D25一元函数积分学.ppt

,第二章,四、考点分析,五、历年试题解析,一、考试基本要求,第三节,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一元函数积分学(一)(27),二、知识点与考点,三、历年试题分类统计及考点分布,1.理解原函数的概念,的性质及定积分中值定理,分法.,3.会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一、考试基本要求,积分.,2.掌握不定积分的基本公式,掌握不定积分和定积分,掌握换元积分法和分部积,4.理解积分上限的函数,会求它的导数,理解不定积分和定积分的概念.,掌握牛顿莱,布尼兹公式.,5.了解反常积分的概念,会计算反常积分.,6.掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量,引力、,机动 目录 上页 下页 返回 结束,及侧面积、,(平面图形的面积、,平面曲线的弧长、,旋转体的体积,平行截面面积为已知的立体体积、,功、,压力、,质心、,形心等),及函数的平均值.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、知识点与考点,(一)不定积分,若,1.原函数与不定积分的定义:,有,则称F(x)为f (x)在区间 I 上的一个原,设函数 f (x)在区间 I 内有定义,函数.,称为 f (x),在区间 I 上的不定积分,记为,f (x)在区间I 上的全体原函数 F (x) + c ,2. 不定积分的性质:,(1),(2),机动 目录 上页 下页 返回 结束,(1).,4.基本积分公式,(2),(互逆运算),(1),3.不定积分与微分的关系,(2).,(3).,(4).,(5).,(6).,(7).,(8).,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(9).,(10).,(11).,(12).,(13).,(14).,(15).,(16).,(17).,(18).,(19).,(20).,(21).,(22).,5.基本积分法:,(1).直接积分法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(2).换元积分法,第一类换元积分法(凑微分法),常用凑微分公式:,第二类换元积分法(变量代换法),机动 目录 上页 下页 返回 结束,(正弦代换),(正切代换),(正割代换),(根式代换),三角代换,令,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,万能代换:,积分步骤:,凑微分选 u , v ;,(3) 分部积分法,代公式;,算微分 ;,求积分.,例如:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(4) 有理函数的积分,有理函数:,时,为真分式;,时,为假分式 .,利用多项式综合除法,总可以将一个假分式化为一个多,项式与一个真分 式之和的形式 . 例如:,_,_,任何有理真分式通过部分分式均可化为下列四种,类型:,(2),机动 目录 上页 下页 返回 结束,其中,有理真分式的积分,(1),机动 目录 上页 下页 返回 结束,(3),(需用递推公式计算,不作要求),(4),注:,但计算相当复杂.,解题时,应寻求更为简便的方法,如凑微分法、倒代换法等,有理函数虽然一定可积,尽量避免使用一般方法.,1.定积分的定义:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(二) 定积分,(七条性质二条推论),2.定积分的几何意义:,3.定积分的性质:,曲边梯形面积的代数和.,(1),(2),(3),则有,(4),则有,(5),则有,推论1.,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(6). (定积分估值定理),若 M 和 m 分别是 f (x) 在a , b上的最大值和最小值,则有:,(7).(定积分中值定理),若f (x) 是a , b上的连续函数,则在a , b上至少存在,一点 ,使等式,推论2.,成立.,并称,为f (x)在a ,b区间上的平均值.,补充规定:,(1),机动 目录 上页 下页 返回 结束,4. 定积分计算法,(1)牛顿-莱布尼兹公式,(2) 当a = b 时,(2) 定积分换元积分法,(3),(3).定积分分部积分法,5.重要公式,(1),机动 目录 上页 下页 返回 结束,(2),若f (x)为a , a上的奇函数,则,若f (x)为a , a上的偶函数,则,(3),n为奇数,n为偶数,注意:余弦函数无此性质!,(4) 若f (x)是周期为T的周期函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,a为任意实数,(三) 广义(反常)积分,2. 无界函数的广义积分,则,1.无穷区间的广义积分,则有:,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.定积分在几何上的应用:,(1). 平面图形的面积,则有,(四) 定积分的应用, 直角坐标,1.定积分微元法,若整体量U在区间a , b上具有可加性,即有,而局部量 U du = f (x) dx,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,起点x = a 对应参数 t = ,按顺时针方向决定起点与终点.,参数方程,极坐标,终点x = b 对应参数 t = ,(2)旋转体的体积,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(3)平面曲线的弧长,弧长元素(弧微分),机动 目录 上页 下页 返回 结束,若曲线方程为y = f (x) ,则有,则有, 直角坐标,若曲线方程为x = (y) ,参数方程,若曲线方程为参数方程,则有,极坐标,则有,3. 定积分在物理上的应用,机动 目录 上页 下页 返回 结束,的作用下,(1) 变力作功,设物体在变力,从点 a 沿直线移动到点b,(如图示),则在此过程中变力,所作的功为:,(力的大小改变方向不变),若变力函数 F (x) 不易确定,也可用微元分析法直接,若曲线方程为极坐标方程,确定功的微元dW.,注:,(2) 水压力,机动 目录 上页 下页 返回 结束,窄条的压力微元,压强,窄条面积,则薄板受到的侧压力为,其中 为水的比重.,(3) 引力,小段细棒的引力微元,由于对称性,年份,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三、历年试题分类统计及考点分布,考点,分值,定积分应用,几何,积分中值定理,物理,87,88,89,90,91,92,93,94,95,96,97,98,3,3+3,3,3,7,3,6,5,合计,9,3,12,5,14,13,3,8,12,3,变上限积分,不定积分计算,定积分计算,3+3,3,3,14,8+3,3,5,5,5,5,5,15,6,定积分性质,3+6,3+6,9,机动 目录 上页 下页 返回 结束,年份,分值,考点,99,00,01,02,03,04,05,06,07,08,合计,3,合计,9,84,6,12,6,6,8,27,10,33,16,16,3,10,3,4,20,6,11,8,4,15,4,3,4,43,10,7,4,不定积分计算,定积分计算,变上限积分,定积分应用,几何,物理,定积分性质,积分中值定理,10,10,219,09,4,4,四、考点分析:,1.不定积分,2.不定积分与定积分计算(主要是换元法和分部法).,机动 目录 上页 下页 返回 结束,4.定积分在几何和物理中的应用(主要是几何应用).,6.反常积分的概念及其计算.,3.变上限积分及其导数.,原函数和定积分的定义.,5.定积分性质及积