D142009年试题解析与评价(60p).ppt

,第一章,一、选择题(1 8小题,每小题4分,共32分),2009年数学一试题,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解析与评价 (60),(1),是等价,无穷小,则( ) .,当x0时,(2),如图,被其对角线划分,正方形,机动 目录 上页 下页 返回 结束,为四个区域,则,(3),设函数 f (x) 在区间1,3上的图形为,则函数,的图形为( ) .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(A),(4),设有两个数列,则( ).,收敛;,收敛;,发散;,发散.,(5),机动 目录 上页 下页 返回 结束,是3维向量空间,的一组基,的过渡矩阵为( ).,则由基,设,到基,(6),机动 目录 上页 下页 返回 结束,的伴随矩阵为( ).,设 A , B均为2阶矩阵,若 |A| = 2 ,分别为A , B 的伴随矩阵,|B| = 3 ,则分块矩阵,(7),其中 (x)为标准正态分布的分布函数,(A) 0 ;,则E ( X )为( ) .,设随机变量 X 的分布函数为,(B) 0.3 ;,(C) 0.7 ;,(D) 1 .,(8),机动 目录 上页 下页 返回 结束,且 X 服从标准正态,设随机变量 X 与Y 相互独立,为随机变量 Z = XY 的分布函数,则函数,记,分布 N (0 ,1) ,Y的概率分布为:,间断点的个数为( ).,(A) 0 ;,(B) 1 ;,(C) 2 ;,(D) 3 .,二、填空题(9 14小题,每小题4分,共24分),(9),具有二阶连续偏导数,设函数,则,(10).,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(11).,若二阶常系数齐次微分方程,满足条件,则非齐次方程,的通解为,的解为_.,已知曲线 L :,则,(12).,则,设,(13).,若3维列向量 , 满足,其中,为 的转,置,则矩阵,的非零特征值为_.,(14).,为来自二项分布总体B (n, p)的,设,(15) (本题满分9分),机动 目录 上页 下页 返回 结束,三、解答题 (15 23小题,94分),为,若,分别为样本均值和样本方差.,则 k = _.,的无偏估计量,的简单随机样本,求二元函数,的极值.,(16) (本题满分9分),设,为曲线,所围成区域的,记,的值.,求,面积,(17) (本题满分11分),机动 目录 上页 下页 返回 结束,椭球面,是椭圆,绕 x 轴旋转而成的,相切的,圆锥面,之间的体积.,()求,由过点(4,0)且与椭圆,直线绕 x 轴旋转而成.,()求,的方程;,(18) (本题满分11分),()证明拉格朗日中值定理:,若函数 f (x) 在a , b 上,机动 目录 上页 下页 返回 结束,连续,且,在(a b) 内可导,使得,() 若函数 f (x) 在 x = 0 处连续,则存在,在(0 , ) 内可导,且,则,存在,(19) (本题满分10分),的外侧.,计算曲面积分,其中为,(20).(本题满分11分),()求满足,设,机动 目录 上页 下页 返回 结束,的所有的向量,对() 中的任意向量,(),证明,线性无关.,(21). (本题满分11分),设,()求二次型 f 的矩阵的所有特征值;,()若二次型 f 的规范形为,求 a 的值.,(22).(本题满分11分),机动 目录 上页 下页 返回 结束,袋中有1个红球、2个黑球与3个白球.,每次取一个球.,现有放回地从袋,以 X ,Y , Z 分别表示两次取球,所取得的红球、黑球与白球的个数.,() 求 PX = 1 | Z = 0 ;,() 求二维随机变量( X , Y ) 的概率分布.,中取两次,(23).(本题满分11分),设总体X的概率密度为,0 , 其它,机动 目录 上页 下页 返回 结束,其中参数 ( 0) 未知,().求参数 的极大似然估计量.,为来自总体 X 的,().求参数 的矩估计量.,简单随机样本.,高等数学部分,机动 目录 上页 下页 返回 结束,09年数学一试题解析与评价,樊志良教授,主讲:,中北大学,住址:,退休教师,数学系,宅电:,新南区2号楼2单元302号,3 9 2 2 5 1 7,手机:,3922517,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一、选择题 (每题4分),(1),是等价,无穷小,则( ) .,当x0时,用直接法解此题.,解:,依题意有,A,机动 目录 上页 下页 返回 结束,故应选(A).,(由题设知 a = 1),则,评价:,本题属于函数极限连续部分的基本题.,限.,本题考查等价无穷小的概念及洛必达法则求极,则,如图,划分为四个区域,被其对角线,正方形,(2).,A,机动 目录 上页 下页 返回 结束,关于 x 轴对称,所以,由于,被积函数,关于 y 是奇函数,因此选项(A)正确.,在,评价:,本题考查对称性在二重积分计算中的应用及重,积分的性质.,本题属于多元函数积分学部分的基本题.,右侧,0,解:,且,故有,又,右侧,且,0,故有,而在,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(3).,(A),的图形为( ) .,设函数 f (x)在区间1,3上的图形为,则,D,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,评价:,的关系.,本题考查变上限积分的性质及函数与其导函数,由题设知,当,时,故选项(A),时,而当,从而F (x)单调增,由于,则 F (0) = 0 ,显然选项(C)错误.,又由于,时,则当,时,故选项(B)错误.,由排除法选项(D)正确.,即,错误.,因为选项(A)中,本题属于一元函数积分学的基本题.,F(x)在(1,0)单调减.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(4),设有两个数列,则( ).,收敛;,收敛;,发散;,发散.,解:,用直接法.,则数列,有界,即,当,时,收敛 ,所以,由于,又由于,则,从而有,则当,时,由正项级数的比较审敛法知:,收敛.,故应选(C).,C,评价:,本题考查正项级数的审敛法.,本题属于常数项级,数的基本题.,二、填空题,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(9),具有二阶连续偏导数 ,设函数,则,解:,应填,评价:,本题考查抽象函数的一阶与二阶偏导数.,本题属于多元函数微分学的基本题.,(10).,机动 目录 上页 下页 返回 结束,若二阶常系数齐次微分方程,满足条件,则非齐次方程,的通解为,的解为_.,解:,由于,是方程,的通解,评价:,本题考查二阶线性常系数非齐次方程的解法.,该方程的两个特征根为,故,设非齐次方程,的特解为,代入方程得,其通解为,由,可得,所以,应填,本题属于微分方程的基本题.,(11).,机动 目录 上页 下页 返回 结束,已知曲线 L :,则,解:,由于,所以,评价:,本题考查对弧长的曲线积分的计算法.,应填,本题属于对弧长的曲线积分的基本题.,(12).,则,设,利用对称性,解1:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,球面坐标,用“先二后一法”法计算.,解3:,解2.,用球面坐标计算.,评价:,本题考查三重积分的计算.,本题属于三重积分计,算的基本题.,(15) (9分),机动 目录 上页 下页 返回 结束,三、解答题,求二元函数,的极值.,解:,由,由于,又由于A 0 ,解得:,故所给二元函数有极小值,评价:,本题考查二元函数的无条件极值.,本题属于多元函数微分学的基本题.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(16)(9分),设,为曲线,所围成区域的面积,记,的值.,求,解:,评价:,本题是一道综合题.,考查平面区域面积计算和,级数求和.,本题有一定的难度.,(17) (11分),机动 目录 上页 下页 返回 结束,椭球面,是椭圆,绕 x 轴旋转而成的,相切的直线绕,圆锥面,之间的体积.,()求,由过点(4,0)且与椭圆,x 轴旋转而成.,()求,的方程;,解:,(),椭球面,的方程为,设切点的坐,则椭圆,在点,为求圆锥面,处的切线方程,将 x = 4 , y = 0 代入切线方程得,从而,的方程,需先求切线的方程.,标为,为,所以切线方程为,从而圆锥面,机动 目录 上页 下页 返回 结束,之间的体积等于一个底面半径为,(),的方程为,高为 3,的锥体体积,与部分椭球体体积 V 之差,其中,故所求体积为,评价:,本题考查旋转曲面方程的建立和旋转体体积的,计算.,本题有一定难度,但写出旋转椭球面的方程,及过点(4,0)作椭圆的切线,并写出其切线方程应该,是不困难的.,(18) (11分),机动 目录 上页 下页 返回 结束,()证明拉格朗日中值定理:,若函数 f (x) 在a , b 上,连续,且,在(a b) 内可导,使得,() 若函数 f (x) 在 x = 0 处连续,则存在,在(0 , ) 内可导,且,则,存在,证:,令辅助函数,依题设条件知 F (x) 在a b 上连续,根据罗尔定理,存在,使得,(),在(a b) 内可导,即有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,也即有,(),对于任意的 t(0 , ) ,函数 f (x) 在0 , t 上连续,由右导数定义及拉格朗日中值定理,其中,由于,时,所以,故,且当,证毕.,在(0 , t) 内可导,存在,且,证毕.,评价:,本题考查拉格朗日中值定理的证明及其应用.,其中()题拉格朗日中值定理的证明属于基本题,()题属于拉格朗日中值定理的应用有一定的难度.,的外侧.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,计算曲面积分,其中为,解:,为球心,分析:,并取其外侧.,则有,本题不能直接用,为利用高斯公式,又由于为椭球面,高斯公式.,由于在原点被积函数分母为零,以坐标原点,也不便于利用曲面的方,(19).(10分),程先对被积函数作处理.,以坐标原点为球心作半径为1的球面,并取其外侧.,作半径为1的球面,机动 目录 上页 下页 返回 结束,评价:,根据高斯公式,本题考查利用高斯公式计算对坐标的曲面积分.,由于被积函数在坐标原点的值为零,而积分曲面又包,围了坐标原点,不能直接利用高斯公式,需填加辅助,曲面,本题有相当的难度.,再应用高斯公式.,高等数学部分的考题共有13个.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,题4个,其中选择题4个,填空,计算(证明)题5个,共计82分,约占总分的54.7%.,概念性强,一元函数微分学,一元函数积分学,元函数微分学,积分,线面,上下册比例约3；5,多,计算量大,综合性强.,内容覆盖全书各章节,多,元函数积分学,各部分分值在11-16 分.,其中,考题涉及面广,线性代数部分,机动 目录 上页 下页 返回 结束,09年数学一试题解析与评价,蔡锁章教授,主讲:,中北大学,住址:,退休教师,数学系,宅电:,西苑小区40号楼4单元202号,3 9 2 2 6 0 3,一、选择题（4分）,机动 目录 上页 下页 返回 结束,是3维向量空间,的一组基,的过渡矩阵为( ).,则由基,（5）设,到基,解:如果3维向量空间的一组基(1):,与另一组基(2):,之间有如下关系:,写成矩阵形式,就是,则称矩阵,为由基(1)到基(2)的过渡矩阵.,应选(A). 本题主要考查过渡矩阵的概念.,概率统计部分,机动 目录 上页 下页 返回 结束,09年数学一试题解析与评价,柳 林副教授,主讲:,中北大学,住址:,退休教师,数学系,宅电:,西苑小区38号楼7单元502号,3 9 2 2 7 0 4,手机:,1 3 5 1 3 5 1 5 2 9 3,一、选择题(每小题4分),机动 目录 上页 下页 返回 结束,(7),其中 (x)为标准正态分布的分布函数,(A) 0 ;,则E ( X )为( ) .,设随机变量 X 的分布函数为,(B) 0.3 ;,(C) 0.7 ;,(D) 1 .,解:,X 的概率密度为:,其中,为标准正态分布的概,率密度函数.,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,评价:,本题考查随机变量函数的数学期望.,故选项(C)正确.,为奇函数,积分区间关于原点对称),其中,本题属于随机变量的数字特征的基本题,但有一定的,难度.,(8),且 X 服从标准正态,设随机变量 X 与Y 相互独立,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解:,为随机变量 Z = XY 的分布函数,则函数,记,N(0,1) ,Y的概率分布为:,间断点,(A) 0 ;,(B) 1 ;,(C) 2 ;,(D) 3 .,而,B,的个数为( ).,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,在,上,显然连续.,在z = 0 处,因此,只有一个间断点,故应选(B).,注释:,本题考查二维随机变量函数的分布.,本题有一定的难度.,二、填空题 (每小题4分),设,为来自二项分布总体B (n, p) 的简,(14),单随机样本,为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,若,解:,分别为样本均值和样本方差.,则 k = _.,设总体为 X ,则,的无偏估计量,依题意有,故得 k = 1 ., 1,评价:,本题考查估计量的无偏性的概念.,解题中必须熟,悉结论:,对任意分布的总体X,其样本矩满足:,(n为样本容量).,若基本概念清,是不难得出正确答案的.,楚,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三、解答题,袋中有1个红球、2个黑球与3个白球.,(),解:,每次取一个球.,现有放回地从袋中取两次,以 X ,Y , Z,分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数.,() 求 PX = 1 | Z = 0 ;,() 求二维随机变量( X , Y ) 的概率分布.,由,(22).(11分),机动 目录 上页 下页 返回 结束,评价:,本题是一道综合题,对于条件概率的问题,果不能一眼就看出结果,有相当的难度.,通常的作法是用条件概率的,(),X 和 Y 可能取值均为 0 , 1 , 2 .,可