2019版高考数学复习解析几何课时达标检测四十六圆锥曲线中的最值范围证明问题.docx

课时达标检测(四十六）圆锥曲线中的最值、范围、证明问题一、全员必做题1已知椭圆E：1(ab0)的一个焦点为F2(1,0)，且该椭圆过定点M.(1)求椭圆E的标准方程；(2)设点Q(2,0)，过点F2作直线l与椭圆E交于A，B两点，且，2，1，以QA，QB为邻边作平行四边形QACB，求对角线QC长度的最小值解：(1)由题易知c1，1，又a2b2c2，解得b21，a22，故椭圆E的标准方程为y21.(2)设直线l：xky1，由得(k22)y22ky10，4k24(k22)8(k21)0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则可得y1y2，y1y2.(x1x24，y1y2)，|2|216，由此可知，|2的大小与k2的取值有关由可得y1y2，(y1y20)从而，由2，1得，从而2，解得0k2.令t，则t，|28t228t1682，当t时，|QC|min2.2已知椭圆C：1(ab0)的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形(1)求椭圆C的标准方程；(2)设F为椭圆C的左焦点，T为直线x3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q.证明：OT平分线段PQ(其中O为坐标原点)解：(1)由已知可得解得a26，b22，所以椭圆C的标准方程是1.(2)证明：由(1)可得，F的坐标是(2,0)，设T点的坐标为(3，m)，则直线TF的斜率kTFm.当m0时，直线PQ的斜率kPQ，直线PQ的方程是xmy2.当m0时，直线PQ的方程是x2，也符合xmy2的形式设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立，得消去x，得(m23)y24my20，其判别式16m28(m23)0.所以y1y2，y1y2，x1x2m(y1y2)4.所以PQ的中点M的坐标为，所以直线OM的斜率kOM.又直线OT的斜率kOT，所以点M在直线OT上，因此OT平分线段PQ.3(2018南通模拟)已知中心在原点，焦点在y轴上的椭圆C，其上一点P到两个焦点F1，F2的距离之和为4，离心率为.(1)求椭圆C的方程；(2)若直线ykx1与曲线C交于A，B两点，求OAB面积的取值范围解：(1)设椭圆的标准方程为1(ab0)，由条件知，解得a2，c，b1，故椭圆C的方程为x21.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(k24)x22kx30，故x1x2，x1x2，设OAB的面积为S，由x1x20，知S1|x1x2|2，令k23t，知t3，S2.对函数yt(t3)，知y10，yt在t3，)上单调递增，t，0，0S.故OAB面积的取值范围为.二、重点选做题1(2018丹阳期初)过离心率为的椭圆C：1(ab0)的右焦点F(1,0)作直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，设|FA|FB|，T(2,0)(1)求椭圆C的方程；(2)若12，求ABT中AB边上中线长的取值范围解：(1)e ，c1，a，b1，即椭圆C的方程为：y21.(2)当直线的斜率为0时，显然不成立设直线l：xmy1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立得(m22)y22my10，则y1y2，y1y2，由|FA|FB|，得y1y2，2，m2，又AB边上的中线长为 | | .2(2018南京模拟)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，点(2,1)在椭圆C上(1)求椭圆C的方程；(2)设直线l与圆O：x2y22相切，与椭圆C相交于P，Q两点. 若直线l过椭圆C的右焦点F，求OPQ的面积；求证：OPOQ.解：(1)由题意，得，1，结合a2b2c2，解得a26，b23.所以椭圆的方程为1.(2)椭圆C的右焦点F(，0)显然切线的斜率存在，设切线方程为yk(x)，即kxyk0，所以，解得k，所以切线方程为y(x)由方程组解得或所以点P，Q的坐标分别为，所以|PQ|.因为O到直线PQ的距离为d，所以OPQ的面积为S|PQ|d. 由椭圆的对称性知，当切线方程为y(x)时，OPQ的面积也为.综上所述，OPQ的面积为.证明：()若直线PQ的斜率不存在，则直线PQ的方程为x或x.当x时，P(，)，Q(，)因为0，所以OPOQ.当x时，同理可得OPOQ.()若直线PQ的斜率存在，设直线PQ的方程为ykxm，即kxym0.因为直线与圆相切，所以，即m22k22.将直线PQ的方程代入椭圆方程，得(12k2)x24kmx2m260.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则有x1x2，x1x2.因为x1x2y1y2x1x2(kx1m)(kx2m)(1k2)x1x2km(x1x2)m2(1k2)kmm2.将m22k22代入上式可得0，所以OPOQ.综上所述，OPOQ.三、冲刺满分题1.已知椭圆C：1(0b2)的离心率为，与坐标轴不垂直且不过原点的直线l1与椭圆C相交于不同的两点A，B(如图所示)，过AB的中点M作垂直于l1的直线l2，设l2与椭圆C相交于不同的两点C，D，且.(1)求椭圆C的方程；(2)设原点O到直线l1的距离为d，求的最大值解：(1)依题意得，解得b21，所以椭圆C的方程为y21.(2)设直线l1：ykxm(k0，m0)，由得(14k2)x28kmx4m240，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则故M.l2：y，即yx.由得x2x40，设C(x3，y3)，D(x4，y4)，则x3x4，故N.故|MN|xMxN| .又d，所以.令tk21(t1)，则12(当且仅当t2时取等号)，所以的最大值为.2(2018苏州高三暑假测试)如图，已知椭圆O：y21的右焦点为F，点B，C分别是椭圆O的上、下顶点，点P是直线l：y2上的一个动点(与y轴交点除外)，直线PC交椭圆于另一点M.(1)当直线PM过椭圆的右焦点F时，求FBM的面积；(2)记直线BM，BP的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值；求的取值范围解：(1)由题意B(0,1)，C(0，1)，焦点F(，0)，当直线PM过椭圆的右焦点F时，则直线PM的方程为1，即yx1，联立，解得或(舍)，即M.连结BF，则直线BF：1，即xy0，而BFa2，点M到直线BF的距离d.故SMBFBFd2.(2)设P(