§6.3惟一决定分式线性映射的条.ppt

6.3 惟一决定分式线性映射的条件,一、三对对应点惟一决定分式线性映射,一个分式线性映射形式上有四个参数，,但四个参数中至少有一个不为零，,因此,只需分子分母同除以这个参数，,这样分,式线性映射只依赖于三个独立常数。,定理6.9,的点 ，,在 平面上，,任意给定三个相异,在 平面上，,也任意给定,则存在惟一的分,三个相异的点 ，,式线性映射将 分别映成 。,证略。,满足条件的分式线性映射为：,注：,若 或 中出现 ，,则在公式中将包含 的部分改为1即可。,例如，若 ，则上式变为：,求将 变到 的分式线性,映射。,解,由公式得,化简得,例1,由定理可以看出，,若在 平面及 平面的,的已知圆周 及 上，,分别选不同的三点,及 ，,则将,依次映射为 的分式线性映射，,就把圆周 映射为圆周 。,定理6.10,扩充 平面上任何一个圆周 ，,可以用一个分式线性映射映射为扩充 平,面上的任何一个圆周 。,注：本定理中的圆周包括直线。,下面说明当分式线性映射将圆周 映成圆,周 时，,的外部。,不可能将 的内部中一部分映成,的内部，,而 的内部中另一部分映成,设 为 内部的两点，,分别映成,，,且 在 外部， 在 内部。,将 用线段连接，,线段 映射为,圆弧 ，,则圆弧与 交于 ，,这样,就有两个不同的点被映射为 点，,一个,在圆周 上，另一个在线段 上，,这,样就与分式线性映射的一一对应性矛盾。,这样当分式线性映射将圆周 映成圆,周 时，,圆周 的内部或者映射为 的内,部，或者映射为 的外部。,在 内任取一点 ，,若 的像在 的,内部，,则 的内部就映射成 的内部；,反之，,则 的内部就映射成 的外部。,还可通过下面的方法来判断：,上任取三点 ，,在圆周,映射为 上的三点,在 上的绕向相同，,若 在 上的绕向与,则 的内部,就映射成 的内部，,反之映射成外部。,圆心分别在 与 ，,半径,均为 的两圆弧所围成的区域在,映射成什么区域？,解,例2,平面上两圆弧交点为i和-i，,因此两圆弧映射成两条从原点出发的射线。,如图,两圆弧在i处夹角为 ，,两圆弧与 轴正向夹角均为 ，,由于-i,O,i分别映射成O,-1, ，,综上，阴影部分被映射为以下角形区域。,如图,由于分式线性映射的保圆性，,因此它在处,理边界为圆周的区域映射上起很大作用。,下面介绍三类重要的分式线性映射：,（1）上半平面映射成上半平面,设分式线性映射,二、三类重要的分式线性映射,则该分式线性映射将 平面的实轴,映射为 平面的实轴 ，保持同向。,因此该映射将 平面实轴上三点,分别映射成 平面实轴上三点 ，,即旋转角为0，,则,均为实数，,由于,因此，当 时，,有 。,因此分式线性映射将 映为,的充分必要条件为,均为实数，且,。,例3,求出将上半平面 映射为,上半平面 ，,且将 映射成,映射。,解,设,，,由 得,由 得,因此,例4,求出将上半平面 映射为,上半平面 ，,且将 依次映射,为 的分式线性映射。,解,设,，,由 得,由 得 ，,即,由 得 ，,即,且满足 为实数，,。,本题也可用定理6.9解，略。,（2）上半平面映射成单位圆,由分式线性映射的保圆性知，,该映射必将,实轴 映射为单位圆的圆周 。,由于上半平面的某一点 映射为圆心,，,根据分式线性映射的保对称性，得,关于实轴的对称点 映射为 关于单位,圆的对称点 ，,因此所求的分式线性映射,具有下列形式：,当 取实数时， ，,因此,因此可取 ，,则所求分式线性映射的,一般形式为：,反之，上面的分式线性映射必将上半平面,映射为单位圆的内部。,注,如要确定,该映射中 可以任意取值，,，还需附加条件，,通常是指定实轴与单,位圆上的一组对应点，,。,或在 处的旋转角,例5,求一分式线性映射，将上半平面映射,成单位圆内部，,，且,（1）点 映射成 ；,（2） 。,解,由条件（1）可设,由条件（2）可得,即,因此,例6,求将上半平面 映射为单位圆,且满足条件 ，,的分式线性映射。,解,由条件 设,因为,则,得,因此,（3）单位圆映射成单位圆的分式线性映射,该映射将 平面上单位圆内的一点,映射为 平面单位圆圆心 ，,由保对称性,则：,因此,又由该映射将 映射到 上，则,由 ，得,可设,，,因此,反之，上面的分式线性映射必将单位圆内,部映射为单位圆的内部。,例7,求将单位圆映射成单位圆且满足,， 的分式线性映射。,解,由条件 设,可得,，,由于,则 为正实数，,从而 ；,因此所求的分式线性映射为：,例8,求将单位圆映射成单位圆且满足,， 的分式线性映射。,解,由条件 得,映射为 的圆心；,该映射将 关于 的对称点,则,，,即,，,因此设,又由,得,因此,则,三、杂例,例9,求将 映射成 且,满足条件 ，,的分式线性映射。,解,注意到 将 映,射为单位圆 ，,且满足 。,因此可将 先映射为 ，,再映,射为 ，,且,求 到 的映射，且,则,因此,求导得,则,即,由条件 ，,得,因此所求映射为,即,如图,例10,求将 映射成 且使,的分式线性映射。,解,令 ，,则可先将 映射,为 ，,再映射为 ，,且,由于已知 ，,则求,到 的映射较容易。,则,由 ，得,则 ，,即 ，,因此,。,例11,求区域 在映射,下的像域。,解,设,，,区域 的一条边界为,则 可化为,（1）,代入（1）式得,即,，,如图,区域 的另一条边界为,代入（1）式得,即,，,消去 即得,即,如图,在区域 的点,因此区域 映射为,如图,如图,例12,求将圆 映射成 平面上的,半平面 ，,且满足,，,的分式线性映射。,解,由 是 的圆心，,且,得 关于 的对称点 ，,被映射,为 关于 的对称点 ，,则,由公式得,解得,例13,求区