分钟的概率.,令：B= 候车时间不超过5分钟 , 则,解 设该乘客于7时 X 分钟到达此站,则 X U0, 30,P (B ) = P10 X 15 ,+ P25 X 30,返回,上页,下页,第二章,12,2、指数分布,若随机变量X的密度函数为:,分布函数,记作,则称 X 服从参数为 的指数分布.,X E( ).,( 0 ).,返回,上页,下页,第二章,13,结论 设X服从指数分布,则对任何两个正数s0, t0,有,证明,同理, 有,于是, 得,PX s +t | X s = PX t .,指数分布具有无记忆性.,= PX t .,又 PX s=1PX s ,=1 F(s),第二章,14,某元件寿命X服从参数为 =1000的指数分布, 求 (1) 3个这样的元件使用1000小时后, 都没有损坏的概率; (2) 有一个这种元件, 能正常使用1000小时后还能使用 2000小时以上的概率。,解,从而,=e 1 .,例4,由题设知, X的密度函数为,(1) PX 1000 =,又各元件的寿命是相互独立的, 因此3个这样的元件 使用1000小时后都未损坏的概率为e 3.,第二章,15,方法二,从而,又各元件的寿命是相互独立的, 因此3个这样的元件使用1000小时后都未损坏的概率为 e 3.,由题设知, X的分布函数为,(1) PX 1000 =1 PX 2000,(2) PX 3000 | X 1000 = PX 2000 ,=1 PX 2000,= 1 F (2000),= 1F(1000),=1(1e 1),= e 1 .,=1(1e 2),= e 2 .,第二章,16,3、正态分布,f (x)所确定的概率密度曲线图叫作正态曲线.,(1) 定义,若随机变量X的密度函数为:,Gauss,K.F,则称 X 服从参数为( , 2 )的正态分布.,( x + ).,记作 X N ( , 2 ).,(其中 0 为参数),返回,上页,下页,第二章,17,(2) 正态分布N( , 2 )的密度曲线的特征:,1 f (x)以为对称轴, 并在x = 处达到最大值,2 x = 为曲线y =f (x)的两个拐点.,3 曲线f(x)向左右伸展时,越来越贴近x轴.,曲线y =f (x)以x轴为渐近线.,返回,上页,下页,第二章,18,5 若 固定, 而改变 的值., 决定 y = f (x)图形的中心位置, 决定图形中峰的陡峭程度.,4 若 固定, 而改变 的值.,返回,上页,下页,第二章,19,(3) 若 X N ( , 2 ), 则X的分布函数,F ( ) = 0.5,返回,上页,下页,第二章,20,(4) 标准正态分布N(0,1),PX x=1 PX x, (0)=0.5, ( x)=1 (x),P| X | a = (a) (a),= 2 (a)1,Pa X b = (b) (a), (x) = 1 (x),1 密度函数,2 分布函数,3 标准正态分布表,对x 0, 我们可以直接查表求得 P X x = (x),当x 0时, ( x),返回,上页,下页,第二章,21,例5 设X N(0,1),P439 标准正态分布表,求 PX 1.96, PX 1.96, P| X | 1.96, P 1 X 2;,(2) 已知 PX a =0.7019, P| X | b =0.9242, PX c =0.2981, 求 a, b , c .,返回,上页,下页,第二章,22,(5)一般正态分布与标准正态分布的关系,定理,一般正态分布的概率计算,若 X N ( , 2 ), 对x R,有,对x1 x2 ,有,Px1X x2 ,如果 X N ( , 2 ), 则, N (0, 1) .,返回,上页,下页,第二章,23,例6 设 X N (2, 9) , 求,(1) P1 X 0, (3) P| X2| 6.,返回,上页,下页,第二章,24,又,所以,从而,例7,解,返回,上页,下页,第二章,25,返回,上页,下页,第二章,26,= 0.0228,例8,解,返回,上页,下页,第二章,27,显然,因此,解,例9 设X U(2, 5), 现对X进行3次独立观察, 求至少两 次观察值大于3的概率.,设Y 表示对X的3次独立观察中“观察值大于3”的次数,因X U(2, 5), 所以,PX 3 ,PY 3 ,=PY = 2 + PY = 3 ,返回,上页,下页,第二章,28,解,从而,(1) 由密度函数的性质有,例10 设连续型随机变量X 具有概率密度,求(1) A; (2) P0 x 1; (3) F(x).,= 0(2A) = 2A,f(x)=Ae |x| , x+