2018版高中数学平面向量导学案新人教A版.docx

第二章 平面向量1向量和差作图全攻略两个非零向量的和差作图，对同学们是一个难点，这里对其作图方法作出细致分析，以求尽快掌握.一、向量a、b共线例1如图，已知共线向量a、b，求作ab.(1)a、b同向；(2)a、b反向，且|a|b|；(3)a、b反向，且|a|b|.作法在与a平行的同一条直线上作出三个向量a，b，ab，具体作法是：当a与b方向相同时，ab与a、b的方向相同，长度为|a|b|；当a与b方向相反时，ab与a、b中长度长的向量方向相同，长度为|a|b|.为了直观，将三个向量中绝对值最大的向量沿与a垂直的方向稍加平移，然后分别标上a，b，ab.作图如下：例2如图，已知共线向量a、b，求作ab.(1)a、b同向，且|a|b|；(2)a、b同向，且|a|b|；(3)a、b反向.作法在平面上任取一点O，作a，b，则ab.事实上ab可看作是a(b)，按照这个理解和ab的作图方法不难作出ab，作图如下：二、向量a、b不共线如果向量不共线，可以应用三角形法则或平行四边形法则作图.例3如图，已知向量a、b.求作：(1)ab；(2)ab.作法1(应用三角形法则)(1)一般情况下，应在两已知向量所在的位置之外任取一点O.第一步：作a，方法是将一个三角板的直角边与a重合，再将直尺一边与三角板的另一直角边重合，最后将三角板拿开，放到一直角边过点O，一直角边与直尺的一边重合的位置，在此基础上取|a|，并使与a同向.第二步：同第一步方法作出b，一定要保证方向相同且长度相等.(此处最易错的是把作成与b的方向相反.)第三步：作，即连接OB，在B处打上箭头，即为ab.作图如下：(2)第一步：在平面上a，b位置之外任取一点O；第二步：依照前面方法过O作a，b；第三步：连接AB，在A处加上箭头，向量即为ab.作图如下：点评向量加法作图的特点是“首尾相接，首尾连”；向量减法作图的特点是“共起点，连终点，箭头指被减”.作法2(应用平行四边形法则)在平面上任取一点A，以点A为起点作a，b，以AB，AD为邻边作ABCD，则ab，ab.作图如下：点评向量的平行四边形法则和三角法则在本质上是一样的，但在解决某些问题时平行四边形法则有一定的优越性，因此两种法则都应熟练掌握.向量和差作图，要注意的是保证所作向量与目标向量“方向相同，长度相等”，最忌讳的是“作法不一”，比如作法中要求的是作b，可实际上作的是b.只要作图的过程与作法的每一步相对应，一定能作出正确的图形.2向量线性运算的应用平面向量的线性运算包括加法、减法以及数乘运算，在解题中具有广泛的应用.在对向量实施线性运算时，要准确利用对应的运算法则、运算律，注意向量的大小和方向两个方面.一、化简例1 化简下列各式：(1)(2)(2)；(2)3(2a8b)6(4a2b).解(1)(2)(2)22222()()2.(2)3(2a8b)6(4a2b)(6a24b24a12b)(18a36b)ab.点评向量的基本运算主要有两个途径：一是基于“形”，通过作出向量，运用平行四边形法则或三角形法则进行化简；二是基于“数”，满足“首尾相接且相加”或“起点相同且相减”的两个向量进行化简，解题时要注意观察是否有这两种形式出现，同时注意向量加法法则、减法法则的逆向应用.数乘运算，可类比实数积的运算方法进行，将向量a，b，c等看成一般字母符号，其中向量数乘之间的和差运算，相当于合并同类项或提取公因式，这里的“同类项”与“公因式”指的是向量.二、求参数例2 如图，已知ABC和点M满足0，若存在实数m使得m成立，则m_.解析如图，因为0，即()，即，延长AM，交BC于D点，所以D是BC边的中点，所以2，所以，所以23，所以m3.答案3点评求解含参数的向量线性运算问题，只需把参数当作已知条件，根据向量的加法、减法及数乘运算将问题中所涉及的向量用两个不共线的向量表示，列出向量方程，对比系数求参数的值.三、表示向量例3 如图所示，在ABC中，DEBC交AC于E，BC边上的中线AM交DE于点N，设a，b，用向量a，b表示、.解因为DEBC，所以b，ba，由ADEABC，得(ba)，又M是ABC底边BC的中点，DEBC，所以(ba)，aa(ba)(ab).点评用已知向量表示另外一些向量，应尽量将所求向量转化到平行四边形或三角形中，利用向量共线条件和平面几何知识的一些定理、性质，如三角形中位线性质，相似三角形对应边成比例等，再利用向量加法、减法法则，即可用已知向量表示所求向量.3平面向量的基本定理应用三技巧技巧一构造某一向量在同一基底下的两种不同的表达形式，用“若e1，e2为基底，且ax1e1y1e2x2e1y2e2，则用来求解.例1在OAB的边OA，OB上分别取点M，N，使|13，|14，设线段AN与BM交于点P，记a，b，用a，b表示向量.解B，P，M共线，存在常数s，使s，则.即ab.同理，存在常数t，使t，则ab.a，b不共线，解之得，ab.点评这里选取，作为基底，构造在此基底下的两种不同的表达形式，再根据相同基底的系数对应相等得到实数方程组，最后进行求解.技巧二构造两个共线向量在同一基底下的表达形式，用“若e1，e2为基底，ax1e1y1e2，bx2e1y2e2，且ab，则x1y2x2y10”来求解.例2如图，在OAB中，AD与BC交于点M，设a，b. (1)用a、b表示；(2)已知在线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，使EF过M点，设p，q，求证：1.(1)解设manb，则(m1)anb，ab.点A、M、D共线，与共线，(m1)(1)n0，m2n1.而(m)anb，ab.C、M、B共线，与共线，n(m)0.4mn1.联立可得m，n，ab.(2)证明(p)ab，paqb，与共线，(p)q(p)0.qpqp，即1.点评这里多次运用构造一组共线向量的表达形式，再根据共线向量基底的系数关系建立方程组求解.技巧三将题目中的已知条件转化成1e12e20的形式(e1，e2不共线)，根据120来求解.例3如图，已知P是ABC内一点，且满足条件230，设Q为CP的延长线与AB的交点，令p，试用向量p表示.解，()2()30，3230，又A，B，Q三点共线，C，P，Q三点共线，3230，(2)(33)0.而，为不共线向量，2，1.故22p.点评这里选取，两个不共线的向量作为基底，运用化归与转化思想，最终变成1e12e20的形式来求解.4直线的方向向量和法向量的应用直线的方向向量和法向量是处理直线问题的有力工具.由于直线和平面向量的学习分散在必修2和必修4先后进行，学习中对它们的认识还不到位，重视程度还不够，下面对直线的方向向量和法向量的灵活应用结合例子加以剖析.一、直线的方向向量1.定义设P1，P2是直线l：AxByC0上的不同两点，那么向量以及与它平行的非零向量都称为直线l的方向向量，若P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则的坐标为(x2x1，y2y1)；特别当直线l与x轴不垂直时，即x2x10，直线的斜率k存在时，那么(1，k)是它的一个方向向量；当直线l与x轴平行时，方向向量可为(1，0)；而无论斜率存在与否，其方向向量均可表示为(B，A).2.应用(1)求直线方程例1已知三角形三顶点坐标分别为A(2，3)，B(7，9)，C(18，9)，求AB边上的中线、高线方程以及C的内角平分线方程.解求中线方程由于(25，0)，(16，12)，那么AB边上的中线CD的方向向量为(41，12)，也就是，因而直线CD的斜率为，那么直线CD的方程为y9(x18)，整理得12x41y1530.求高线方程由于kAB，因而AB的方向向量为，而AB边上的高CEAB，则直线CE的方向向量为，那么高线CE的方程为y9(x18)，整理得3x4y180. 求C的内角平分线方程(1，0)，则C的内角平分线的方向向量为，也就是，因而内角平分线CF的方程为y9(x18)，整理得x3y90.点评一般地，经过点(x0，y0)，与直线AxByC0平行的直线方程是A(xx0)B(yy0)0；与直线AxByC0垂直的直线方程是B(xx0)A(yy0)0.(2)求直线夹角例2已知l1：x3y150与l2：y3mx60的夹角为，求m的值.解直线l1的方向向量为v1(3，1)，直线l2的方向向量为v2(1，3m)，l1与l2的夹角为，|cosv1，v2|，化简得18m29m20.解得m或m.点评一般地，设直线l1：yk1xb1，其方向向量为v1(1，k1)，直线l2：yk2xb2，其方向向量为v2(1，k2)，当1k1k20时，两直线的夹角为90；当1k1k20时，设夹角为，则cos ；若设直线l1：A1xB1yC10，其方向向量为(B1，A1)，直线l2：A2xB2yC20，其方向向量为(B2，A2)，那么cos .二、直线的法向量1.定义直线AxByC0的法向量：如果向量n与直线l垂直，则称向量n为直线l的法向量.因此若直线的方向向量为v，则nv0，从而对于直线AxByC0而言，其方向向量为v(B，A)，则由于nv0，于是可取n(A，B).2.应用(1)判断直线的位置关系例3已知直线l1：axy2a0与直线l2：(2a1)xaya0.(1)若l1l2，求实数a的值；(2)若l1l2，求实数a的值.解直线l1，l2的法向量分别为n1(a，1)，n2(2a1，a)，(1)若l1l2，则n1n2a(2a1)(1)a0，解得a0或a1.a0或1时，l1l2.(2)若l1l2，则n1n2，a2(2a1)(1)0.解得a1，且2.a1时，l1l2.点评一般地，设直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，它们的法向量分别为n1(A1，B1)，n2(A2，B2)，当n1n2，即A1A2B1B20时，l1l2，反之亦然；当n1n2，即A1B2A2B10时，l1l2或l1与l2重合.(2)求点到直线的距离例4已知点M(x0，y0)为直线l：AxByC0外一点.求证：点M(x0，y0)到直线l的距离d.证明设P(x1，y1)是直线AxByC0上任一点，n是直线l的一个法向量，不妨取n(A，B).则M(x0，y0)到直线l：AxByC0的距离d等于向量在n方向上投影的长度，如图所示.d|cos，n|.点P(x1，y1)在直线l上，Ax1By1C0，Ax1By1C，d.点评同理应用直线的法向量可以证明平行直线l1：AxByC10与直线l2：AxByC20(A2B20且C1C2)的距离为d.证明过程如下：设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)分别为直线l1：AxByC10，直线l2：AxByC20上任意两点，取直线l1，l2的一个法向量n(A，B)，则(x2x1，y2y1)在向量n上的投影的长度，就是两平行线l1、l2的距离.d|cos，n| .5向量法证明三点共线平面向量既具有数量特征，又具有图形特征，学习向量的应用，可以启发同学们从新的视角去分析、解决问题，有益于培养创新能力.下面就一道习题的应用探究为例进行说明.典例已知，其中1.求证：A、B、C三点共线.思路通过向量共线(如k)得三点共线.证明如图，由1得1，则(1).()，A、B、C三点共线.思考1.此题揭示了证明三点共线的又一向量方法，点O具有灵活性；2.反之也成立(证明略)：若A、B、C三点共线，则存在唯一实数对、，满足，且1.揭示了三点共线的又一个性质；3.特别地，时，()，点B为的中点，揭示了OAC中线OB的一个向量公式，应用广泛.应用举例例1如图，平行四边形ABCD中，点M是AB的中点，点N在BD上，且BNBD.利用向量法证明：M、N、C三点共线. 思路分析选择点B，只须证明，且1.证明由已知，又点N在BD上，且BNBD，得().又点M是AB的中点，即2.而1.M、N、C三点共线.点评证明过程比证明m简洁.例2如图，平行四边形OACB中，BDBC，OD与AB相交于E，求证：BEBA. 思路分析可以借助向量知识，只需证明：，而，又O、D、E三点共线，存在唯一实数对、，且1，使，从而得到与的关系.证明由已知条件，又B、E、A三点共线，可设k，则kk，又O、E、D三点共线，则存在唯一实数对、，使，且1.又，根据得解得，BEBA.点评借助向量知识，充分运用三点共线的向量性质解决问题，巧妙、简洁.6平面向量中的三角形“四心”问题在三角形中，“四心”是一组特殊的点，它们的向量表达形式具有许多重要的性质，在近年高考试题中，总会出现一些新颖别致的问题，不仅考查了向量等知识点，还培养了考生分析问题、解决问题的能力.现就“四心”作如下介绍：1.重心三角形三条中线的交点叫重心，它到三角形顶点距离与该点到对边中心距离之比为21.在向量表达形式中，设点G是ABC所在平面内的一点，则当点G是ABC的重心时，有0或()(其中P为平面任意一点).反之，若0，则点G是ABC的重心.在向量的坐标表示中，若G，A，B，C分别是三角形的重心和三个顶点，且坐标分别为G(x，y)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则有x，y.例已知ABC内一点O满足关系230，试求SBOCSCOASAOB的值.解如图，延长OB至B1，使BB1OB，延长OC至C1，使CC12OC，连接AB1，AC1，B1C1.则2，3.由条件，得0，点O是AB1C1的重心.从而SB1OC1SC1OASAOB1S，其中S表示AB1C1的面积.SCOAS，SAOBS，SBOCSB1OCSB1OC1S.于是SBOCSCOASAOB123.点评本题条件230与三角形的重心性质0十分类似，因此我们通过添加辅助线，构造一个三角形，使点O成为辅助三角形的重心，而三角形的重心与顶点的连线将三角形的面积三等分，从而可求三部分的面积比.引申推广