§1.1随机事件及其运算.ppt

第一章 随机事件及其概率,概率论：研究随机现象的规律性的一个数学分支，是一门数学课程。以概率为基础最早发展起来的学科有概率论、数理统计、随机过程等。 什么是随机现象？ 必然现象：在一定的条件下必然发生的现象。 如：在标准大气压下，水加热到100必然会沸腾.这种现象反映了条件与结果的确定性联系。 高数、线代都是描述比然现象的数学工具。 但还有另外一类不同的现象。,例1. 抛掷一枚硬币。 结果可能为：正面向上或反面向上。 在抛掷前无法确定那一个结果出现，结果是偶然的。相同的条件下，多次抛掷，两种结果都可能出现。,例2. 袋中有个白球和个红球，从中任取一球。 结果可能为：白球或红球。 取球之前无法确定取到的是什么颜色的球，结果是偶然的，多次重复取球，两种结果均可能出现。 例2. 电话交换台单位时间内接到呼叫次数可能为：、1、2、3、. 以上这类偶然现象叫做随机现象。,随机现象：,在一定的条件下，可能出现的结果不只一个，一个结果可能出现，也可能不出现，但预先不能断定会出现那种结果的现象。 它反映了条件与结果的非确定性联系。 下面学习第一节：随机事件及其运算,研究随机现象，首先要对研究对象进行观测试验. 这里的试验，指的是随机试验.,1.1 随机事件及其运算,对随机现象进行的观测和试验. 要求: 1) 试验可在相同的条件下重复进行; 2) 试验的可能结果不止一个; 3) 事先不能断定会出现哪一个结果.,1. 随机试验：,掷骰子试验 掷一颗骰子，观察出现的点数,随机现象的统计规律性: 随机现象并不是毫无规律. 如: 掷骰子时, 出现点数 6 的次数占总次数的比几乎是一定的, 接近1/6, 且次数越多, 比值越接近1/6 再如: 大量重复抛硬币. 人们发现每一面出现的次数占总次数的比接近1/2, 随着次数的增加, 越接近1/2 这表明, 大量重复试验中, 随机现象中的各个结果出现的次数占总次数的比接近一个常数, 呈现出一定的规律性, 这是事物本身固有的属性 概率论正是研究随机现象的统计规律性的一门学科, 已被广泛应用于自然科学和社会科学中. 下面学习随机事件与样本空间。,(1) 随机事件： 在一次试验中可能发生也可能不发生的事件称为随机事件，简称事件. 常用A、B、C 或 A1 、A2 、A3 ，等表示。,2. 随机事件与样本空间,例如, 在掷骰子试验中, A1 出现的点数为1， A2 出现的点数为2等。,事件,基本事件,复合事件,（相对于观察目的 不可再分解的事件）,（两个或两个以上基本事件并在一起，就构成一个复合事件）,事件 B=掷出奇数点,如在掷骰子试验中，观察掷出的点数 .,事件 Ai =掷出i点 i =1,2,3,4,5,6,两个特殊的事件：,例如，在掷骰子试验中， “掷出点数小于7”是必然事件;,在试验中必定发生的事件，常用S 或表示;,在一次试验中不可能发生的事件, 常用表示 .,而“掷出点数8”则是不可能事件.,必然事件：,不可能事件：,现代集合论为表述随机试验提供了一个方便的工具 .,(2) 样本空间与样本点,我们把随机试验的每个基本结果称为样本点，记作e 或. 全体样本点的集合称为样本空间. 样本空间用S或表示.,样本点e,将一枚硬币抛掷两次，则： =(H,H), (H,T), (T,H), (T,T),如果试验是测试某灯泡的寿命：,则样本点是一非负数，由于不能确知寿命的上界，所以可以认为任一非负实数都是一个可能结果，, = t ：t 0,故样本空间,引入样本空间后，事件便可以表示为样本空间的子集 .,例如，掷一颗骰子，观察出现的点数, = i ：i=1,2,3,4,5,6,样本空间：,事件B就是的一个子集,B = 1,3,5,B发生当且仅当B中的样本点1, 3, 5中的某一个出现.,. 事件间的关系与运算：,事件间的关系与运算同集合的关系与运算一致。,若A出现, 则B必出现, 则称B包含A,规定,显然,(1) .包含（ ）（或 ）：,(2) 相等: A=B:,，且,(3) 和(并)：,A、B 两者至少有一个发生,(4) 积(交) ：,A、B 两者同时发生,(5) 互斥: A与B互斥(互不相容): AB=，A、B不能同时发生。,一般地，对于 n 个事件A1 、A2 , , An ，若它们之间两两互斥，则称这 n 个事件是互斥的.,通常A1 A2 , , An 记为 A1 +A2 + , , + An 或,(6)对立(互逆)事件: A+B=，且AB= A, B 有且仅有一个发生。,B是A的逆事件，记为,=“A 不发生”，于是有：,注：互逆的事件必定互斥，但互斥的事件却未必互逆!,(7) 差：,A 发生而 B 不发生,以上是一些事件间的关系与运算，其实质就是集合间的关系与运算，其运算规律就是集合间的运算规律。,事件运算的规律：A、B、C,(1)交换律： AB=BA, AB=BA (2)结合律： (AB)C=A(BC), (AB)C=A(BC) (3)分配律: (AB)C=ACBC, (AB)C=(AC)(BC) (4)对偶律：,推广:,证明：直接法、集合法、图解法。（略）,事件运算还满足下列关系式：,例1：设A、B、C任意三个随机事件，用 A、B、C及其运算符号表示下列事件：,(1) A发生而B与C都不发生；,(2) A发生且B与C至少有一个发生;,(3) A与B发生而C不发生；,(4) A、B、C只有一个发生；,(5) A、B、C至少有两个发生；,(6) A、B、C至多有一个发生。,研