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第十五章 正交曲面坐标系,数学物理方法,定解问题 分离变量法 直角坐标系:一维线性 矩形 长方体,圆柱 球形 正交曲面坐标系,15.1 正交曲面坐标系,直角坐标系下任意一点 (x, y, z),球坐标,柱坐标,定义,曲面坐标系 q1, q2, q3 与直角坐标系的关系为,雅可比行列式不为零,其坐标面为三组曲面:q1 = 常数, q2 =常数, q3 =常数。,正交曲面坐标系,由通过该点的三个坐标面决定,,q1 ,q2 ,q3 相互独立,若q1 ,q2 ,q3总是互相垂直,它就是正交曲面坐标系。,点 a0 与其邻点的弧长:,其中, 是坐标轴的度规因子,,若 gij=giidij ,则 (q1, q2, q3) 为正交曲面坐标系。,令 其中,判定,即 或,判断柱坐标系 为正交曲面坐标系。,可知,柱坐标系是正交曲面坐标系。,判断球坐标系 为正交曲面坐标系。,可知,球坐标系是正交曲面坐标系。,直角坐标系:,正交曲面坐标系中的拉普拉斯算符:,柱坐标系:,球坐标系:,极坐标系:,补充原点处的有界条件: 有界,15.2 圆形区域,可采用分离变量法,采用平面极坐标系,圆形区域中的稳定问题,补充周期性条件:,直角坐标下无法分离变量,令 ,分离变量,定解问题为:,两边同乘以 得,若 l = 0 可知:,周期性条件,由周期性条件知:,本征函数,若 l 0 可知:,由周期性条件知:,本征函数,对方程(1)作变换:令 ,则,因此,当 时,本征函数为,本征值 l0 = 0 ,本征函数:,方程(1)化为:,定解问题的全部特解为:,一般解:,本征值 lm = m2 ,本征函数:,在 r = 0 处, 有界, lnr 和 项的系数为零,即,将一般解代入周期性条件 :,利用本征函数的正交性及,可知:,再代入边界条件 :,三维空间的稳恒振动问题:,15.3 亥姆霍兹方程在柱坐标系下的分离变量,通常要求解的形式为:,这样方程就化为了:,亥姆霍兹方程,T(t) 为随时间衰减的因子,柱坐标系下,亥姆霍兹方程 的具体形式为:,逐次分离变量,令,代入方程,两边同除以 wZ 得:,再次分离变量,令,代入方程,得,两边同乘以 得,17章 柱函数,两边同乘以 得,15.4 亥姆霍兹方程在球坐标系下的分离变量,球坐标系下,亥姆霍兹方程 的具体形式为:,逐次分离变量,令,代入方程,再次分离变量,令,代入方程(2),得,即,两边同乘以 得,16章 球函数,连带勒让德方程,当整个定解问题再绕极轴转动任意角不变时,即 u = u (r, q)
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