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*第四节 辛 空 间,主要内容,辛空间的基本概念及性质,辛子空间及辛变换,辛变换的性质,近年来有限维辛空间的理论在力学、计算数学、,几何学、代数学、组合学等学科中日显重要.,我们,在这一节简略地介绍辛空间的一些性质，特别是,辛空间的子空间及辛自同构(称为辛变换)的性质.,由前一节的讨论，已经得到下面两点性质：,1. 辛空间 (V , f ) 中一定能找到一组基,1 , 2 , , n , -1 , -2 , , -n,满足,一、辛空间的基本概念及性质,f (i , j ) = 0 , - n i , j n , i + j 0 .,这样的基称为 (V , f ) 的辛正交基.,还可看出辛空,间一定是偶数维的.,2. 任一 2n 级非退化反对称矩阵 K 可把一个数,域 P 上 2n 维空间 V 化成一个辛空间，且使 K 为某,基 e1 , e2 , , en , e -1 , e -2 , , e -n 下的度量矩阵.,又此辛空间在某辛正交基 1 , 2 , , n , -1 , -2 , , -n 下的度量矩阵为,f (i , -i ) = 1 , 1 i n ,故 K 合同于 J .,即任一 2n 级非退化反对称矩阵皆,合同于 J .,两个辛空间 (V1 , f1 ) 及 (V2 , f2 )，若有V1 到V2,的作为线性空间的同构 K ，它满足,f1(u , v) = f2(K u , K v) ,则称 K 是 (V1 , f1 ) 到 (V2 , f2 ) 的辛同构.,(V1 , f1 ) 到 (V2 , f2 ) 的作为线性空间的同构是,辛同构当且仅当它把 (V1 , f1 ) 的一组辛正交基变成,(V2 , f2 ) 的辛正交基.,两个辛空间是辛同构的当且仅当它们有相同的,维数.,辛空间 (V , f ) 到自身的辛同构称为 (V , f ) 上,的辛变换.,取定 (V , f ) 的一组辛正交基,1 , 2 , , n , -1 , -2 , , -n,V 上的一个线性变换 K ，在该基下的矩阵为 K，,其中 A , B , C , D 皆为 n n 方阵.,则 K 是辛变换,当且仅当 KTJK = J，亦即当且仅当下列条件成立：,ATC = CTA , BTD = DTB , ATD - CTB = E .,且易证，| K | 0，及辛变换的乘积、辛变换的逆,变换皆为辛变换.,设 (V , f ) 是辛空间，u , v V , 满足,f (u , v ) = 0,则称 u , v 为辛正交的.,W 是 V 的子空间，令,W = u V | f (u , w ) = 0 , w W . (2),W 显然是 V 的子空间，称为 W 的辛正交补空间.,定理 7 (V , f ) 是辛空间，W 是 V 的子空间,则,dim W = dim V - dim W .,证明,取 V 的一组基 1 , 2 , , 2n ，W 的,一组基 1 , 2 , , k .,设 f 在 1 , 2 , , 2n 下的,度量矩阵为 A .,一对向量, = (1 , 2 , , 2n) X，, = (1 , 2 , , 2n) Y，,其中,分别是 及 在基 1 , 2 , , 2n 下的坐标向量，于,是,f ( , ) = XTAY .,现设 W 的基 1 , 2 , , k 在 V 的基 1 , 2 , , 2n 下的坐标向量是 X1 , X2 , , Xk .,又 f 是非,退化的，A 为可逆阵.,因此,又 W 当且仅当 1 , 2 , , k 都与 辛正交当,且仅当 Y 满足齐次线性方程组,于是 W 与 (3) 的解空间同构.,(3) 的解空间的维数,为 2n - k , 就证明了,dim W = dim V - dim W .,证毕,定义 11 (V , f ) 为辛空间，W 为 V 的子空间.,若 W W , 则称 W 为 (V , f ) 的迷向子空间；,若,W = W , 即 W 是极大的(按包含关系)迷向子空间，,也称它为拉格朗日子空间；,若 W W = 0 ，,则称 W 为 (V , f ) 的辛子空间.,二、辛子空间及辛变换,例如，设 1 , 2 , , n , -1 , -2 , , -n 是,(V , f ) 的辛正交基，则 L(1 , 2 , , k) 是迷向子,空间.,L(1 , 2 , , n) 是极大迷向子空间，即拉,格朗日子空间.,L(1 , 2 , , k , -1 , -2 , , -k) 是,辛子空间.,对辛子空间 (V , f ) 的子空间 U，W .,通过验,证，并利用定理 7，可得下列性质:,(1) (W) = W ,(2) U W W U,(3) 若 U 是辛子空间，则 V = U U,(4) 若 U 是迷向子空间，则,(5) 若 U 是拉格朗日子空间，则,定理 8 设 L 是辛空间 (V , f ) 的拉格朗日子,空间， 1 , 2 , , n 是 L 的基，则它可扩充为,(V , f ) 的辛正交基 .,证明,由上面性质 (5)，知 dim V = 2n .,用 Li,表示 n - 1 维子空间 L(1 , , i -1 , i +1 , , n) .,由,Li L 知 Li L = L.,再由定理 7 知 L1 是 n + 1,维子空间，故 L1 中有向量 -1 不在 L 中，即,f (1 , -1 ) 0 .,不妨设 f (1 , -1 ) = 1 (否则把 -1 换成它的适当倍,数).,由于 -1 L1 ，则 f (j , -1 ) = 0 , j = 2, , n.,然后在 L2 选一向量 -2 不在 L 中，使,f (2 , -2 ) = 1 .,设 f (-1 , -2 ) = a，作 -2 = a-1 + -2 ，则有,f (2 , -2 ) = 1 及 f (-1 , -2 ) = -a + a = 0,且显然有 f (i , -2 ) = 0 , i = 1, 3, , n.,如此继续,下去得到 (V , f ) 的基1 , 2 , , n , -1 , -2 , , -n,是 (V , f ) 的辛正交基.,证毕,推论 设 W 是 (V , f ) 的迷向子空间， 1 , 2 ,n 是 W 的基，则它可扩充成 (V, f ) 的辛正交基.,证明,设 L 是包含 W 的极大迷向子空间，则,L 是拉格朗日子空间.,可先把 W 的基扩充成 L 的基,再由定理 8 ，可扩充成 (V, f ) 的辛正交基.,对于辛子空间 U，f | U 也是非退化的.,同样,f | U 也非退化.,由定理 7 还有 V = U U .,证毕,定理 9 辛空间 (V, f ) 的辛子空间 (U , f | U ),的一组辛正交基可扩充成 (V, f ) 的辛正交基.,证明,实际上 (U , f | U ) 的任一组辛正交基,与 (U , f | U ) 的任一组辛正交基合起来就是 (V, f ),的辛正交基.,证毕,定理 10 令 (V, f ) 为辛子空间，U 和 W 是两,个拉格朗日子空间或两个同维的辛子空间，则有,(V, f ) 的辛变换把 U 变成 W .,证明,由于把辛正交基变成辛正交基的线性变,换是辛变换，再应用定理 8 及定理 9 关于 U 的及,W 的基可扩充成 (V, f ) 的辛正交基的结论，容易,证明定理.,证毕,辛空间 (V, f ) 的两个子空间 U 及 W 之间的(线,性)同构 K 若满足,f (u , v) = f (K u , K v) , u W , v V,则称 K 为 V 与 W 间的等距.,下面的命题以定理10,为特例 (由于用到的知识超出了高等代数的范围，,略去了证明) .,Witt 定理 辛空间 (V, f ) 的两个子空间 V,W 之间若有等距，则此等距可扩充成 (V, f ) 的一,个辛变换.,下面是辛变换的特征值的一些性质.,K 是辛空间 (V, f ) 上的辛变换，仍然不加证,明地指出， K 的行列式为 1 .,取定 (V, f ) 的辛正交基,1 , 2 , , n , -1 , -2 , , -n,设 K 在该基下矩阵为 K，这时有 KTJK = J .,三、辛变换的性质,定理 11 设 K 是 2n 维辛空间中的辛变换，,K 是 K 在某辛正交基下矩阵.,则它的特征多项式,f () = | E - K |,满足,若设,f () = a02n + a12n -1 + + a2n - 1 + a2n ,则 ai = a2n - i , i = 0, 1, , n .,证明,易知 | K | = | J | = 1 , J2 = - E 及,K = - J (K-1)TJ .,于是,f () = | E - K |,= | E - J (K-1)TJ |,= | JEJ - J (K-1)TJ |,= | J | | E - (K-1)T | | J |,= | E - (K-1)T | | KT |,= | KT - E |,= | E - K |,证毕,由定理 11 可知，辛变换 K 的特征多项式 f (),数.,它在 P 中的特征值也如此.,又 | K | 等于 f () 的,所有(复)根的积，而 | K | = 1，故特征值 - 1 的重数,为偶数.,又不等于 1 的复根的重数的和及空间的,维数皆为偶数，因此特征值为 +1 的重数也为偶数.,定理 12 设 i , j 是数域 P 上辛空间 (V, f ),上辛变换 K 在 P 中的特征值，且 i j 1 .,设,是 V 中对应于特征值 i 及 j 的特征子空,间.,则,有 f (u , v) = 0 .,是辛正交的.,特别地，当 i 1,证明,K u = i u , K v =j v .,由,f (u , v) = f (K u , K v) = ij f (u , v) ,即有 (ij - 1) f (u , v) =0 .,故 f (u , v) =0 .,证毕,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束