2011年高考数学总复习精品课件（苏教版）：第十单元第六节空间直角坐标系.ppt

第六节 空间直角坐标系,基础梳理,1. 空间直角坐标系及有关概念,(1)空间直角坐标系:从空间某一个定点o引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴,就建立了空间直角坐标系o-xyz,其中点o叫做 ,x轴、y轴、z轴叫做 ,这三条坐标轴中每两条确定一个 ,分别称为xoy平面、yoz平面、zox平面.,(2)右手直角坐标系 在空间直角坐标系中,让右手拇指指向 的正方向,食指指向 的正方向,若中指指向 的正方向,则称这个坐标系为右手直角坐标系.,坐标原点,坐标轴,坐标平面,x轴,y轴,z轴,(3)空间直角坐标系中的坐标 空间任意一点a的坐标可以用有序实数组(x,y,z)来表示,有序实数组(x,y,z)叫做点a的 ,记作 .,2. 空间中两点间的距离公式 空间中的两点p1(x1,y1,z1),p2(x2,y2,z2)之间的距离 ,特别地,空间任一点p(x,y,z)与原点o的距离 .,坐标,a(x,y,z),典例分析,题型一 空间中点的坐标的确定 【例1】设正四棱锥s-p1p2p3p4的所有棱长均为a,建立适当的空间直角坐标系,求点s、p1、p2、p3和p4的坐标.,分析 建立适当的空间直角坐标系，以各点的坐标表示简单方便为宜.,解 正四棱锥s-p1p2p3p4如图所示,其中o为底面正方形的中心, p1p2oy轴,p1p4ox轴,so在oz轴上. d(p1,p2)=a,而p1、p2、p3、p4均在xoy平面上, 在xoy平面内,p3与p1关于原点o对称,p4与p2关于原点o对称, 又d(s,p1)=a,d(o,p1)= , 在rtsop1中,d(s,o)= , s(0,0, ).,学后反思 （1）建立适当的空间直角坐标系，必须牢牢抓住相交于同一点的两两垂直的三条直线，如底面是矩形的直四棱柱，以底面其中一个顶点为原点建系;底面是菱形的直四棱柱，以对角线的交点为原点建系.本例是正四棱锥，以底面中心为原点建系. （2）要尽量把空间点建在坐标轴上，或某一个坐标平面内，使其坐标书写简单、方便，便于运算.,举一反三 1. 如图，长方体oabcoabc中，oa=3，oc=4，oo=3,ac与bo相交于点p，则点c,b,p的坐标分别为 , , .,答案： (0,4,0)(3,4,3)( ,2,3),题型二 空间中点的对称问题 【例2】已知abcd为平行四边形,且a(4,1,3),b(2,-5,1),c(3,7,-5),求顶点d的坐标.,解 平行四边形对角线互相平分, ac的中点即为bd的中点. 设d(x,y,z),又ac的中点o( ,4,-1), 则 x=5,y=13,z=-3. 故d(5,13,-3).,分析 本题考查空间中点的坐标的计算公式.,学后反思 注意分清线段的端点与中点.,2. 已知点c为线段ab的中点,且a(1,0,-1),c(2,2,-3).求点b的坐标.,举一反三,解析： 设b(x,y,z), 则 , x=3,y=4,z=-5,b(3,4,-5).,题型三 空间中两点的距离公式 【例3】（14分）正方形abcd，abef的边长都是1，而且平面abcd与平面abef互相垂直，点m在ac上移动，点n在bf上移动，若cm=bn=a（0a ). (1)求mn的长度; (2)当a为何值时，mn的长度最短？,分析 建立恰当的空间直角坐标系，利用空间两点间的距离公式求解.,解 (1)平面abcd平面abef，平面abcd平面abef=ab,abbe, be平面abcd4 ab，bc，be两两垂直, 故以b为原点，以ba，be，bc所在直线分别为x轴，y轴和z轴，建立如图所示的空间直角坐标系7 则 , ,. 10 .12 (2)由(1)可知当a= 时，|mn|最短为 .14,学后反思 考虑到所给几何图形中出现了两两垂直的三条直线，所以可以以此建立空间直角坐标系，通过点的坐标，利用两点间的距离公式求得线段mn的长度，并利用二次函数的最值，求出线段mn的长度的最小值，体现了空间直角坐标系这一重要工具的应用.,3. 空间坐标系中,a(1-t,1-t,t),b(2,t,t),求ab的最小值.,举一反三,解析： 当t= 时,等号成立,即ab的最小值为 .,考点演练,10. 已知a(1,a,-5),b(2a,-7,-2)，ar，求|ab|的最小值.,解析： 当a=-1时，,11. 如图,正方体边长为1,以正方体的三条棱所在的直线为坐标轴,建立空间直角坐标系o xyz,点p在正方体的对角线ab上,点q在正方体的棱cd上.当点p为对角线ab的中点,点q在棱cd上运动时,求pq的最小值.,解析: 由题意知,点p的坐标为 设q的坐标为(0,1,z),其中0z1, 则 所以当z= 时, 有最小值 , 从而pq有最小值 .,12. 如图所示，已知pa平面abcd,abcd为矩形，m、n分别是ab、pc的中点. 求证：mnab.,证明: 以a为原点建立如图所示的空间直角坐标系axyz. 设b(a,0,0),d(0,b,0),c(a,b,0), 点p(0,0,c), 则点m( ,0,0), 则 mnab.,第四节 三角函数的图象与性质(),基础梳理,1. 作y=asin(x+)的图象主要有以下两种方法： （1）用“五点法”作图. 用“五点法”作y=asin(x+)的简图，主要是通过变量代换，设z=x+,由z取 来求出相应的x，通过列表计算得出五点坐标，描点后得出图象. （2）由函数y=sin x的图象通过变换得到y=asin(x+)的图象.有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.,方法一：先平移后伸缩 y=sin x 向左(0)或向右（0） y=sin(x+) 横坐标变为原来的 倍,平移|个单位,纵坐标不变,纵坐标变为原来的a倍,横坐标不变,y=asin(x+).,y=sin(x+).,方法二：先伸缩后平移 y=sin x y=sin x,横坐标变为原来的 倍,纵坐标不变,向左（0）或向右(0),平移 个单位,y=sin(x+).,纵坐标变为原来的a倍,横坐标不变,y=asin(x+).,2. y=asin(x+)(a0,0),x0,+)表示一个振动量时，a叫 振幅， 叫 周期， 叫 频率，x+叫 相位，x=0时的相位称为 初相 .上述概念是在a0且0的 前提下的定义,否则当a0或0,则就不能称为初相.,题型一 三角函数y=asin(x+)的图象 【例1】 已知函数 (1)求它的振幅、周期、初相； (2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象； (3)说明 的图象可由y=sin x的图象经过怎样的变换而得到.,典例分析,分析 （1）由振幅、周期、初相的定义即可解决. （2）五点法作图，关键是找出与x相对应的五个点. （3）只要看清由谁变换得到谁即可.,解 (1) 的振幅a=2,周期t=,初相 (2)令,(3)方法一：把y=sin x的图象上所有的点向左平移 个单位，得到 的图象，再把 的图象上的点的横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变）,得到 的图象，最后把 上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），即可得到 的图象.,方法二：将y=sin x的图象上每一点的横坐标x缩短为原来的一半，纵坐标不变，得到y=sin 2x的图象；再将y=sin 2x的图象向左平移 个单位，得到 的图象；再将 的图象上每一点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的2倍，得到 的图象.,学后反思 （1）作三角函数图象的基本方法就是五点法，此法注意在作出一个周期上的简图后，应向两端伸展一下，以示整个定义域上的图象. （2）变换法作图象的关键是看x轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移，对于后者可利用 来确定平移单位.,举一反三,1. 已知函数f(x)=2sin x(sin x+cos x). （1）求函数f(x)的最小正周期和最大值； （2）在直角坐标系中，画出函数y=f(x)在区间 上的图象.,解析: (1)f(x)=2 +2sin xcos x=1-cos 2x+sin 2x =1+ （sin 2xcos -cos 2xsin ） =1+ sin（2x- ）, 所以函数f(x)的最小正周期为,最大值为1+ . (2)由(1)知,故函数y=f(x)在区间 上的图象是,题型二 三角函数y=asin(x+)的解析式,【例2】已知正弦函数y=asin(x+)(a0,0)的图象如右图所示. （1）求此函数的解析式f1(x); (2)求与f1(x)图象关于直线x=8对称的曲线的解析式f2(x).,分析 (1)由图象得振幅a= ,曲线是先上升后下降，所以(-2,0)是第一零点，从而t=26-(-2)=16. (2)函数的对称转化为点的对称，利用“转移法”求解.,解 (1)由图象可知，a= , =2(6+2)=16,= , 即y= sin x+,将x=2,y= 代入， 得 = sin( 2+), 即sin( +)=1,解得= . f(x)= sin( x+ ). (2)设（x,y）是f1(x)图象上的任意点，与它关于直线x=8对称的点为(x,y), 则 代入y=f1(x)中, 得 , f2(x)= .,学后反思 (1)在由图象求解析式时，“第一零点”的确定是很重要的，尽量使a取正值，由f(x)=asin(x+)(a0,0)的一段图象求其解析式时，a比较容易看图得出，困难的是求待定系数和，常用如下两种方法: (i)如果图象明确指出了周期t的大小和“零点”坐标，那么由 即可求出；确定时，若能求出离原点最近的右侧图象上升（或下降）的零点的横坐标x0,则令x0+=0（或x0+=）即可求出.,(ii)代入点的坐标.利用一些已知点（最高点、最低点或零点）坐标代入解析式,再结合图形解出和.若对a，的符号或对的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求. （2）利用图象特征确定函数解析式y=asin(x+)+k或根据代数条件确定解析式时，要注意以下几种常用方法： (i)振幅a= (ymax-ymin). (ii)相邻两个最值对应的横坐标之差，或者一个单调区间的长度为 ，由此推出的值. (iii)确定值，一般用给定特殊点坐标代入解析式确定.,举一反三 2. (2009江苏模拟) 函数y=asin(x+)(0,| ,xr)的部分图象如图所示，则函数表达式为_.,解析： 由图象可知，a=-4, =8, 设 ,代入最低点坐标（2,-4）,可得,答案：,题型三 三角函数y=asin(x+)模型,【例3】如图，某地夏天从814时用电量变化曲线近似满足函数y=asin(x+)+b. （1）求这一天的最大用电量及最小用电量； （2）写出这段曲线的函数解析式.,分析 在实际背景中抽取出基本的数学关系是解题的关键所在.,解 (1)最大用电量为50万度，最小用电量为30万度. （2）观察图象可知，从814时的图象是y=asin(x+)+b的半个周期的图象. a= (50-30)=10,b= (50+30)=40. =14-8= ,= , y=10sin( x+)+40, 将x=8,y=30代入上式，解得= . 所求解析式为y=10sin( x+ )+40,x8,14.,学后反思 将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型； 利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型.,举一反三,3. 右图为游览车的示意图，该游览车半径为4.8 m,圆上最低点与地面距离为0.8 m,60秒转动一周，图中oa与地面垂直，以oa为始边，逆时针转动角到ob,设b点与地面距离为h. (1)求h与间关系的函数解析式； （2）设从oa开始转动，经过t秒到达ob,求h与t之间的函数解析式.,解析： （1）由已知作图，过点o作地面平行线on，过点b作on的垂线bm交on于m点，当 时，bom=- . h=|oa|+0.8+|bm| =4.8sin(- )+5.6, 经验证当0 时，上述关系也成立. （2）点a在o上逆时针运动的角速度是 (已知60秒转动一周)， t秒转过的弧度数为 t. h=4.8sin( t- )+5.6,t0,+).,题型四 三角函数y=asin(x+)的综合应用 【例4】 (14分) (2008山东）已知函数 为偶函数，且函数y=f(x)的图象的两相邻对称轴间的距离为 (1)求 的值；,（2）将函数y=f(x)的图象向右平移 个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y=g(x)的图象，求g(x)的单调递减区间.,分析 （1）先把函数化成f(x)=asin(x+)的形式，再利用奇偶性和对称性求出函数f(x)的解析式，进而求出 (2)利用函数图象的变换确定出新函数y=g(x)的解析式，再求出其单调递减区间.,解 因为f(x)为偶函数，所以对任意xr,f(-x)=f(x)恒成立,因此 即 整理,得 因为0,且xr,所以,又因为0,故,所以,由题意得 ,所以=2,故f(x)=2cos 2x. 因此,(2)将f(x)的图象向右平移 个单位后，得到 的图象，再将所得图象横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到 的图象. 所以 当2k 2k+(kz), 即4k+ x4k+ (kz)时，g(x)单调递减. 因此g(x)的单调递减区间为,学后反思 本题是一个三角函数的综合题，综合考查了三角函数的奇偶性、对称性、单调区间的求解，还有图象的平移问题.解题的关键是明确正弦函数图象的对称性与周期性之间的关系，一般地，正余弦函数图象相邻的两条对称轴（或两个相邻的对称中心）的距离等于函数的半个周期，因此，正弦函数和余弦函数图象上任意两条对称轴（或两个对称中心）之间的距离为 其中t为函数的最小正周期；正余弦函数图象的任一条对称轴与它相邻的对称中心之间的距离恰好是周期的14，所以正余弦函数图象的任一条对称轴和任意一个对称中心之间的距离是,举一反三,4. 已知函数f(x)=sin（x+ ）+sin（x- ）- ,xr(其中0). (1)求函数f(x)的值域； （2）若函数y=f(x)的图象与直线y=-1的两个相邻交点间的距离为 ，求函数y=f(x)的单调增区间.,解析：（1）f(x)= 由-1sin(x- )1, 得-32sin(x- )-11. 可知函数f(x)的值域为-3,1. (2)由题设条件及三角函数图象和性质可知,y=f(x)的周期为,又由0,得 =,即得=2. 于是有f(x)=2sin(2x- )-1, 再由2k- 2x- 2k+ (kz), 解得k- xk+ (kz). 所以y=f(x)的单调增区间为k- ,k+ (kz).,易错警示,【例】 函数 的图象向右平移 个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的 所得函数解析式为. 错解 方法一： 将原函数图象向右平移 个单位长度,得,再压缩横坐标得,方法二：将原函数图象向右平移 个单位长度,得 再压缩横坐标得 方法三：将原函数图象向右平移 个单位长度,得 再压缩横坐标得,错解分析 这三种解法都是错误的,其原因在于没有抓住变换的对象.方法一在平移变换时把5x看做变换的对象；方法二在伸缩变换时把 看成了变换的对象；方法三则犯了上述两种错误，即把5x看做变换的对象，又把 看成了变换的对象.事实上，无论是平移变换还是伸缩变换，都应紧紧抓住变元是谁这个关键.在本例中，变元x才是变换的对象，图象向右平移 个单位，是将自变量x减去 个单位长度，即将x换成 其余的不变，压缩横坐标到原来的 ，是将x换成2x，其余的不变.,正解 将原函数向右平移 个单位长度，所得函数解析式为,考点演练,10. 关于x的方程 -xcos acos b- =0有一个根1，判断abc的形状.,解析：把x=1代入得:1-cos acos b- =0, -cos acos b=0,即 -cos acos b=0, + cos(a+b)-cos acos b=0, - cos