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文档简介

1/40,第二节,二、直角坐标系下二重积分的计算法,三、极坐标系下二重积分的计算法,二重积分的计算,第六章,一、二重积分的几何意义,四、曲线坐标下二重积分的计算法,2/40,定义:,将区域 D 任意分成 n 个小区域,任取一点,若存在一个常数 I , 使,可积 ,在D上的二重积分.,积分和,是定义在有界区域 D上的有界函数 ,2.1 二重积分的几何意义,3/40,曲顶柱体体积:,平面薄板的质量:,如果 在D上可积,元素d也常记作,二重积分记作,这时,分区域 D ,因此面积,可用平行坐标轴的直线来划,4/40,求体积: 类似定积分解决问题的思想:,设,底： xOy 面上的闭区域 D,顶: 连续曲面,侧面：以D的边界为准线 , 母线平,行于 z 轴的柱面.,“分, 匀, 合, 精”,（有界闭区域）,二重积分：,其几何意义就是曲顶柱体的体积,5/40,曲顶柱体体积的计算,设曲顶柱的底为,任取,平面,故曲顶柱体体积为,截面积为,截柱体的,记作,（ X - 型区域 ）,6/40,同样, 曲顶柱的底为,则其体积可按如下两次积分计算,记作,（ Y- 型区域 ）,7/40,且在D上连续时,由曲顶柱体体积的计算可知,若D为 X - 型区域,则,若D为Y - 型区域,则,二、直角坐标系下二重积分的计算法,8/40,当被积函数,均非负,在D上变号时,因此上面讨论的累次积分法仍然有效 .,由于,9/40,说明: (1) 若积分区域既是 X - 型区域又是Y - 型区域 ,为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序.,则有,(2) 若积分域较复杂,可将它分成若干,X - 型域或Y - 型域 ,则,10/40,例1. 计算,其中D 是直线 y1, x2, 及,yx 所围的闭区域.,解法1. 将D看作X - 型区域, 则,解法2. 将D看作Y - 型区域, 则,11/40,例2. 计算,其中D 是抛物线,所围成的闭区域.,解: 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分,及直线,则,12/40,例3. 计算,其中D 是直线,所围成的闭区域.,解: 由被积函数可知,因此取D 为X - 型域 :,先对 x 积分不行,说明: 有些二次积分为了积分方便, 还需交换积分顺序.,13/40,例4. 交换下列积分顺序,解: 积分域由两部分组成:,视为Y - 型区域 , 则,14/40,例5. 计算,其中D 由,所围成.,解: 令,(如图所示),显然,15/40,例6. 求两个底圆半径为R 的直交
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