2018版高中数学 圆与方程4.14.1.1圆的标准方程学案新人教A版.docx

4.1.1圆的标准方程目标定位1.探索并掌握圆的标准方程的特点，会根据圆的方程求出圆心坐标和半径.2.会根据已知条件求圆的标准方程.3.会用待定系数法求圆的方程.自 主 预 习1.圆的定义及圆的标准方程(1)圆的定义平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆.其中定点是圆的圆心；定长是圆的半径.(2)圆的标准方程2.点与圆的位置关系点与圆有三种位置关系，即点在圆外、点在圆上、点在圆内，判断点与圆的位置关系有两种方法：(1)几何法：将所给的点M与圆心C的距离跟半径r比较：若|CM|r，则点M在圆上；若|CM|r，则点M在圆外；若|CM|r2；点M(m，n)在圆C内(ma)2(nb)2r2.即 时 自 测1.判断题(1)确定圆的标准方程需要三个独立的条件，即圆心的横、纵坐标及半径.()(2)圆心在坐标原点，半径为r的圆的标准方程为x2y2r2.()(3)点与圆的位置关系有三种：点在圆内，点在圆上和点在圆外.()(4)圆(x1)2(y2)2m(m0)的圆心坐标为(1，2)，半径为m.()提示(4)圆的半径为.2.圆(x1)2(y2)22的半径为()A.1 B. C.2 D.4答案B3.已知圆C：(x1)2(y2)24，点P(x0，y0)在圆C内部，且d(x01)2(y02)2，则有()A.d2 B.d2 C.d4 D.d4解析点P(x0，y0)在圆C内部可知，(x01)2(y02)24，所以d4.答案D4.给出以下五个点的坐标：(1，1)，(2，1)，(0，0)，(，)，(2，0).以上各点在圆(x1)2(y1)22上的是_.(写出所有可能的序号)解析分别将五个点的坐标代入圆的方程检验可知适合圆的方程.答案类型一点与圆的位置关系【例1】 已知点A(1，2)不在圆C：(xa)2(ya)22a2的内部，求实数a的取值范围.解由题意，点A在圆C上或圆C的外部，(1a)2(2a)22a2，2a50，a，又a0，a的取值范围是(0，).规律方法判断点P(x0，y0)与圆(xa)2(yb)2r2的位置关系有几何法与代数法两种，对于几何法，主要是利用点与圆心的距离与半径比较大小.对于代数法，主要是把点的坐标直接代入圆的标准方程，具体判断方法如下：当(x0a)2(y0b)2r2时，点在圆外.【训练1】 点P(m2，5)与圆x2y224的位置关系是()A.在圆外 B.在圆内C.在圆上 D.不确定解析把点P(m2，5)代入圆的方程x2y224得m42524，故点P在圆外.答案A类型二求圆的标准方程(互动探究)【例2】 求过点A(1，1)，B(1，1)且圆心在直线xy20上的圆的标准方程.思路探究探究点一如何确定该圆圆心？提示由已知该圆圆心为线段AB的垂直平分线与直线xy20的交点，可通过解方程组求出圆心坐标.探究点二待定系数法求圆的标准方程的一般步骤是什么？提示(1)根据题意，设出标准方程；(2)根据条件，列关于a，b，r的方程组；(3)解出a，b，r，代入标准方程.解法一设点C为圆心，点C在直线xy20上，可设点C的坐标为(a，2a).又该圆经过A，B两点，|CA|CB|.，解得a1.圆心坐标为C(1，1)，半径长r|CA|2.故所求圆的标准方程为(x1)2(y1)24.法二由已知可得线段AB的中点坐标为(0，0)，kAB1，所以弦AB的垂直平分线的斜率为k1，所以AB的垂直平分线的方程为y01(x0)，即yx.则圆心是直线yx与xy20的交点，由得即圆心为(1，1)，圆的半径为2，故所求圆的标准方程为(x1)2(y1)24.规律方法直接法求圆的标准方程时，一般先从确定圆的两个要素入手，即首先求出圆心坐标和半径，然后直接写出圆的标准方程.【训练2】 以两点A(3，1)和B(5，5)为直径端点的圆的方程是()A.(x1)2(y2)210 B.(x1)2(y2)2100C.(x1)2(y2)25 D.(x1)2(y2)225解析点A(3，1)和B(5，5)的中点坐标为(1，2)，以A、B为直径的圆的圆心坐标为(1，2)，半径r5.所求圆的方程为(x1)2(y2)225.答案D类型三圆的方程的综合应用【例3】 已知圆心在x轴上的圆C与x轴交于两点A(1，0)，B(5，0)，(1)求此圆的标准方程；(2)设P(x，y)为圆C上任意一点，求P(x，y)到直线xy10的距离的最大值和最小值.解(1)由已知，得C(3，0)r2所求方程为(x3)2y24(2)圆心C到直线xy1的距离d22.P到直线的最大距离为22，最小距离为22.规律方法解答本题应用了圆的性质，即圆上任意一点到圆心的距离都等于半径，解题过程中用数形结合的思想能有效地找到解题的捷径，即过圆心作已知直线的垂线，便于求解此题.【训练3】 已知圆C：(x3)2(y4)21，点A(0，1)，B(0，1)，设P是圆C上的动点，令d|PA|2|PB|2，求d的最大值及最小值.解设P(x，y)，则d|PA|2|PB|22(x2y2)2.|CO|2324225，(51)2x2y2(51)2.即16x2y236.d的最小值为216234.最大值为236274.课堂小结1.确定圆的方程主要方法是待定系数法，即列出关于a，b，r的方程组求a，b，r或直接求出圆心(a，b)和半径r.另外依据题意适时运用圆的几何性质解题可以化繁为简，提高解题效率.2.讨论点与圆的位置关系可以从代数特征(点的坐标是否满足圆的方程)或几何特征(点到圆心的距离与半径的关系)去考虑，其中利用几何特征较为直观、快捷.1.圆(x2)2(y3)22的圆心和半径分别是()A.(2，3)，1 B.(2，3)，3C.(2，3)， D.(2，3)，解析由圆的标准方程可得圆心坐标为(2，3)，半径为.答案D2.点(1，1)在圆(xa)2(ya)24的内部，则a的取值范围是()A.1a1 B.0a1C.a1或a1 D.a1解析(1a)2(1a)24，2a224，a21，1a1.答案A3.已知两圆C1：(x5)2(y3)29和C2：(x2)2(y1)25，则两圆圆心间的距离为_.解析C1圆心为(5，3)，C2圆心为(2，1)，则d5.答案54.求满足下列条件的圆的方程：(1)圆心在原点，半径是3；(2)圆心坐标为(3，4)，半径是；(3)经过点(5，1)，圆心坐标为(8，3).解(1)x2y29.(2)(x3)2(y4)25.(3)圆的半径r5，圆心在点(8，3)，圆的方程为(x8)2(y3)225.基 础 过 关1.圆心为(1，2)，半径为3的圆的方程是()A.(x1)2(y2)29 B.(x1)2(y2)23C.(x1)2(y2)23 D.(x1)2(y2)29解析由题意可知，圆的方程为(x1)2(y2)29，故选D.答案D2.已知直线l过圆x2(y3)24的圆心，且与直线xy10垂直，则l的方程是()A.xy20 B.xy20C.xy30 D.xy30解析圆x2(y3)24的圆心为点(0，3)，又因为直线l与直线xy10垂直，所以直线l的斜率k1.由点斜式得直线l：y3x0，化简得xy30.答案D3.若点(4a1，3a2)不在圆(x1)2(y2)225的外部，则a的取值范围是()A.a B.1a1C.a D.1a1解析由已知，得(4a)2(3a)225.a21，|a|1，即1a1.答案D4.圆心在y轴上，半径为1，且过点(1，2)的圆的方程为_.解析设圆心(0，b)，设圆的方程为(x0)2(yb)21，把(1，2)代入得12(2b)21，b2.圆的方程为x2(y2)21.答案x2(y2)215.若圆C的半径为1，其圆心与点(1，0)关于直线yx对称，则圆C的标准方程为_.解析由题意知圆C的圆心为(0，1)，半径为1，所以圆C的标准方程为x2(y1)21.答案x2(y1)216.已知圆C：(x5)2(y6)210，试判断点M(6，9)，N(3，3)，Q(5，3)与圆C的位置关系.解圆心C(5，6)，半径r.|CM|，|CN|，|CQ|3.因此点M在圆上，点N在圆外，点Q在圆内.7.已知直线l与圆C相交于点P(1，0)和点Q(0，1).(1)求圆心所在的直线方程；(2)若圆C的半径为1，求圆C的方程.解(1)PQ的方程为xy10，PQ中点M，kPQ1，所以圆心所在的直线方程为yx.(2)由条件设圆的方程为：(xa)2(yb)21.由圆过P，Q点得：解得或所以圆C方程为：x2y21或(x1)2(y1)21.能 力 提 升8.若直线yaxb通过第一、二、四象限，则圆(xa)2(yb)21的圆心位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限解析(a，b)为圆的圆心，由直线经过第一、二、四象限，得到a0，即a0，b0，再由各象限内点的坐标的性质得解.答案D9.已知一圆的圆心为点A(2，3)，一条直径的端点分别在x轴和y轴上，则圆的方程是()A.(x2)2(y3)213 B.(x2)2(y3)213C.(x2)2(y3)252 D.(x2)2(y3)252解析如图，结合圆的性质可知，圆的半径r.故所求圆的方程为(x2)2(y3)213.答案B10.已知实数x，y满足y，则t的取值范围是_.解析y表示上半圆，t可以看作动点(x，y)与定点(1，3)连线的斜率.如图：A(1，3)，B(3，0)，C(3，0)，则kAB，kAC，t或t.答案t或t11.求圆(y1)2关于直线xy10对称的圆的方程.解圆(y1)2的圆心为M.设所求圆的圆心为(m，n)，它与关于直线xy10对称，所求圆的圆心坐标为，半径r.对称圆的