试谈财务金融上的一个数学问题

財務金融上的一個數學問題傅承德教授中央研究院統計研究所2001/06/09 在中央大學數學系的演講內容張紘誠、邱淑惠整理財務與數學我所要講的題目是財務金融上的一個數學問題。我們知道當一個學問逐漸成熟的時候，數學問題就會產生，如今就我所了解財務金融上的一些成熟問題，可以用數學來解決。 接下來，我從網路上看到一篇文章，內容是介紹今年美國最新的職業評比年鑑，把美國的各行各業做了排名。這是美國的職業排名，而台灣即將加入WTO，所以職業的優劣將很有可能會跟美國一樣。在250個行業中，今年最佳行業的第一名為財務規劃師，去年第一名的網路經理人則落居第二，電腦系統分析師則落居第三，保險公司精算師與電腦程式設計師並列第四。連續兩年排名前十名的行業都與數學或電腦有關，可見數學不只是一門有趣的學問，而且還很實用，換句話說就是還可以賺錢，一般來說財務規劃師是薪水比較高的職業。一個財務規劃師的年薪是10萬美金，比較有名的則有30萬美元。 那麼財務規劃師到底在做什麼事情呢？跟數學又有什麼關係？我舉一些最簡單的例子來說明。我們先來介紹近代財務數學。它本身是財務上的一個問題，後來變成數學上的一個問題，所以近代財務數學成為一個重要的方法。一個投資的法則，在最理想的狀況下如何運作。我引用馬可夫的博士論文來說明，其細節就不多談，他後來得到諾貝爾經濟獎，但是他本身卻是做數學出身的。選擇權理論我們今天最主要的重點就是要講選擇權理論，選擇權理論這個被提出來的模型是財務上的一大突破。什麼是選擇權呢？它基本上是一種付訂金的契約行為，假設我們去買一棟房子或是買車子，在買之前通常要付訂金，付了訂金之後他就一定要賣給你。在這裡也是一樣，在股票市場上也是這種情形。假設現在股票很低了，聯電只有80塊，你期望一年以後它會漲，可能漲到120塊，就可以跟券商簽一個合約，一年以後你可以用100塊的價位跟他買股票。如果一年後股票真的超過了100塊，你就可以用100元向券商買股票，他一定得賣給你；如果一年後股票沒有超過100元，那麼你也可以不用向券商買股票。這個合約看起來是對買的人有利，假設一年後真的漲到120塊，那我可以用100塊向券商買，我就賺到了20塊；假設一年後跌了剩90塊，不到100塊，那我也可以不要買。在這利益之下，這就跟買車子是一樣的，簽合約之後他就一定得把車子賣給你，但是買車子之前一定要先付訂金，在這裡股票也是一樣，要不然永遠都只有對買方有利而已，這就是最基本的選擇權理論。數學模型這裡又出現一個新的問題，一開始要付多少的訂金才是合理的呢？這是一個很簡單財務上的一個數學問題。早期的數學問題，不管是物理還是機械問題，都需要一個模型，在財務上也需要有個模型。當一個模型給定之後，我們用一個數學概念及財務上的概念來算option price，而且模型當然要符合股票市場，跟著股票市場走。考慮一個最簡單的模型，以一個月為單位，假設現在的股票是10元，它是二項分佈，跟擲骰子一樣，不是正面就是反面。假設這10元的股票一個月後不是12元就是8元，那要如何來算呢？我們就說一個想法，假設我們的資金投資只有兩種方法，一種是只能放定存，一種是買股票。如果10元放定存，假設月利率為百分之十，則一個月後10元就變成了11元，這個利潤是固定不會變的。如果拿錢買股票，它的價錢會變來變去，一個月後可能變12元，也可能變8、7元，這是不固定的、有隨機性的。我們都不太會處理隨機性，一般人都會希望沒有隨機性，因為有隨機性我們沒有辦法預測它的價格。但是在股票市場上是隨機的價格，而這隨機的價格有沒有辦法把它變成固定的價格呢？假設有辦法變成固定的價格，那麼上面的兩種投資的方法就可以互相比較了。如何把隨機價格變成固定價格？我們可以從跑馬的方式來看。假設有一匹白馬和一匹黑馬在比賽，我兩匹馬各賭一塊錢，不論那一匹馬跑贏，一邊賺一塊一邊輸一塊，我都是不輸不贏，這種完全避險的方法就可以拿來用在股票市場上。不確定性我們重新來看前面的問題，在數學上有沒有新的了解？大家一定會疑問，之前假設股票是二項分佈，這件事是沒有人會相信的。沒有人會相信股票10元一個月後只會變成12元或8元，連三歲小孩都不會相信。所以我們要看看怎樣解決這問題，解決這問題之前我們要先看剛才的想法在數學上有什麼意思？在這之前我們先說到機率，機率通常先問我們的目的是什麼？我們的目的一開始就面對一個不確定的事情，就好比說氣候的不確定性。大家都面臨過很多的不確定性：開車從台北到中壢，每次花的時間都不一樣，我們希望去描述這一個不確定性。在高中學機率時，會告訴你一個描述不確定性的方法，就是期望值。知道一個機率結構之後，就接著求它的期望值，期望值可以做為一個參考，把一個不確定性的東西有確定的描述。但是我們之前說的，都沒有用到期望值。站在歷史的發展來看，從17世紀以來，描述不確定性的方式幾乎都是用期望值，但是馬可夫卻不是用這種想法，他從另一個角度看，所以他有資格拿諾貝爾獎，就是因為他的想法跟別人不一樣。理想的股票模型基本上我們每個人所關心的不是股票，假使你有在股票市場投資的話，你關心的不是股價。我舉個例子，假設有一張a股票100元，一個月後漲10元，另一張b股票50元，一個月後也漲10元，這樣你會去買那一張股票？很明顯的，沒有人會想去買a股票，所以基本上我們不是看股價，而是看報酬率。換言之，買一張股票會賺多少錢，才是大家有興趣的事。所以我們不是直接對股票市場、股價做模型，而是對它的報酬率做模型。什麼是報酬率呢？報酬率的英文是return，就是今天的股價減去昨天的股價除以昨天的股價，這個量大家就很清楚，根據這個量我們就可以對它做模型，把return算出來。算出一堆的return之後有什麼意義？可以用模型來描述嗎？我們大學有學過中央極限定理：把每個量減去mean除以標準差，它就會趨近於常態分配，我們就可以用常態分佈來描述它了。不過股價是連續性的，隨時間一直在改變，跟時間有關。時間一但連續又常態分佈的話，常態分佈就跑到布朗運動。布朗運動大家都知道，對數學的供獻很大。我們先講一下布朗運動，就是standard Brownian motion，它的定義就不說了，因為它最困難的就是定義。數學上有很多東西，尤其是純數，把定義弄得很難。離散的東西入門很容易，一開始想很簡單但是後面很難算；連續的東西是一開始很難，後面很好算。所以學微機分的時後，一開始學、很難懂，但它非常powerful，微分就變得很簡單。同樣的想法用在布朗運動，所以就有所謂的隨機微績分。因此布朗運動可以說是一個理想的股票模型，雖不中亦不遠矣。最後，這個模型一定不對，因為比如說在台灣，在很多時刻一定會受到外來的事件影響，譬如說中共試射飛彈、發生地震都會使股票發生劇烈變動。因此我們還要在這模型後面加jump，叫做jumping time，就是說可能會有外在的影響，影響發生以後會造成變動，這就是最後應該修正的模型 。文档由本人精心搜集和整理，喜欢大家用