函数凸性定义的等价性及其判别方法研究.doc

陕西理工学院毕业论文函数凸性定义的等价性及其判别方法研究吴文虎(陕理工数学与计算科学学院数学与应用数学 092班，陕西 汉中 723000)指导教师：雍龙泉【摘要】凸分析是数学中相对年轻的一个分支。凸函数作为凸分析的主要研究对象，在凸分析中占有重要地位，其定义、性质经常作为解决数学规划论、对策论、数理经济学、逼近论、变分学、最优控制理论这些方面的问题的工具被加以使用。本文深入地讨论了凸函数的几种不同定义的等价性,判别方法及凸函数的应用。首先给出了凸函数的六个不同方式的定义。然后探究出定义之间的关系，得出定义的等价性，在前三个定义中下（上）凸函数的本质是连接函数图形上任意两点的线段，处处都不在函数图形的下方（或上方）。后三个定义中下（上）凸函数的本质是左差商不大于(不小于)右差商，左右差商当自变量差分减小时是不减（不增）的。然后给出凸函数的判别方法的研究及其证明。最后举例说明凸函数的相关结论在不等式的证明、验证级数的收敛性等方面的应用。【关键词】 凸函数；等价定义；判定方法1、引言 凸分析，或称凸集和凸函数理论，是数学中相对年轻的一个分支，在本世纪三十年代才出现比较系统的研究凸集的著作，40至50年代，特别是在优化领域发现了凸集的许多应用以后，更进一步促进了这一理论的发展，随着数学规划论、对策论、数理经济学、逼近论、变分学、最优控制理论等学科发展的需要，凸分析日益受到大家的重视，60年代后期出现凸分析的奠基之作，即R.T.Rockafellar的“Convex Analysis”,无穷维空间中凸分析的理论在这一时期也得到了充分的发展，到现在，凸分析已经成了解决数学规划论、对策论、数理经济学、逼近论、变分学、最优控制理论这方面问题的主要手段。凸分析包括凸集、凸函数、凸锥、赋范空间的凸性、正解理论等方面的内容，其基本研究对象是凸集和凸函数，基本工具是凸集分离定理，而这些概念和定理都可以纯代数的研究，即在一个不引入拓扑的线性空间中来研究。因此就凸分析的基本内容而言，凸分析完全可表达为“凸代数”。凸函数作为凸分析的基本研究对象，在凸分析中占有重要地位，其定义、性质经常作为解决数学规划论、对策论、数理经济学、逼近论、变分学、最优控制理论这些方面的问题的工具在凸分析的研究中具有十分重要的意义。我们知道，凸函数分为上凸函数和下凸函数。本文侧重讨论的是下凸函数的等价定义、判定定理，然后粗略的介绍了凸函数的运算及其应用。由于上凸函数和下凸函数在定义这个最基本的内容上是平行的，那么很显然他们在定理，运算这些方面的内容也是平行的。所以本文不详细讨论其证明等方面的内容。 关于下凸函数的定义通常做如下定义:如果在区间内的函数满足，那么称为内的下凸函数。下凸函数的定义有很多不同的方式，而这些不同的定义是否完全等价是人们必须弄清的问题，我们发现下凸函数的六种不同定义方式是完全等价的，而且找到了三种不同的方法来判定函数凸性。本文通过对这些定义和定理详细的讨论之后就可以很清晰的判断一个函数是否为凸函数。最后运用凸函数的相关结论在不等式的证明，验证级数收敛性这两方面举例说明其应用。2、凸函数的六种不同的定义定义 2.1 假设在区间上的函数满足： ，那么称为内的下凸函数【1】。定义 2.2 假设在区间上的函数满足：那么称为内的下凸函数。定义 2.3 假设在区间上的函数满足：那么称为内的下凸函数。定义 2.4 若函数f在上满足：则为内的下凸函数。定义2.5 若函数在上满足：则为内的下凸函数。定义 2.6 对上的函数，设如果作为的函数在上是不减的，则为内的下凸函数。注意： 如无特别说明，本文中的开区间其取值范围均为，而的取值范围为：。3、凸函数六种定义之间的关系要确定定义之间的关系，则需要证明出其是否能互相推导，即是否是等价的定义，下面我们来一次推导以上六种定义之间的关系。定义2.1定义2.2证明 当时，定义2.2显然成立，为验证其一般性，假设对于时成立，现证明当n=k+1时式子也成立，不妨假设任取非负数满足并取。令由于由归纳假设有 ：考虑到再由定义 2.1，得：从而当时式子成立，根据数学归纳法，定义2.2得证。定义2.2定义2.3证明 在定义 2.2 中，令立即可得 ：所以定义 2.3 得证。定义2.3定义2.1分析 为能证明定义 2.1 首先要证明由定义 2.3 可以得到 （2.1）证明 利用数学归纳法，即第一步 证明式（2.1）对于自然数的某个子序列成立（即当时成立）；第二步 证明式（2.1）当时成立，那么必然对成立。1. 由定义2.3可知式（2.1）当时成立，现证时式（2.1）也成立。由上可得当时式（2.1）成立，一般来说，对任一自然数重复上面方法，都可得到以上说明式（2.1）对于一切皆成立。2.证明式（2.1）当成立时，那么必然时也成立。设 =，则=不等式两边同乘以，减去，最后除以得由上得式（2.1）对成立，即成立。定义2.2定义2.1证明 设 =综上所述定义 2.1 得证。下面我们只需要证明2.12.42.52.62.1，即可证明下面三种定义定价而且以上关于凸函数的六种定义是等价的。定义2.12.4 证明 设而且由定义2.1得，故 从而 得出 即定义2.4得证定义2.42.5 证明 由定义2.4可知，所以推出 而 即可得 0定义2.5 2.1证明 对于取定有又由定义2.5得即 ，即证。定义2.52.6证明 假设 （注：的讨论完全类似）令 由定义2.5 = 得所以作为 x 的函数在上是不减的。定义2.62.1 证明 假设 （注：的讨论完全类似）因为作为 x 的函数在上不减因此 令 把代入上式得，化简得 因此得 由以上的证明得知：在前三个定义中，下（上）凸函数的本质是连接函数图形上任意两点的线段，处处都不在函数图形的下方（或上方）。后三个定义中下（上）凸函数的本质是左差商不大于(不小于)右差商，左右差商当自变量差分减小时是不减（不增）的。而且，其六种定义都是等价的。4、凸函数的判别方法凸函数作为凸分析的主要研究对象，在凸分析中占有重要地位，其定义、性质经常作为解决数学规划论、对策论、数理经济学、逼近论、变分学、最优控制理论这些方面的问题的工具被加以使用。所以凸函数的判定尤为重要，一般函数的判别有三种方式，用定义判定，用一阶导判定，用二阶导判定。那么下面我们将从这三种方式分别说明凸函数的判别。4.1、用定义判定凸函数 所有的函数都能用定义来判定，也是最一般的方法，当要判定的函数不可导时，我们需要应用定义来判定，上面我们已经介绍了凸函数的六种定义，所以下面举个例子。 例1 证明为凸函数。证明 因为此函数是绝对值函数，所以在其定义域内是不可导函数，则需要用凸函数的定义来证明，设，,则，而 ，而且，所以=又因为，所以 ，即 由定义2.1得函数为凸函数4.2、用一阶导判定凸函数如果函数在定义域内连续且可导，那么我们可以用以下定理来判定。如果在上连续并可导，且对于中任意一点，当时，存在，则为内的下凸函数。下面我们来证明：证明 令把代入上式并对不等式组变形得 :两式相加得 再把代入上式得：由定义2.1可知 为上的下凸函数。我们来看一个例子：证明函数为凸函数证明 我们注意到这个函数有一阶连续导函数，即，其定义域为整个实数域，设为其定义域内任意一点，则=又因为 即所以 即得出 所以由上面的定理得出函数为凸函数4.3、用二阶导判定凸函数如果函数在定义域内处处二次可微，且满足则为上的下凸函数。下面我们来证明：证明 由于在上处处二次可微，取由拉格朗日中值定理得 :由得在上是单增的，那么所以，由4.2得为上的下凸函数。例 2 证明函数为下凸函数证明 的定义域为整个实数域，显然，其有连续一阶导函数和二阶导函数，即 所以 即函数为下凸函数5、凸函数的相关应用凸函数的应用范围相当广泛，在此仅对其中证明不等式和验证级数收敛性两方面进行简单讨论。5.1、利用函数的凸性验证不等式。例3 在凸四边形ABCD中有：.证明 由，得，所以知是上凸函数，由Jensen不等式得：即：，综上所述不等式得证。例4 利用凸函数的定义证明不等式：证明 设，根据定义2.1 , 经验证后得出函数在上 是的下凸函数根据定义 2.1，令有即满足，于是不等式成立。例5 若,且，求证 .分析: 从所求证的不等式的形式来看, 不容易直接找到合适的凸函数1 因此, 我们对此不等式进行适当的变形, 不妨在不等式的两边同取自然对数, 且，即，由此我们就很容易找到合适的凸函数了. 证明 考察函数，因，故为上的严格凸函数，又因为，所以，即，从而， .凸函数的应用领域非常广泛, 特别是在不等式的证明中, 运用它解题显得巧妙、 简练. 通过对上述问题的证明, 我们认识到利用凸函数的定义、 等价定义、 性质及判定定理证明不等式, 关键是寻找合适的凸函数, 若不能直接找出, 则可以对不等式进行适当的变形, 从而达到证明不等式的目的.5.2 用函数凸性验证级数的收敛性例6 设是上的凸函数，且存在，则级数收敛，其中：。证明 由是上的凸函数，得在上是单调函数，则其中，（1）当是下凸函数时，有则 （2）当是上凸函数时，有则 例7 设是 上的凸函数，且存在，则级数与积分有相同的敛散性。证明 由例6得 级数是收敛的也就是是收敛的，当是下凸函数时，由得：递增，且 当是上凸函数时，由得：递减，且 级数与积分同时收敛或同时发散，又因为当充分大以后，可为不变号的单调函数，而介于与之间，因此级数与的敛散性是一致的，综上所述本结论得证。例8 设 是 上的上凸函数，且存 在，则数列： 是收敛的。证明 由题意得可表示为：数列 与数列 有相同的敛散性，由例6可知： 数列是收敛的，因此 数列 也是收敛的。参考文献1 何意.关于函数凸性定义的等价性及其判定的讨论J.青年文学家,2012.14(5):13-142 刘国华,陈妍,庞培林,张志海.关于凸函数的八个等价定义J.河北建筑科技学院学报,2003,20(3):82-83.3 冯德兴.凸分析基础M. 科学出版社, 1995,10(4):56-584 裘春晗.关于凸函数的几个不等式定义的探讨J.锦州师范学院学报(自然科学版),2003,24(4):49-50.5 王新力.琴生（Jense）不等式的应用J. 杭州教育学院学报,2002,19(3):10-13.7 陈太道.凸函数判定及其应用J. 临沂师范学院学报,2002,24(3):90-92.9 岳贵鑫.凸函数的等价定义及几何特征J.沈阳工程学院学报 (自然科学版 ),2009,15(13):45-47.10 白景华.凸函数的性质,等价定义及应用J.开封大学学报,2003.06(2):19-2011 史树中.凸分析M.上海科学技术出版社,1990,34(8):78-79On the discussion of the equivalent differences of convex function and their judgmentWU Wen-hu(Grade09,Class2,Major Mathematics and Applied Mathematics,Mathematics and Computer Science Shaanxi University of Technology, Hanzhong 723000 Shaanxi)Tutor: Yong Long-quanAbstract: Convex analysis is a young branch in mathematics. As the main research object of convex analysis, convex function is very important.Its definitions, natures are often regarded as tools to solve the problems like the plan of mathematics, game theory, mathematics and physics economics, theory of approaching, optimum control theory respect and so on. This paper discusses the equivalent of several kinds of different definitions of convex functions in deeply, judging theorems and its applications. At first, we get six definitions of convex function, including three common definitions and other three equivalent definitions. As we know, in the first three definitions, the essence of convex (concave) function is that everywhere at function below (or above) the figure when connect function wanton line segment for tw