文化视角下的数学教育.ppt

江苏省农村初中数学骨干教师提高培训 文化视角下的 数学教育,江苏师范大学 周明儒 E-mail：13952115558163.com 2012.10.22.,对“数学教育”常见的一些认识,数学和语文都是中小学最基础的学科，必学，必考 数学教学的基本任务是传授数学知识、技能、技巧 数学学得好不好的标志是会不会解题 数学教得好不好的标志是学生考得好不好,从大学生看实际教学效果,当今大学生仍然延续着在中学里形成的“学数学就是解题”的认识误区和学习习惯 理工科学生包括数学专业的学生学了10多年数学并不真正认识数学科学 文科学生害怕数学，甚至厌恶数学 “学到不想学了就毕业了” 总体上看，大学新生的数学水平、数学素养和学习兴趣仍在下降,“数学的教学逐渐流于无意义的单纯演算习题的训练。固然这可以发展演算能力，但却无助于对数学的真正理解，无助于提高独立思考能力。” 柯朗,从文化的角度审视数学教育,数学也是一种文化，数学和哲学的地位相当 数学的文化内涵主要是数学科学精神和思想方法 数学教育教学的根本目的应当是使学生领悟数学科学的精神实质和思想方法 在日常教学中做到数学与人文的有机交融 培养数学直觉，提高创新能力 揭示数学美，领悟数学美 给学生树立一些榜样 教师应当加强自身的修养,一、数学也是一种文化， 数学和哲学的地位相当,“文化” 主要是指： 人类在社会历史发展过程中所创造的物质财富和精神财富的总和，特指精神财富。如文学、艺术、教育、科学等。 现代汉语词典（商务印书馆，1996）,数学研究的对象,恩格斯(18201895)： “纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系” 公元前6世纪之前主要研究“数”， 几何可看作是应用算术 希腊数学突出了对“形”的研究,17、18世纪 “运动与变化” 17世纪 解析几何、微积分 18世纪 分析学的时代 数学家几乎都是力学家 19世纪 纯粹数学蓬勃发展 “数学本身” 20世纪 应用数学应运而生 二战是应用数学发展的转折期 计算机的发明是应用数学发展的转折点,当代数学，日益走向综合，成为一个庞大的科学体系； 另一方面，与其他学科交叉渗透，一系列崭新的边缘学科迅速崛起： 非线性科学，数学物理，生物数学， 经济数学，数理语言学，计量史学， 定量社会学，军事运筹学， 混沌动力学，分形几何学 等 “合”“分”“合”,振兴美国数学1990年代的计划,数学是“模式的科学，其目的是要揭示人们从自然界和数学本身的抽象世界中所观察到的结构和对称性” “模式（pattern）” 数，形，运动和变化，推理，行为的模式等 现实的，想象的；定量的，定性的。,数学是研究现实世界和数学的抽象 世界中的数量关系、空间形式、运动 变化、思维模式、社会行为等的科学,数学和哲学的地位相当,数学不能简单地划归为自然科学的范 畴，而是和哲学的地位相当 数学是最古老的学科 之一 毕达哥拉斯（前582497）： 自然数是万物之母,马克思（18181883）： 一门科学，只有当它成功地运用数学时,才能达到真正完善的地步。 恩格斯（18201895）： 要辩证而又唯物地了解自然，就必须熟悉数学。,B.Demollins: 没有数学，我们无法看透哲学的深度；没有哲学，人们也无法看透数学的深度。而若没有两者，人们就什么也看不透。,数学是一种精确的语言和有力的工具,“数学是自然的语言” 物理规律，数学刻画 阿基米德原理 伽利略运动定律 （初等数学） 牛顿力学（微积分）,量子力学（矩阵，积分方程） 爱因斯坦相对论 狭义相对论（闵可夫斯基空间） 广义相对论（黎曼几何） 规范场理论 “超弦理论”,1990，美国数学家 琼斯，纽结理论 Science 数学打开了双螺旋 的疑结,人文社会科学的许多领域也已发展到不懂数学的人望尘莫及的阶段 经济学、语言学、历史学、社会学、 政治学、管理学、教育学、艺术学、 军事学等等 参看文科高等数学基础教程 数学与艺术,数学与艺术,数学本身具有艺术的特征，即对美的追求。高度简洁，形式完美。 音乐，就它的基础来说是数学的，就它 的出现来说，是直觉的。 莱布尼兹,毕达哥拉斯学派 第一个发现就是整数与 音调的关系: 当弦长之比为1：2， 2：3， 3：4时声音就和 谐，悦耳（分别是八度 音、五度音、四度音）,平台钢琴弦的外形轮廓,十二平均律,把八度分成12个半音，这些半音的频率成一个等比数列，公比为,乐音3(3度音)的频率比为 乐音4(4度音)的频率比为 乐音5(5度音)的频率比为 乐音6(6度音)的频率比为,十二平均律的发明者朱载堉,15361611 河南沁阳人 朱元璋的九世孙,朱载堉用81位大算盘计算频率， 先把八度开平方，算得 再将1.414213 开平方，得八度的四分之一 ； 最后将1.189207 开立方，得 朱载堉将此值称为“密律”. 朱载堉将频率一直计算到25位数.,李约瑟：“他的理论在他自己的国家却很少付诸实践，这真是不可思议的讽刺。毫无疑问，第一个使平均律数学上公式化的荣誉确定应当归之中国。” 详见文科高等数学基础教程（第二版）教学辅导书p.1-4,数学与美术,达 芬奇 （14521519） 不仅是绘画艺术的旷世 奇才，还是一个精通数 学、音乐、 建筑学、 机械学、人体解剖学的 杰出学者 欣赏我的作品的人，没有一个不是数学家,黄金分割与艺术,（中外比，欧几里得） 设BC=1, AB 黄金分割率（19世纪初期）,15世纪Weyden耶稣降架图,370.618=22.8,25：41=0.61,开路先锋告别南洋 梅娘曲饥寒交迫之歌 铁蹄下的歌女春节序曲 电影上甘岭插曲我的祖国全曲19节，副歌在第11节处（190.618=11） 匈牙利作曲家巴托克的小宇宙全部153曲中约有80%符合这一规律.,分形几何与分形艺术,当代数学与其他学科交叉渗透，产生了一系列崭新的边缘学科。 1975年诞生了两门新学科混沌动力学和分形几何学 电子计算机与分形几何学的结合，形成了一门崭新的艺术分形艺术,传统几何学很难刻画复杂形状,曲折的海岸线不是折线， 雪花的边缘不是圆， 翻滚的积雨云不是球， 起伏的山峦不是锥。,海岸线有多长？,芒德布罗系统、深入地剖析了自然界中许多不规则的几何对象，诸如： 海岸线的结构、月球表面的“火山口”、 太空中星系的分布、地形地貌、 大气中的湍流、液体中微粒不规则运动等， 看到了它们的本质特征， 1975年发表了分形对象形、机遇和维数,如果如同我所希望的 那样，分形的思想不 久将融入初等几何， 这是因为分形概念不 但是优美的、新颖的， 也因为它是有用的，甚 至可能是必要的，以及 其它一些尚未预见的因 素。 芒德布罗（19242010）,分形(fractal),是不规则的，不能用传统的几何语言来描述； 具有精细结构； 通常具有某种自相似性； 分形维数简称为分维，它可能是分数、整数，也可能是无理数。,英国西海岸线 1.25 亚马逊河 1.85 人视网膜血管 1.72 人肺的分维数 2.17; 人脑表面皱褶 介于2.73到2.79. 参看文科高等数学基础教程,芒德布罗集,（复数） 有界,电子计算机图形显示和数学的结合 产生了一门新的艺术 分形艺术,Newton分形,Nova分形,二、数学科学的文化内涵,主要是指数学在5000年的发展历程中形成的数学科学精神和思想方法,数学科学精神,一是指在数学发展的历史中孕育形成的，数学科学本身具有人文社会价值的本质特征； 二是指一代代数学家在探索数学科学奥秘、推动数学科学发展的过程中，所集中体现的具有人文社会价值的科学态度和科学精神。,数学具有各个科学分支所共有的 实事求是、锲而不舍地追求真理的科学精神 但由于数学本身的特点，它又有一些其他学科所没有的独特的精神。,锲而不舍地追求真理， 并且务求尽善尽美的精神,最大限度地探求一般的模式和一般的算法， 而且追求高度的简洁和形式的完美。 高度抽象，极大普适 16世纪二次方程求根公式 19世纪伽罗瓦理论,高度简洁，形式完美,特别严谨、一丝不苟的精神,高度的精确性和数学真理的客观性 数学不同于实验学科 1637年，费马猜想 1993年，奇素数p400万； 1994年，怀尔斯（A.Wiles，1953）,特别强的生命力和自我完善的精神,陈景润 (1933-1996) 华罗庚（19101985）,不断创新和科学的包容精神,在大多数科学里，一代人要推倒另一代人所建筑的东西，一个人所树立的另一个人要加以摧毁。只有数学，每一代人都能在旧建筑上增添一层楼。 H.汉克尔 自然数整数有理数实数复数 欧几里得几何非欧几何,“地心说” “日心说” “燃素”理论氧化理论 电子管电路晶体管电路集成电路 人文社会科学中的例子更多,自强不息，百折不挠，公平正直， 热爱祖国的精神,身残志坚，最多产的伟大数学家欧拉 1707 1783,向命运挑战的杰出女数学家热尔曼,1776 1831,刚正不阿的数学泰斗希尔伯特,1862 1943,自学成才的数学大师华罗庚,1910 1985,情系桑梓的微分几何世界级领袖 陈省身,1911 2004,概括地讲，数学科学的精神是,实事求是、锲而不舍地追求真理，并且务求尽善尽美的精神； 特别严谨、一丝不苟且能自我完善的精神； 不断创新和科学的包容精神； 自强不息，百折不挠，公平正直，热爱祖国的精神。,让数学科学精神 发扬光大 代代相传,数学科学精神是人类的宝贵财富，应当作为数学教育的有机内容，并通过数学教育教学活动向学生们灌输、传播，使之成为社会的文明风尚，弘扬光大，代代相传。,数学提供了一种典范的理性思维方式,例如：抽象化，符号化，公理化，最优化， 建立模型，形数结合，变换转化，归纳类比， 演绎推理，计算论证，数据分析 ，统计推断 等等。,掌握了数学思维的人： 严谨缜密，洞察真伪； 计划性强，凡事心中有数，工作有条不紊； 讲究效率，注重实际； 掌握了数学思维、品行端正的人 不讲空话、大话，有一是一。,数学科学的思想方法 也是人类文明的宝贵财富 应当作为数学教育教学的重要内容,三、数学教育的根本目的,教育就是当一个人把在学校所学全部忘光之后剩下的东西。 爱因斯坦,应当使学生在数学学习的整个过程中： 学习和掌握数学科学的思想方法 学习和领悟数学科学的精神实质 一些具体的数学定理、公式可能会忘 掉，但数学科学的精神实质，以及研究问 题、解决问题的思想方法仍能指导、帮助和 改进他的学习、工作和生活。这样才能使学 生受益终生。,中、小学数学教育的目的,小学、中学数学教育是数学知识的启蒙教育和基础教育 对学生的学习情感和学习态度，有长久的、甚至是终身的影响。 我认为中、小学数学教育的最重要的目的并不在于让学生知道一点具体的数学知识， 而是应当努力实现下列目标：,中、小学数学教育应实现的目标,1. 使学生喜欢数学； （ 数学有趣，有用，有美） 2. 对数学有了好奇心、求知欲； 3. 对学好数学有自信心； （ 数学不神秘，不难学，能应用） 4. 培养严谨、求实的习惯、品格。,此外，能从数学知识的学习中， 领略、理解数学科学的一些特点 抽象性，符号化，模型化， 逻辑性，严密性， 创造性，实践性； 感受、领会数学科学体现的文化精神 数学科学精神,中、小学数学教师,应该在日常教学的潜移默化中，使学生们感染到数学科学的精神和思想方法； 应该在学生们的心里， 播下喜欢数学的种子； 鼓起进一步学习数学的愿望和学好数学的信心； 催生探索数学奥秘的理想。,四、在日常教学中努力做到 数学与人文的有机交融,没有什么比看到发明的源泉更重要的了。就我看来，它比发明本身更有趣。 莱布尼茨,“课本中字斟句酌的叙述，未能表现出创 造过程的斗争、挫折，以及在建立一个可 观的结构之前，数学家所经历的艰苦漫长 的道路。实在说，叙述数学家如何 跌跤，如何在迷雾中摸索前进，并且如何 零零碎碎地得到他们的成果，应能使搞研 究工作的任一新手鼓起勇气。” M.克莱因,已严格地提出来的数学是一门系统的演绎科学， 它不同于经验的自然科学； 而正在形成过程中的数学却是一门实验性的归纳科学 波利亚： “有两种推理：论证推理和合情推理” “数学家的创造性工作成果是论证推理，即证明；但是这个证明是通过合情推理，通过猜想而发现的。 ”,没有大胆的猜想，就做不出伟大的发现。 牛顿 看来，直觉是头等重要的。 爱因斯坦 逻辑用于论证，直觉可用于发明。 庞加莱,培养数学直觉，提高创新能力,试用四个4和任意数学符号组成数71,若a，b，c是正实数，试证明下面三式中任意两个之和必定大于第三个。,a,b,c,简单凸多面体欧拉公式的发现,面（face）、顶(vertex)、 棱(edge),平面 n 边形的内角和为 关于凸多面体有没有类似的关系式？ 欧拉首先考虑凸多面体的所有面角的和，分别计算了立方体、四面体、八面体、五棱柱，以及在立方体上面加一个四棱锥而构成的“塔顶”体。结果没有发现什么规律,每个顶点处具有相同角顶的面角之和,欧拉发现对前面考察的多面体有规律 对于其它一些凸多面体，如12面体、20面体、n棱柱、n棱锥、双n棱锥，上述规律仍然成立。 由此欧拉猜想它是一个一般规律,设凸多面体的各个面的边数分别为： 则凸多面体的所有面角的和 代入 ，即得欧拉公式,一种富有启发性的证明,转换为对于平面网络证明: f+v-e=1,f+v-e=1 从欧拉的数学直觉谈起,数学教学要注意揭示数学美,开普勒：数学是这个世界之美的原型。 维纳：数学实质上是艺术的一种。 罗素：数学不仅拥有真理，而且还拥有至高的美 一种冷峻而严肃的美，正像雕塑所具有的美一样。 但很多学生感觉不到数学的美,我理解的数学美,外在的感性美（形式美） 内在的理性美（科学美） 简洁美，和谐美，统一美， 逻辑美，思辨美，奇异美。,数学美的一个代表,爱因斯坦：美，本质上终究是简单性。 简洁美，和谐美，统一美， 逻辑美，思辨美，奇异美。,数学之美随处可见,数学符号的内在美,数学语言的简洁美 简洁的符号，丰富的内涵 简洁的表述，严谨的命题 方程 有实根，当且仅当 . 平面三角形的内角和为二直角.,公式、命题、术语的对称美 的系数，杨辉三角 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1,对数和指数运算公式 集合、随机事件运算公式,数学真理的普适性和数学的统一美 圆柱、圆锥、圆台；棱柱、棱锥、棱台 的体积公式,独具特色的,数学理论体系的和谐美 公理化体系的相容性（无矛盾性） 数学论证的逻辑美，思辨美 演绎、归纳的逻辑美 反证、类比的思辨美（素数有无穷多个）,有悖常理的奇异美 “部分不比整体小”,黄金分割率 的奇妙数学表示,奇异美，逻辑美,哪里有数，哪里就有美。 普洛克拉斯,至1999年，已经算到小数点后2061亿位 从小数点后第71，0100位起连续出现6个3；小数点后一千万位中，连续出现6个同一数字的有87次： 前六位有效数字314159是个素数，把它反过来（951413）还是素数；314159恰好是三个素数31、41、59连写而成，这三个素数的和，它们的立方和，以及五次方和也都是素数. （奇异美）,奇妙的幻图,“河出图，洛出书，圣人则之”（易系辞上 ） “传说伏羲氏时有龙马从黄河出现，背负河图；有神龟从洛水出现，背负洛书。伏羲根据这种图、书画成八卦，就是后来周易的来源。” （见上海辞书出版社1979年版辞海缩印本）,洛书今译（3阶幻方）,行和，列和，对角线和 相等幻和,1970年哈尔默斯（K.Holmes）、1997年巴尔博（E.J.Barbeau）将洛书幻方的一、三两行对调 则行逆序幂等 ； 列逆序幂等 ； 主对角线逆序幂等 主对角线另一逆序幂等； 副对角线二逆序幂等.,杨辉的九九图 （续与摘奇算法） 与41中心对称的两数之和为82（统一美）,将其中9个3阶幻方之幻和值写在九宫格中，构成一个3阶幻方，其元素是首项为111、末项是135的公差为3的等差数列如再将这些数按大小顺序的序号写在九宫格中，又恰好是“洛书”幻方 （和谐美，奇异美，逻辑美，思辨美）,形之美,和谐美：同曲率，全对称， 无始终，等光滑 统一美：周径比，周积性 毕达哥拉斯学派：“一切立体图形中最美的是球形，一切平面图形中最美的是圆形”,揭示数学美，领悟数学美,罗丹： “生活中并不缺少美，而是缺少发现美的眼睛。” “所谓大师，就是这样的人，他们用自己的眼睛去看别人见过的东西，在别人司空见惯的东西上能够发现出美来。”,教师在教学过程中，注意揭示数学内在的美， 学生在学习的过程中注意体会数学的美， 是培养学生学习数学兴趣的重要途径。 应当而且可以在感受、体会、领悟数学美的过程中，使得学生进一步喜欢数学，学好数学，用好数学，享受数学。,数学教学要给学生树立一些榜样,数学大师华罗庚小学时数学并不好 聪明在于学习 天才由于积累 “有些同志也许觉得我在数学方面有什么天才，其实从我身上是找不到这种天才的痕迹的。我读小学时，因为成绩不好就没有拿到毕业证书，只拿到一张修业证书。在初中一年级时，我的数学也是经常补考才及格的。但是说来奇怪，从初中二年级以后，就发生了一个根本转变，这就是因为我认识到既然,我的资质差些，就应该多用点时间来学习，别人只学一个小时，我就学两个小时，这样我的数学成绩就不断得到提高。一直到现在我也贯彻这个原则：别人看一篇东西要三小时，我就花三个半小时，经过长时间的劳动积累，就多少可以看出成绩来。并且在基本技巧烂熟以后往往能够一个钟头就能看完一篇人家看十天半月也看不透的文章。所以，前一段时间的加倍努力，在后一段时间内却收到预想不到的效果。是的，聪明在于学习，天才由于积累。” （1956年第7