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文档简介

2-3 无穷小量与微分,1. 无穷小量的概念,简单地说：以零为极限的变量称为无穷小量.,那么称函数 为当 时的无穷小量.,特别地，以零为极限的序列 称为 时的 无 穷小量.,例如,无穷小量的比较:,都是无穷小,引例 .,但,可见无穷小量趋于 0 的速度是多样的 .,定义.,若,若,若,若,若,或,记作,则称 是比 低阶的无穷小量;,则称 与 为同阶无穷小量;,则称 是关于 的 k 阶无穷小量;,则称 是 的等价无穷小量,例 1,例 2,因为,所以,故,时,是关于 x 的二阶无穷小量,且,例 3,设 , 对同一自变量的变化过程为无穷小, 且, 是 的高阶无穷小, 是 的低阶无穷小, 是 的同阶无穷小, 是 的等价无穷小, 是 的 k 阶无穷小,无穷小的比较小结,无穷小量与无穷大量的关系,若,为无穷大量,为无穷小量;,若,为无穷小量, 且,则,则,(自证),当 时，,为无穷大量.,据此结论 , 关于无穷大量的问题都可转化为 无穷小量来讨论.,说明:,2. 微分的概念,我们考察量,这时，当 时 也是无穷小量.,于是得到,可以写成,由此可见，当 很小时， 可以用 近似地代替.,以上是在 在 点可导的条件下进行讨论的 .,如果,不考虑可导这个条件，,即，当 在 点可导时，函数值的改变量,何时 在 处的改变量可以写成,其中 为常数.,根据前面的讨论，当 在 点可导时，上式成,立，且,反过来，假定上式成立，上式两边同除以 ，并令,取极限，得,可见，函数 在 可导，且,定义:,的微分,( A 为不依赖于x 的常数),则称函数,而 称为,记作,即,函数,在点 可微的充要条件是,即,在点,可微,微分是函数改变量的线性主要部分.,微分概念的意义：,关于 的线性主部,因此，当 很小时，,因此,例 6,例 7,导数也叫作微商微分之商,微分的求法,基本初等函数的微分
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