空间向量的概念及其运算.ppt

7.6 空间向量的概念及其运算,基础梳理 1.空间直角坐标系 (1)以空间一点O为原点, 建立三条两两垂直的数轴: x轴、y轴、z轴, 这时建立了空间直角坐标系Oxyz, 其中O为原点, x轴、y轴、z轴分别叫作空间直角坐标系的横轴、纵轴和竖轴.,2.空间向量的有关概念,大小,方向,起点,0,ab,相同,思考探究 如何由直线的方向向量求直线的斜率？,3.共线向量定理、共面向量定理和空间向量基本定理 (1)共线向量定理,(3)空间向量基本定理 如果向量e1, e2, e3是空间三个_的向量, a是空间任一向量, 那么存在唯一一组实数1, 2, 3, 使得a1e12e23e3. 空间中不共面的三个向量e1, e2, e3叫作这个空间的一个_.,不共面,基底,4.空间向量的数量积及运算律 (1)两向量的数量积 已知空间两个非零向量a, b, 即_叫作向量a, b的数量积, 记作_, 即ab|a|b|cosa, b.,|a|b|cosa, b,ab,(2)空间向量数量积的运算律 结合律: (a)b_； 交换律: abba； 分配律: a(bc)_. 5.空间向量的标准正交分解与坐标表示,ab,abac,(1)在给定的空间直角坐标系中, i, j, k分别为x轴, y轴, z轴正方向上的单位向量, 对于空间任意向量a, 存在唯一一组三元有序实数(x, y, z), 使得a_.把ax iy jz k叫作a的标准正交分解, 把_叫作标准正交基, _叫作空间向量a的坐标, 记作a(x, y, z)._ 叫作向量a的坐标表示.,x iy jz k,i, j, k,(x, y, z),(x, y, z),(2)若b0为b的单位向量, 称ab0|a|cosa, b为向量a在向量b上的投影. 向量的坐标等于它在坐标轴正方向上的投影. 6.空间向量的坐标运算及其应用 (1)数量积的坐标运算 若a(a1, a2, a3), b(b1, b2, b3), 则aba1b1a2b2a3b3.,(2)共线与垂直的坐标表示 设a(a1, a2, a3), b(b1, b2, b3), 则ab_a1b1, a2b2, a3b3, ab_a1b1a2b2a3b30(a, b 均为非零向量).,ab,ab0,课前热身,4.(2010高考广东卷)若向量a(1,1, x), b(1,2,1), c(1,1,1), 满足条件(ca)(2b)2, 则x_. 解析: a(1,1, x), b(1,2,1), c(1,1,1), ca(0,0,1x), 2b(2,4,2). (ca)(2b)2(1x)2, x2. 答案: 2,考点1 空间向量的线性运算,【规律小结】 用已知向量表示未知向量, 以及进行向量表达式的化简时, 一定要注意结合实际图形, 观察所涉及的向量在图形中的位置特点, 选取适当的三角形或平行四边形, 以图形为指导是解题的关键, 同时注意首尾相接的向量的和向量的化简方法, 以及从同一个点出发的两个向量的运算法则, 避免出现方向错误.,备选例题 (教师用书独具),变式训练,考点2 共线向量定理和共面向量定 理的应用 (2012上饶调研)已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点,【规律小结】 应用共线向量定理、共面向量定理证明点共线、点共面的方法比较:,备选例题(教师用书独具),变式训练 2. 如图, 平行六面体ABCDA1B1C1D1的棱长都为2, A1ABA1ADBAD60, E是DC的中点, F是B1C的中点.,考点3 空间向量的数量积运算 如图所示, 已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a, 点M、N分别是 AB、CD的中点.,【规律小结】 (1)应用数量积解决问题时一般有两种方法: 一是取空间向量的一组基底, 一般来讲该基底最好已知相互之间的夹角及各向量的模；二是建立空间直角坐标系, 利用坐标运算来解决.后者更为简捷.,(2)证明线线垂直, 转化为证abab0, 若a(a1, a2, a3), b(b1, b2, b3), 则转化为计算a1b1a2b2a3b30； 在求立体几何中线段的长度时, 转化为求 aa|a|2, 或利用空间两点间的距离公式.,备选例题(教师用书独具) 如图, 在直三棱柱ABCA1B1C1的底 面ABC中, CACB1, BCA90, 棱 AA12, M、N分别是A1B1、AA1的中点.,变式训练 3. 如图, 在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中, G为BC1D的重心. (1)试证A1、G、C三点共线；,方法技巧,失误防范 1.利用坐标运算解决立体几何问题, 降低了推理难度, 可以避开一些较复杂的线面关系, 但较复杂的代数运算也容易导致出错.因此, 在解决问题时, 可以灵活的选用解题方法, 不要生搬硬套.,2.解答向量运算题, 常出现以下失误: (1)不能通过正确选择基底把题目中的向量用基向量表示而出错. (2)因向量运算复杂而造成失误.,命题预测 从近几年的高考来看, 空间向量的数量积及其应用的单独考查在高考中偶尔有所体现, 常与其他知识综合考查, 题型有选择题、填空题和解答题.解答题中一般考查学生综合运用知识解决问题、处理问题的能力.,预测2013年高考仍将以空间向量的数量积与解决立体几何问题为考查点, 考查学生的运算能力, 分析问题、解决问题的能力.,典例透析,【答案】 B,【得分技巧】 数形结合法, 用特殊