2019版高考数学复习解析几何课时达标检测四十七圆锥曲线中的定点定值存在性问题.docx

课时达标检测(四十七）圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题一、全员必做题1已知椭圆1(ab0)的左、右焦点分别是F1，F2，上、下顶点分别是B1，B2，C是B1F2的中点，若2，且.(1)求椭圆的方程；(2)点Q是椭圆上任意一点，A1，A2分别是椭圆的左、右顶点，直线QA1，QA2与直线x分别交于E，F两点，试证：以EF为直径的圆与x轴交于定点，并求该定点的坐标解：(1)设F1(c,0)，F2(c,0)，B1(0，b)，则C.由题意得即即解得从而a24，故所求椭圆的方程为1.(2)证明：由(1)得A1(2,0)，A2(2,0)，设Q(x0，y0)，易知x02，则直线QA1的方程为y(x2)，与直线x的交点E的坐标为，直线QA2的方程为y(x2)，与直线x的交点F的坐标为，设以EF为直径的圆与x轴交于点H(m,0)，m，则HEHF，从而kHEkHF1，即1，即2，由1得y.所以由得m1，故以EF为直径的圆与x轴交于定点，且该定点的坐标为或.2(2018江苏省淮安市高三期中)如图，在平面直角坐标系xOy中，过椭圆C：y21的左顶点A作直线l，与椭圆C和y轴正半轴分别交于点P，Q.(1)若APPQ，求直线l的斜率；(2)过原点O作直线l的平行线，与椭圆C交于点M，N，求证：为定值解：(1)依题意，椭圆C的左顶点A(2,0)，设直线l的斜率为k(k0)，点P的横坐标为xP，则直线l的方程为yk(x2)又椭圆C：y21，由得，(4k21)x216k2x16k240，则2xP，从而xP.因为APPQ，所以xP1.所以1，解得k(负值已舍)(2)证明：设点N的横坐标为xN.结合(1)知，直线MN的方程为ykx.由得，x.从而，即证3.如图，椭圆长轴的端点为A，B，O为椭圆的中心，F为椭圆的右焦点，且1，|1.(1)求椭圆的标准方程；(2)记椭圆的上顶点为M，直线l交椭圆于P，Q两点，问：是否存在直线l，使点F恰为PQM的垂心，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由解：(1)设椭圆方程为1(ab0)，则c1，又(ac)(ac)a2c21.a22，b21，故椭圆的方程为y21.(2)假设存在直线l交椭圆于P，Q两点，且F恰为PQM的垂心，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(0,1)，F(1,0)，直线l的斜率k1.于是设直线l为yxm，由得3x24mx2m220，x1x2m，x1x2.x1(x21)y2(y11)0.又yixim(i1,2)，x1(x21)(x2m)(x1m1)0，即2x1x2(x1x2)(m1)m2m0.即2(m1)m2m0，解得m或m1，当m1时，M，P，Q三点不能构成三角形，不符合条件，故存在直线l，使点F恰为PQM的垂心，直线l的方程为yx.二、重点选做题1(2018淮阴中学模拟)如图，椭圆C：1(ab0)的顶点A1，A2，B1，B2，SA1B2A2B14，直线yx与圆O：x2y2b2相切(1)求椭圆C的离心率；(2)若P是椭圆C上除顶点外的任意点，直线A1P交y轴于点F，直线A1B1交B2P于点E.若设B2P的斜率为k，探究EF是否过定点？若有求出其定点，若没有，说明理由解：(1)因为直线yx与圆O相切，所以b，即b1，又因为SA1B2A2B14，所以2a2b4，所以a2，所以椭圆C的方程：y21，所以离心率e.(2)由(1)可知A1(2,0)，B1(0，1)，B2(0,1)，因为B2P的斜率为k，所以直线B2P的方程为ykx1，由得(14k2)x28kx0，其中xB20，所以xP，所以P，则直线A1P的斜率kA1P，直线A1P的方程为y(x2)，令x0，则y，即F，因为直线A1B1的方程为x2y20，由解得所以E，所以EF的斜率k0，所以直线EF的方程为yx，所以2k(xy1)(y1)0，所以可求定点为(2,1)，即直线EF是过定点(2,1)2已知椭圆M：1(ab0)的一个顶点坐标为(0,1)，离心率为，动直线yxm交椭圆M于不同的两点A，B，T(1,1)(1)求椭圆M的标准方程；(2)试问：TAB的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由解：(1)由题意得，b1，又a2b2c2，所以a，c1，椭圆M的标准方程为y21.(2)由得3x24mx2m220.由题意得，16m224(m21)0，即m230，所以m.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2，|AB|x1x2| .又由题意得，T(1,1)到直线yxm的距离d.假设TAB的面积存在最大值，则m0，STAB|AB|d.由基本不等式得，STAB，当且仅当m时取等号，而m(，0)(0，)，所以TAB面积的最大值为.故TAB的面积存在最大值，且当m时，TAB的面积取得最大值.三、冲刺满分题1(2018苏锡常镇一模)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆1(ab0)的焦距为2，离心率为，椭圆的右顶点为A.(1)求该椭圆的方程；(2)过点D(，)作直线PQ交椭圆于两个不同点P，Q，求证：直线AP，AQ的斜率之和为定值解：(1)由题意可知：椭圆1(ab0)，焦点在x轴上，2c2，c1，椭圆的离心率e，则a，b2a2c21，则椭圆的标准方程为y21.(2)证明：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，A(，0)，由题意PQ的方程：yk(x)，则整理得(2k21)x2(4k24k)x4k28k20，由根与系数的关系可知：x1x2，x1x2，则y1y2k(x1x2)2k2，则kAPkAQ，由y1x2y2x1k(x1)x2k(x2)x12kx1x2(k)(x1x2)，kAPkAQ1，直线AP，AQ的斜率之和为定值1.2如图，已知椭圆1的左焦点为F，过点F的直线交椭圆于A，B两点，线段AB的中点为G，AB的中垂线与x轴和y轴分别交于D，E两点(1)若点G的横坐标为，求直线AB的斜率；(2)记GFD的面积为S1，OED(O为原点)的面积为S2.试问：是否存在直线AB，使得S1S2？说明理由解：(1)由条件可得c2a2b21，故F点坐标为(1,0)依题意可知，直线AB的斜率存在，设其方程为yk(x1)，将其代入1，整理得(4k23)x28k2x4k2120.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以x1x2.故点G的横坐标为，解得k，故直线AB的斜率为或.(2)假设存在直线AB