项分布与Poisson分布.ppt

,第六章二项分布 与Poisson分布,离散型随机变量概率分布: 二项分布、累积二项分布、超几何分布、负二项分布和泊松分布。最常用的概率分布，即二项分布和泊松分布,二项分布与Poisson分布及其应用 三种重要分布：正态分布 二项分布 Poisson分布,二 项 分 布,定义：在n次独立实验中，每次有两个对立的结果(如阳性或阴性，生存或死亡），其中某种阳性或阴性发生数X所服从的概率分布称为二项分布(binomial distrbution)。,成败型试验：成功次数的概率分布呈二项分布. 故,构成Bernoulli Test序列中的n次试验中,事件A出现的次数的概率分布为：P(X=k)=(kn)k(1-)n-k 其中k=0，1，n。,上式是二项式 +（1- ）n 展开式的各 项，所以此分布为二项分布。 n、 是二个参数。 若一个随机变量X,其取值是0，1，n。则相应取值概率为： P(X=k)=(kn)k(1-)n-k 所以， X服从以n、 为参数的二项 分布。记为：XB(n、 ).,二项分布的均数与方差 若XB(n、)，则 X的均数 x=n X的方差2x= n(1-) X的标准差x = n(1-) 例：已知=0.6 3只鼠中死亡鼠数X的 总体均数x=n=30.6=1.8(只) 总体方差2x= n(1-)= 30.6(1-0.6)=0.72 (只) 总体标准差x = n(1-) = 30.6(1-0.6) = 0.72 =0.85 (只),条件： (1)总体中各观察单位具有互相对立的一种结果(“成功”或“失败”) (2)已知发生某一结果的概率为，则对立结果的概率为1-。出现“成功”的概率p对每一次试验是相同的，“失败”的概率q也不变，且p+ql。 (3) n个观察单位的观察结果相互独立，即每个观察单位结果不会影响其他观察单位的结果,例题,例：用淋菌培养方法，检查患者是否患有淋病。对于淋病患者，若用该方法检查一次的检出率为0.8，问： 1)重复检查3次，检查结果均为阴性的概率是多少？ P= (1-0.8)3 =0.008 2)重复检查3次，检查结果中最少是阳性的概率是多少？ P = 1-(1-0.8)3 =0.992 3) 检查4个患者，每人检查一次，第一个患者和第二个患者为阳性且其他均为阴性的概率是多少？ P= 0.820.22 =0.0256,如果研究背景满足下列条件： 1)每次试验的可能结果(Outcome)仅为两种(视为成功或失败，在上例中阳性或阴性)。 2)定义试验中其中一个可能的结果成功，另一种可能的结果为失败(在上例中把检查结果为阳性可视为成功，检查结果为阴性为失败)。 3)每次试验的条件相同。每次试验成功的概率为，失败的概率为1-(在上例中把检出阳性的概率为0.8，检查阴性的概率1-为=0.2) 4)试验次数为n(上例中n=4)。,则在n次试验中，有X次成功的概率(在上例 中，4个患者检查，即: n=4;有x个患者为阳性的)为：,并记为XB(n,),二项分布图形,平均发生率P的均数和标准差: 平均发生率对应的总体均数为 标准误为 对应的样本标准误为,例：某医院治疗了50个HP的患者，35个患者转阴，请计算样本转阴率和样本标准误(把治疗一个HP患者视为一次试验，治疗50个患者，视为50次试验，把患者通过治疗后转阴的结果视为试验成功)。 转阴率 转阴率的标准误,二项分布的应用,一、总体率可信区间估计： 1、大样本时，二项分布的总体发生率的95%可信区间（设X服从二项分布B(n,)，n5以及n(1-)5，当n充分大时 ）则的95可信区间(95%CI)为,例：调查了1000名男性，检查出10名男性是色盲的，试求色盲患病率的95可信区间。 色盲样本患病率 ，n=1000。因此nP与n(1-P)均大于5以及n也充分大 所以95CI为：(0.01-1.960.003146，0.01+1.960.003146)=(0.003834，0.016166),2、样本量较小时，计算比较复杂，因此建议查本书附表 6 (P709) 例：治疗25个HP患者，12个患者转阴，求转阴率的95可信区间: 解：n=25，X12，查附表6，95%CI=(0.28，0.69) 例：某医院抢救20个AMI患者，14个抢救成功，求抢救成功率的95%CI。 解：由于X仅列出n/2的可信区间，不能直接查表求95CI。本例n=20，6个抢救未成功，故可查未成功率1-的95%CI为： 0.12-1-0.54，所以0.88=1-0.121-0.54=0.46，即：95CI为(0.46，0.88)。,二、分类资料的假设检验 1、样本率与总体率的比较 总体率（0）一般为标准值(或经过大量观察所得到的稳定值)，比较目的 是推断实验所得某个样本率所代表的总体率是否是来自0总体的一个样本。(即检验假设为H0：=0是否成立),1）X服从二项分布，总体发生率为，并且 且 ，且n40，则,例：用传统的治疗方案治疗HP患者的治愈率为0.8。某研究用一种新的治疗方案治疗了100个HP患者，治愈了90个，问：用新的治疗方案的治愈率是否高于传统的治疗方案？ H0：新的治疗方案的总体治愈率=0.8； H1: 0.8 =0.05 （单侧） 且 且n=10040，故可用正态分布进行近似。 U U0.05=1.64, 差别有统计意义，P0.05 结论：新的治疗方案的治愈率高于传统治疗方案的治愈率，差别有统计意义，P0.05,2）小样本时，样本率P与总体率的比较（直接计算） 例：根据以往经验，一般的溃疡病患者的人群HP的患病率为30%。某医院在某社区随机检查了10名25岁以下的溃疡病患者，有1个溃疡病患者的HP。问：该地溃疡病患者的HP率是否低于30？ =0.30,P(1)=0.121061，P(0) =0.028248 P小于等于1的概率为P(1) +P(0) =0.1493090.05,2两个随机样本率的比较 当n足够大，n1p1,n1(1-p1),n2p2,n2(1-p2)均大于5时,P综合阳性率=(X1+X2)/n Q 综合阴性率=1-P,例：对从事工农业生产高血压患病率(50岁以上男性)的研究，调查了首钢工人1281人、高血压患者386人，患病率30.13%；石景山区农民387人，血压血患者65人，患病率为16.80%，试问从事工农业生产的男性患病率有无差别。 H0：1 =2 =0.05 P=（386+65）/ 1668=0.2704, 拒绝H0，差别有极显著意义,Poisson分布,在医学上研究中，经常需要研究某一事件在一定的时间（空间）内发生的次数（稀有事件） 变量X表示某一个事件在固定的一段时间内随机发生的次数。如果X的总体平均发生次数为，则该事件发生k次的概率为： x=0，1，2，3。,例：某市平均交通事故3起/天。问：一天内发生2起或2起以下的交通事故的概率是多少？ 解：总体均数3，因此一天内发生2起或2起以下的交通事故的概率为,Poisson分布的特征： 一、 Poisson分布的总体均数和方差。 可以证明：Poisson分布的总体均数总体方差. 二、Poisson分布的可加性(再生性)。如果变量X服从总体均数为1的Poisson分布，变量Y服从总体均数为2的Poisson分布，且X与Y独立，则XY服从总体均数为12的Poisson分布 三、Poisson分布的图形(P100)，特征X越靠近 ()，概率越大，越大，Poisson分布对称性越好，当 相当大时，Poisson分布近似正态分布,二项分布与Poisson分布的关系: 当二项分布资料中n较大时，而且发生的次数非常稀少时(发生率很小)，二项分布的概率计算可以用Poisson分布公式近似。一般而言，稀有病例的发病例数在相同的时段内可以近似认为服从Poisson分布。 例：已知饮用井水人群的肝癌的患病率为0.003。请问现在某地调查了20000个饮用井水的人，患肝癌的人数为9人的概率是多少,则P(X=9)的概率,计算较难,Poisson分布的应用： 一、Poisson总体均数的估计及其95%可信区间计算 ： 较小时，可查附表 7 (P714) 当50时，可以用近似正态的方法计算可信区间:,Poisson分布的样本均数与总体均数的比较 1、直接计算P值 已知在培养液中，每毫升平均有3个细菌数，今采集放在5。C冰箱中的1毫升培养液测得细菌数5个，能否说培养液中细菌数有增长？ H0：3/ml vs H1：3/ml 样本值X5，对应的概率,P(X5)值=1 - P(4) - P(3) - P(2) - P(1) -P(0) = 1 - 0.1494-0.2240-0.2240-0.1680 -0.0498 =0.18470.05,2、正态近似法： 当0 20时，H0成立时， 服从标准正态分布 例：已知人群的肝癌的患病率为0.03%，调查了10万个饮用灌溉沟水的人，共有50人患肝癌，问：饮用灌溉沟水的人的肝癌患病率是否高于0.03%？ 0=n0=1000000.0003=3020 H0:=30 vs H1: 30 =0.05 （单）,1.65，故可以认为：饮用灌溉沟水的人肝癌患病率高于一般。,Poisson分布的两个样本均数比较的U检验