高中数学第二章平面向量共线的坐标表示学案（无答案）新人教A版.docx

23.4平面向量共线的坐标表示学习目标1.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.2.能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线.3.掌握三点共线的判断方法知识点平面向量共线的坐标表示已知下列几组向量：(1)a(0,3)，b(0,6)；(2)a(2,3)，b(4,6)；(3)a(1,4)，b(3，12)；(4)a，b.思考1上面几组向量中，a，b有什么关系？答案(1)(2)中b2a，(3)中b3a，(4)中ba.思考2以上几组向量中，a，b共线吗？答案共线思考3当ab时，a，b的坐标成比例吗？答案坐标不为0时成比例思考4如果两个非零向量共线，你能通过其坐标判断它们是同向还是反向吗？答案能将b写成a形式，0时，b与a同向，0时，b与a反向梳理(1)设a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中b0，a，b共线，当且仅当存在实数，使ab.(2)如果用坐标表示，可写为(x1，y1)(x2，y2)，当且仅当x1y2x2y10时，向量a，b(b0)共线注意：对于(2)的形式极易写错，如写成x1y1x2y20或x1x2y1y20都是不对的，因此要理解并熟记这一公式，可简记为：纵横交错积相减1若向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，且ab，则.()提示当y1y20时不成立2若向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，且x1y1x2y20，则ab.()3若向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，且x1y2x2y10，则ab.()类型一向量共线的判定与证明例1(1)下列各组向量中，共线的是()Aa(2,3)，b(4,6)Ba(2,3)，b(3,2)Ca(1，2)，b(7,14)Da(3,2)，b(6，4)考点向量共线的坐标表示题点向量共线的判定与证明答案D解析A选项，(2)634240，a与b不平行；B选项，22334950，a与b不平行；C选项，114(2)7280，a与b不平行；D选项，(3)(4)2612120，ab，故选D.(2)在下列向量组中，可以把向量a(3,7)表示出来的是()Ae1(0,1)，e2(0，2)Be1(1,5)，e2(2，10)Ce1(5,3)，e2(2,1)De1(7,8)，e2(7，8)考点向量共线的坐标表示题点向量共线的判定与证明答案C解析平面内不共线的两个向量可以作基底，用它能表示此平面内的任何向量，因为A，B，D都是两个共线向量，而C不共线，故C可以把向量a(3,7)表示出来反思与感悟向量共线的判定与证明题目应充分利用向量共线定理或向量共线的坐标条件进行判断，特别是利用向量共线的坐标条件进行判断时，要注意坐标之间的搭配跟踪训练1下列各组向量中，能作为平面内所有向量基底的是()Ae1(0,0)，e2(1，2)Be1(1,2)，e2(5,7)Ce1(3,5)，e2(6,10)De1(2，3)，e2考点向量共线的坐标表示题点向量共线的判定与证明答案B解析A选项，e10，e1e2，不可以作为基底；B选项，1725170，e1与e2不共线，故可以作为基底；C选项，310560，e1e2，故不可以作为基底；D选项，2(3)0，e1e2，不可以作为基底故选B.类型二利用向量共线求参数例2已知a(1,2)，b(3,2)，当k为何值时，kab与a3b平行？考点向量共线的坐标表示的应用题点利用向量共线求参数解方法一kabk(1,2)(3,2)(k3,2k2)，a3b(1,2)3(3,2)(10，4)，kab与a3b平行，(k3)(4)10(2k2)0，解得k.方法二由方法一知kab(k3,2k2)，a3b(10，4)，当kab与a3b平行时，存在唯一实数，使kab(a3b)由(k3,2k2)(10，4)得解得k.引申探究1若例2条件不变，判断当kab与a3b平行时，它们是同向还是反向？解由本例知当k时，kab与a3b平行，这时kabab(a3b)，0，kab与a3b反向2在本例中已知条件不变，若问题改为“当k为何值时，akb与3ab平行？”，又如何求k的值？解akb(1,2)k(3,2)(13k,22k)，3ab3(1,2)(3,2)(6,4)，akb与3ab平行，(13k)4(22k)60，解得k.反思与感悟根据向量共线条件求参数问题，一般有两种思路，一是利用向量共线定理ab(b0)，列方程组求解，二是利用向量共线的坐标表达式x1y2x2y10求解跟踪训练2已知向量a(1，m)，b(m,2)，若ab，则实数m等于()AB.C或D0考点向量共线的坐标表示的应用题点利用向量共线求参数答案C解析由ab知12m2，即m或m.类型三三点共线问题例3已知A(1，3)，B，C(9,1)，求证：A，B，C三点共线考点平面向量共线的坐标表示题点三点共线的判定与证明证明，(91,13)(8,4)，7480，且AB，有公共点A，A，B，C三点共线反思与感悟(1)三点共线问题的实质是向量共线问题，两个向量共线只需满足方向相同或相反，两个向量共线与两个向量平行是一致的，利用向量平行证明三点共线需分两步完成：证明向量平行；证明两个向量有公共点(2)若A，B，C三点共线，即由这三个点组成的任意两个向量共线跟踪训练3已知(k,2)，(1,2k)，(1k，1)，且相异三点A，B，C共线，则实数k_.考点向量共线的坐标表示的应用题点利用三点共线求参数答案解析(1k,2k2)，(12k，3)，由题意可知，所以(3)(1k)(2k2)(12k)0，解得k(k1不合题意舍去).1已知向量a(2，1)，b(x1,2)，若ab，则实数x的值为()A2B2C3D3考点向量共线的坐标表示的应用题点利用向量共线求参数答案D解析因为ab，所以22(1)(x1)0，得x3.2与a(12,5)平行的单位向量为()A.B.C.或D.考点向量共线的坐标表示的应用题点已知向量共线求向量的坐标答案C解析设与a平行的单位向量为e(x，y)，则或3若a(，cos)，b(3，sin)，且ab，则锐角_.考点向量共线的坐标表示的应用题点已知向量共线求参数答案解析a(，cos)，b(3，sin)，ab，sin3cos0，即tan，又为锐角，故.4已知三点A(1,2)，B(2,4)，C(3，m)共线，则m的值为_考点向量共线的坐标表示的应用题点利用三点共线求参数答案6解析(2,4)(1,2)(1,2)(3，m)(1,2)(2，m2)A，B，C三点共线，即向量，共线，1(m2)220，m6.5已知梯形ABCD，其中ABCD，且DC2AB，三个顶点A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，则点D的坐标为_考点向量共线的坐标表示的应用题点已知三点共线求点的坐标答案(2,4)解析在梯形ABCD中，ABCD，DC2AB，2.设点D的坐标为(x，y)，则(4,2)(x，y)(4x,2y)，(2,1)(1,2)(1，1)，(4x,2y)2(1，1)，即(4x,2y)(2，2)，解得故点D的坐标为(2,4)1两个向量共线条件的表示方法已知a(x1，y1)，b(x2，y2)，(1)当b0，ab.(2)x1y2x2y10.(3)当x2y20时，即两向量的相应坐标成比例2向量共线的坐标表示的应用(1)已知两个向量的坐标判定两向量共线联系平面几何平行、共线知识，可以证明三点共线、直线平行等几何问题要注意区分向量的共线、平行与几何中的共线、平行(2)已知两个向量共线，求点或向量的坐标，求参数的值，求轨迹方程要注意方程思想的应用，向量共线的条件，向量相等的条件等都可作为列方程的依据.一、选择题1(2017青岛高一检测)下列向量中，与向量c(2,3)不共线的一个向量p等于()A(5,4) B.C.D.考点向量共线的坐标表示题点向量共线的判定与证明答案A解析因为向量c(2,3)，对于A,243570，所以A中向量与c不共线2下列各组向量中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是()Ae1(2,2)，e2(1,1)Be1(1，2)，e2(4，8)Ce1(1,0)，e2(0，1)De1(1，2)，e2考点向量共线的坐标表示题点向量共线的判定与证明答案C解析选项C中，e1，e2不共线，可作为一组基底3已知向量a(1,0)，b(0,1)，ckab(kR)，dab，如果cd，那么()Ak1且c与d同向Bk1且c与d反向Ck1且c与d同向Dk1且c与d反向考点向量共线的坐标表示的应用题点已知向量共线求参数答案D4已知三点A(1,1)，B(0,2)，C(2,0)，若和是相反向量，则D点坐标是()A(1,0) B(1,0)C(1，1) D(1,1)考点向量共线的坐标表示的应用题点已知向量共线求向量的坐标答案C5已知向量a(2,3)，b(1,2)，若(manb)(a2b)，则等于()A2B2CD.考点向量共线的坐标表示的应用题点已知向量共线求参数答案C解析由题意得manb(2mn,3m2n)，a2b(4，1)，(manb)(a2b)，(2mn)4(3m2n)0，故选C.6已知向量a(x,3)，b(3，x)，则下列叙述中，正确个数是()存在实数x，使ab；存在实数x，使(ab)a；存在实数x，m，使(mab)a；存在实数x，m，使(mab)b.A0B1C2D3考点向量共线的坐标表示题点向量共线的判定与证明答案B解析只有正确，可令m0，则mabb，无论x为何值，都有bb.7已知向量(1，3)，(2，1)，(k1，k2)，若A，B，C三点不能构成三角形，则实数k应满足的条件是()Ak2BkCk1Dk1考点向量共线的坐标表示的应用题点利用三点共线求参数答案C解析因为A，B，C三点不能构成三角形，则A，B，C三点共线，则，又(1,2)，(k，k1)，所以2k(k1)0，即k1.二、填空题8已知向量a(m,4)，b(3，2)，且ab，则m_.考点向量共线的坐标表示的应用题点已知向量共线求参数答案6解析因为ab，所以由(2)m430，解得m6.9(2017广东阳江高一期末)已知(6,1)，(4，k)，(2,1)若A，C，D三点共线，则k_.考点向量共线的坐标表示的应用题点利用三点共线求参数答案4解析因为(6,1)，(4，k)，(2,1)，所以(10，k1)又A，C，D三点共线，所以，所以1012(k1)0，解得k4.10已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，O(0,0)，则AC与OB的交点P的坐标为_考点向量共线的坐标表示的应用题点已知三点共线求点的坐标答案(3,3)解析由O，P，B三点共线，可设(4，4)，则(44,4)又(2,6)，由与共线，得(44)64(2)0，解得，所以(3,3)，所以点P的坐标为(3,3)11设(2，1)，(3,0)，(m,3)，若A，B，C三点能构成三角形，则实数m的取值范围是_考点向量共线的坐标表示的应用题点利用三点共线求参数答案m|mR且m6解析A，B，C三点能构成三角形，不共线又(1,1)，(m2,4)，141(m2)0.解得m6.m的取值范围是m|mR且m6三、解答题12已知向量a(2,3)，b(1,2)，若ma4b与a2b共线，求m的值考点向量共线的坐标表示的应用题点已知向量共线求参数解ma4b(2m,3m)(4,8)(2m4,3m8)，a2b(2,3)(2,4)(4，1)，因为ma4b与a2b共线，所以4(3m8)(1)(2m4)0，得m2.13平面上有A(2，1)，B(1,4)，D(4，3)三点，点C在直线AB上，且，连接DC延长至E，使|，求点E的坐标考点向量共线的坐标表示的应用题点已知向量共线求点的坐标解，A为BC的中点，设C(xC，yC)，则(xC2，yC1)(1，5)，xC3，yC6，C点的坐标为(3，6)，又|，且E在DC的延长线上，设E(x，y)，则(x3，y6)(4x，3y)，得解得故点E的坐标是.四、探究与拓展14已知两点A(3，4)，B(9,2)在直线AB上，求一点P使|.考点向量共线的坐标表示的应用题点已知向量共线求点的坐标解设点P的坐标为(x，y)，若点P在线段AB上，