学案5集合与简易逻辑.ppt

1.集合 (1)集合的含义及表示 了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系； 能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描 述法)描述不同的具体问题. (2)集合间的基本关系,学案5 集合与简易逻辑,理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合 的子集； 在具体情境中,了解全集与空集的含义. (3)集合的基本运算 理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个集合 的并集与交集； 理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给 定子集的补集； 能用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算. 2.（1）简易逻辑 (2)简单的逻辑联结词 了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义.,1.(2009山东)集合A=0,2,a,B=1,a2,若AB= 0,1,2,4,16,则a的值为 （ ） A.0 B.1 C.2 D.4 解析 A=0,2,a,B=1,a2,AB=0,1,2,4,16, a=4. 2.(2009江西)已知全集U=AB中有m个元素,( UA) ( UB)中有n个元素.若AB非空,则AB的元素个 数为 （ ） A.mn B.n+m C.n-m D.m-n 解析 AB= U( UA)( UB), 所以AB共有m-n个元素.,D,D,3.(2009湖北)已知P=a|a=(1,0)+m(0,1),mR, Q=b|b=(1,1)+n(-1,1),nR是两个向量集合，则 PQ等于 （ ） A.(1,1) B.(-1,1) C.(1,0) D.(0,1) 解析 P=a|a=(1,0)+m(0,1),mR=a|a= (1,m),Q=b|b=(1-n,1+n),nR, 由 a=b=(1,1), PQ=(1,1).,A,4.(2009天津)设xR，则“x=1”是“x3=x”的 （ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 因为x3=x,解得x=0,1,-1,显然条件的集合小, 结论表示的集合大,由集合的包含关系,我们不难得 到结论.,A,题型一 集合的概念与运算 【例1】(2009全国)设集合A=4,5,7,9, B=3,4,7,8,9,全集U=AB，则集合 U(AB) 中的元素共有 （ ） A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 解析 AB=3,4,5,7,8,9,AB=4,7,9. U(AB)=3,5,8. 也可用: U(AB)=( UA)( UB)=3,85= 3,5,8.,A,【探究拓展】在解答这类问题时,首先辨析清楚代表 元素所表示的意义;其次也要重视集合运算的两个 重要性质： U(AB)=( UA)( UB), U(AB)= ( UA)( UB) 变式训练1 (2009四川)设集合S=x|x|5, T=x|x2+4x-210,则ST等于 （ ） A.x|-7x-5 B.x|3x5 C.x|-5x3 D.x|-7x5 解析 因为S=x|-5x5,T=x|-7x3, 所以ST=x|-5x3.,C,题型二 四种命题及相互关系 【例2】有下列四个命题: “若x+y=0，则x、y互为相反数”的否命题； “若ab,则a2b2”的逆否命题； “若x-3，则x2+x-60”的否命题； “对顶角相等”的逆命题. 其中真命题的个数是 （ ） A.0 B.1 C.2 发 D.3 【探究拓展】在判断四种命题真假的常用方法为:一 是分别写出四种命题,再逐个判断出每个命题的真 假;二是充分利用互为逆否命题的等价性,判断它的 真假，这种方法简单、明快大大优化了解题过程.,B,变式训练2 (2009重庆)命题“若一个数是负数,则 它的平方是正数”的逆命题是 （ ） A.“若一个数是负数，则它的平方不是正数” B.“若一个数的平方是正数，则它是负数” C.“若一个数不是负数，则它的平方不是正数” D.“若一个数的平方不是正数，则它不是负数” 解析 原命题的逆命题,是把原命题的结论和题设 互换.,B,题型三 充要条件的判定与求解 【例3】(2009四川)已知a,b,c,d为实数,且cd.则 “ab”是“a-cb-d”的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 cd,a-cb-d a-bc-d0 ab; 若4=cd=-3,4=ab=3,则a-c=0,b-d=6, 即a-cb-d.,B,【探究拓展】在判断充要条件时,一定要注意看由谁 推出谁“”，“箭尾”是“箭头”的充分条件, “箭头”是“ 箭尾”的必要条件,相互推出“”, 则互为充要条件. 变式训练3 设p:实数x满足x2-4ax+3a20,且非p是非q的必 要不充分条件，求实数a的取值范围. 解 因p:x2-4ax+3a20,得x2或x-4; 所以x-2或x-4,又非p是非q 的必要不充分条件， 所以q是p的必要不充分条件，即 所以a-4或 a0.,题型四 集合的有关计算 【例4】 若B=x|x2-3x+2a，即a1或a0时， A=x|axa2,要使AB=A， 则 ,所以1a ;,a1 a22,若a2a，即0a1时，A=x|a2xa， 要使AB=A，则 即1a2,所以a； 综上可知：当1a 或a=0时,满足AB=A成立. 【探究拓展】在解答这类问题时,要特别注意分类讨 论数学思想的应用,还要注意:分类讨论时分类标准 的选择，做到不重不漏，最后还要有总结性的语言.,a2 1a2，,变式训练4 设集合A=1，a，b，B=a，a2，ab， 且A=B，则实数a2 010+b2 010的值为 1 . 解析 由A=B得a2A且abA. 若 解得a=1,但a=1时与集合中的元素互 异性矛盾，所以a=-1,b=0. 经检验，此时A=B. 若 解得a=1,矛盾. 综上可知a=-1,b=0. 所以a2 010+b2 010=1.,a21 abb,ab1 a2b,【考题再现】 （2009浙江）设U=R,A=x|x0,B=x|x1, 则A UB等于 ( ) A.x|0x1 B.x|0x1 C.x|x0 D.x|x1 【解题示范】 解析 对于 UB=x|x1, 因此A UB=x|0x1.,B,1.在解答集合的有关问题时,要搞清楚集合间的相互 关系,要十分注意元素的三个特性,特别是元素的互异 性;要注意空集的特殊性,它是任何集合的子集. 2.要准确理解“或”、“且”、“非”的含义,在写 命题的否命题或命题的否定时一定要看准条件，注意 二者的区别. 3.在判断充要条件时,一定要注意看由谁“”谁, “箭尾”是“箭头”的充分条件，“箭头”是“箭 尾”的必要条件,相互推出“”,则互为充要条件. 4.要注意“数形结合”的数学思想在解题中的应用.,一、选择题 1.(2009陕西)若不等式x2-x0的解集为M,函数 f(x)=ln(1-|x|)的定义域为N，则MN为 ( ) A.0,1) B.(0,1) C.0,1 D.(-1,0 解析 不等式x2-x0的解集是M=x|0x1， 而函数f(x)=ln(1-|x|)的定义域为N=x|-1x1， 所以MN=0,1).,A,2.（2009浙江）“x0”是“x0”的 （ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 对于“x0”“x0”;反之不一定成立， 因此“x0”是“x0”的充分而不必要条件.,A,3.已知集合P=x|x2-2x-30,Q=x|x|a.若 则实数a的取值范围是 ( ) A.a1 B.a3 C.0a1 D.0a3 解析 由题意可知P=x|-1x3,当a0时,Q= 即 ;当a0时,Q=x|-axa,要使 ,只须-a-1且a3,即a1.,A,4.已知集合M=x|y=lg(-x2+3x-2),N=m|(x2-x+4)m 0,得11. 因(x2-x+4)m(x2-x+4)a,则ma, 所以N=m|ma,又M是N的真子集，所以a2.,D,5.设集合M=1,2,3,4,5,6,S1,S2,Sk都是M的含两 个元素的子集,且满足:对任意的Si=ai,bi, Sj=aj,bj(ij,i、j1，2，3，k)，都有 (minx,y表示两个数x,y 中的较小者),则k的最大值是 ( ) A.10 B.11 C.12 D.13 解析 含2个元素的子集有15个,但1,2、2，4、 3，6只能取一个；1，3、2，6只能取一个， 2，3、4，6只能取一个，故满足条件的两个元 素的集合有11个.,B,二、填空题 6.(2009天津)设全集U=AB=xN*|lg x1,若 A UB=m|m=2n+1,n=0,1,2,3,4,则集合 B=_. 解析 U=AB=1，2，3，4，5，6，7，8，9， A UB=1，3，5，7，9. 7.(2009江苏)已知集合A=x|log2x2, B=(-,a),若 ,则实数a的取值范围是 (c,+),其中c=_. 解析 由log2x2,得0x4,A=（0，4； 由 知a4,所以c=4.,2,4,6,8,4,8.设c0且c1，有两个命题：p:不等式|x|+|x-2c| 1的解集是R；q：函数f(x)=cx是减函数,若“p且q” 为假，“p或q”为真，则实数c的取值范围是 解析 若p为真，则c 且c1,q假，则c1, 所以当“p真q假”时，c1；若p为假，则0c , q真，则0c1,所以当“p假q真”时，0c ； 所以满足条件的c的取值范围是 .,9.已知集合A=x|x-a|1，B=x|x2-5x+40. 若 ,则实数a的取值范围是_. 解析 集合A=x|x-a|1=x|a-1xa+1， B=x|x2-5x+40=x|x4或x1. 又 解得2a3.,(2,3),三、解答题 10.已知a1,设集合P=x|a(x-2)+10, Q=x|(x-1)2a(x-2)+1.试寻求使得P且Q为真命题 的实数x的集合. 解 记f(a)=a(x-2)+1,f(a)0对于一切大于1的实数a 恒成立. 所以应满足 解得x2; 记g(a)=a(x-2)-(x-1)2+1,g(a)0对于一切大于1的 实数a恒成立. 所以应满足 且其中等号不同时成立,即 解得x1. 所以使P且Q为真命题的x集合为空集. 11.对于函数f(x),若f(x)=x,则称x为f(x)的“不动 点”;若ff(x)=x，则称x为f(x)的“稳定点”. 函数f(x)的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为 A和B.即A=x|f（x）=x，B=x|ff(x)=x. (1)求证： (2)若f(x)=ax2-1(a,xR),且 ,求实数a的 取值范围.,(1)证明 若 显然成立; 若 设mA,则有f(m)=m, 所以ff(m)=f(m)=m,即mB. 故 综上可知: 成立. (2)解 因为 所以方程ax2-1=x有实根, a=0或 又 所以方程a(ax2-1)2-1=x, 即a3x4-2a2x2-x+a-1=0, 从而有(ax2-x-1)(a2x2+ax-a+1)=0, 即ax2-x-1=0或a2x2+ax-a+1=0. 因为 所以方程a2x2+ax-a+1=0.,要么没有实根,要么实根是方程ax2-x-1=0的根. 易知方程a2x2+ax-a+1=0与ax2-x-1=0不可能同解. 则只能有方程a2x2+ax-a+1=0无实数解. 当a=0时,显然成立. 当a0时,有=a2-4a2(1-a)0, 即a2(4a-3)0,所以 且a0. 由以上讨论可知: 又 所以实数a的取值范围为,12.已知命题p：方程a2x2+ax-2=0在-1，1上有解； 命题q：只有一个实数x满足不等式x2+2ax+2a0，若 命题“p或q”是假命题，求a的取值范围. 解 若p或q是假命题，则p和q都是假命题，由题意知 a0.若p正确，a2x2+ax-2=(ax+2)(ax-1)=0的解为 若方程在-1，1上有解，只需满足 即a(-,-11，+）； 若q正确，即只有一个实数x满足x2+2ax+2a0, 则