多元正态分布参数估计.ppt

一、多元正态分布参数估计,1. 样本,多元分析的任务根据样本数据来分析各变量之间的关系，推断总体的性质。,多元样本数据,为一元样本,2. 样本平均值,样本平均值是n个 点的重心,例题：,计算均值、离差阵、协方差和相关阵,3. 样本离差(平方乘积和)矩阵S,计算离差阵,(样本协方差) (样本方差),4. 样本协差阵,6. 样本相关矩阵R,R为非负定矩阵,-样本相关系数,变量的线性组合的样本值,计算 和 均值方差与协方差,7. 二组样本的协方差矩阵,8. 总体均值和协方差矩阵的最大似然估计,设,用最大似然法求出的均值和协方差的估计量分别为,9.基本性质,1）,是总体均值的无偏估计,2）,是总体协方差的无偏估计,分别是总体均值和协差阵的有效估计,是总体均值和协差阵的一致估计估计,3）,4）,和,和,和,10. 定理 设,和 S 分别是正态总体,样本均值和离差阵，则,和 S 相互独立,1）,2）,3）,二、多元统计中常用的分布,在一元统计中，常用的分布有卡方分布、t分布和F分布。在多元统计中，他们分别发展为Wishart分布、T2分布和Wilks分布。,11 分布和Wishart分布,定义1 设 为 相互独立且同服从于 分布的随机变量。则 (1) 所服从的分布叫做 分布， 称为自 由度且记为 。,定理2. 由(1)式定义的随机变量的分布密度函数为,定理3. 设 ， 且 与 相互独立，则,推论2 设 是抽自正态总体 的简单随机样本，则统计量,Wishart分布 它是多元样本离差平方和矩阵的分布,定义1 设 为 相互独立且同服从于 分布 ，令 则 (1) 所服从的分布叫做 自由度为 的p维 维希特分布，记作,显然，当p=1 时，有,Wishart分布像卡方分布一样具有加法性质，若 相互独立，则,设 ，且 与 相互独立，则称随机变量 服从自由度为 的 分布， 记为 。 将T平方，即,三 分布与 分布,在多元统计中 分布是一元统计中t分布的推广,定义：若 ， S与X相互独立、称随机变量 是自由度为（p，n）的 分布 可以转化为F分布,Hotelling,四、 分布与Wilks分布 定义3 设 ， ，且 与 相互独立，则称随机变量 服从自由度为 的 分布， 记为 。,F分布事实上为从正态总体随机抽取的两个样本方差的比，在方差分析和回归分析中广泛使用,描述 的变异程度的统计参数称为广义方差，其定义有很多 如,F统计量的推广是 统计量,定义：若,相互独立，则称随机变量 的分布是自由度为(p,n1,n2)的 分布,第三章 假设检验 1、 已知时单总体均值向量的检验,设从总体XNP(,)中随机抽取了一个容量为n的样本 ，得到的无偏估计为 检验 是否等于已知向量 。即,，,由于,由正态分布与卡方分布的关系得,构造检验统计量为,具体步骤是： 作统计假设 计算样本的均值 计算统计量T的具体值T0 按规定的小概率标准，查卡方分布表Ta，得临界值，并作出判断 当T0 Ta ，接受H0，拒绝H1，即认为 与 没有显著差异。 当T0 Ta ，接受H1 ，拒绝H0 ，即认为 与 有显著差异。,2、未知时均值向量的检验,在一元统计理论中，当方差未知时，取检验统计量为,推广到多元，考虑统计量,其中样本均值,样本离差阵,故由T2分布定义知,其中,利用T2与F分布的关系，检验统计量取为,具体步骤是： 作统计假设：， 计算样本均值和样本协方差 由公式计算F统计量具体值F0。 按规定的显著水平，查F分布临界值，并作出判断： 当 接受H0，拒绝H1； 当 拒绝H0，接受H1。,例1 某小麦良种的四个主要经济性状的理论值为 现在从外地引入一新品种，在21个小区种值，取得数据如表：,设新品种的四个性状服从正态，试检验假设,3,查F表，得F0.05(4,17) = 2.96，因为 故拒绝H。,3、两总体协差阵相等（但未知）时均值向量的检验,当P = 1时，因 且相互独立，在H0成立条件下，有,，,推广到P元总体，可以得到形式类似的统计量T2：,XNP(1,),YNP(2,),其中,具体步骤： 作统计假设：， 计算样本均值和，样本离差阵。 由公式计算统计量具体值F。 按规定的显著水平，查F分布临界值 当 接受H0，拒绝H1； 当 拒绝H0，接受H1。,4、 已知时，均值的置信域,从一元统计中我们已经了解到，均值假设检验问题本质上也等价于均值的置信区间,假设 来自P元正态总体NP(,)由前面讨论知,在任给置信度，查卡方分布临界值表得满足,则均值向量,的置信度为,的置信域为,该置信域是一个中心在,椭球。当检验,时，若,落在该置信域内，即,，则在显著水平,下，接受H0；若,没有落入该置信域内，则否定H0。所