大学物理刚体运动学.ppt

1,1. 刚体运动学,1.1 刚体的平动和转动 (1) 刚体、刚体的平动 刚体：无论在多大的外力作用下，总是保持其形状、大小不变，理想化的模型。 (2) 刚体的平动,刚体内任何一条给定的直线,在运动中始终保持它的方向不变。,各质点具有相同的速度和加速度，所以刚体平动时任何一点的运动都可代表整个刚体的运动。,刚体的平动时可看成质点。,2,(3)刚体的转动,刚体中各点都绕同一直线(转轴)作圆周运动. 转轴固定不动,称为定轴转动.,P为刚体上一质点，在转动平面内绕0点作圆周运动。,0,d,dt,K,d,转动平面：任取一垂直于转轴的平面,(4)转动运动学的物理量,再任取一点K，在同一个dt内，也转过同样的d角。,所以：刚体中任何其它质点都具有相同的，,3,即(， )三量具有普遍性。知一点的(， )，可知整个刚体的运动。,故用(,）描写刚体的转动。,所以：定轴转动刚体中任何其它质点都具有相同的，,4,0,转轴,P,1.2 角速度矢量,5,例：一刚体以每分钟60转绕z轴做匀速运动, ( 沿z轴正方向)，设某时刻刚体上一点P 的位置矢量为： （单位为“10-2m”），若以“10-2ms-1”为单位，则该时刻P点的速度为：,解：,还可解行列式,6,(1)求角加速度 和飞轮从制动开始到静止所转过的转数N； (2)求制动开始后t = 25s 时飞轮的角速度 ；,解(1)初角速度为0 =21500/60=50 rad/s，方向如图,刚体运动学综合例题: 一飞轮转速n =1500r/min，受到制动后均匀地减速，经t =50 s后静止。,从开始制动到静止，飞轮的角位移 及转数N分别为,对于匀变速转动，应用以角量表示的运动方程， 在t=50s 时刻 =0，代入方程 =0+ t 得,(2)t=25s 时飞轮的角速度为,的方向与0相同；,7,对轴的角动量和对轴的力矩, 矢量代数的一般处理方式：在具体的坐标系中，角动量（或 力矩）在各坐标轴的分量，就叫对轴的角动量（或力矩）。,Lz ：质点对z轴的角动量,Mz ：质点对z 轴的力矩,P63,8,求力对z 轴的力矩Mz的(教材)简化步骤：,结论：z轴转动平面内的分量的运算就是对z轴的力矩,第2步，认定位矢和力在转动平面内的分量,第3步，算出力对z轴的力矩.,第1步，通过质点画z轴转动平面（过质点垂直转轴的平面，即过质点的xy平面）,9,2.1力对转轴的力矩. (1)外力在垂直于转轴的平面内。,如果：,2 转动定理 转动惯量（刚体动力学）,10,(2) 外力不在垂直于转轴的平面内,P,P63 结论：z轴转动平面内的分量的运算就是对z轴的力矩。,11,2.2 转动定理,合外力矩M,合内力矩=0,12,M=I 转动定理,定轴转动定理（律）在转动问题中的地位相当于平动时的牛顿第二定律,13,例:几个力同时作用在一个具有光滑固定转轴的刚体上， 如果这几个力的矢量和为零，则此刚体 (A) 必然不会转动 (B) 转速必然不变 (C) 转速必然改变 (D) 转速可能不变，也可能改变,答案：( ),D,参考解答：在应用转动定律M=I 时应注意M是合外力矩，是外力力矩之和，而不是合外力的力矩。几个力的矢量和为零，有合外力矩也为零或不为零的两种情况，所以定轴转动的刚体其转速可能不变，也可能改变。,例:一个有固定轴的刚体，受到两个力的作用。当这两个力的合力为零时，它们对轴的合力矩也一定为零吗？举例说明之。,答: 并不是一定为零。 如汽车的方向盘可绕垂直于转盘且过盘中心的定轴转动。当驾驶员用两手操纵方向盘时，就可在盘的左右两侧加上方向相反、大小相等的两个力。对转盘而言，合外力为零，但这两个力的力矩大小相等，方向一致，故合力矩不为零。,14,dm质元的质量,r 质元到转轴的距离,刚体的质量可认为是连续分布的，所以上式可写成积分形式,按转动惯量的定义有,2.3 转动惯量的计算,转动惯量是转动中惯性大小的量度。,质量是平动中惯性大小的量度。,类比：,平动：一维直线运动,转动：定轴转动,15,注意：转动惯量与质量有关，与运动速度无关。 质量一定时,与质量的分布有关，并且与转轴的位置有关。 转动惯量计算：,例：,m,m,m,d,d,d,A,0,三个质点m组成一个正三角形刚体结构。求IA、I0 。,叠加原理,与转轴的位置有关。,16,(2) 转轴过顶端,与棒垂直,x,取dx：,转动惯量与转轴的位置有关,0,例：细棒质量m,均匀分布,长l,(1) 转轴过中心,与棒垂直.,x,0,dx,x,取dx：,质量连续分布：,17,平行轴定理：,d 两平行轴之间的距离。,例：均匀薄圆盘，转轴过中心与盘面垂直，求I0 。,r,0,r,dr,取半径为r，宽为dr的圆环,18,（ m2 m1 ）,T2,a,T1,m1g,a,又，绳与轮间无滑动，滑轮边缘的切向加速度R,和物体的加速度相等.,例：如图所示,滑轮质量m,半径R (注意:在中学里 一般滑轮质量略去不计）求：物体的加速度和绳的张力。,19,例: 一半径为R，质量为m匀质圆盘，平放在粗糙的水平桌面上。设盘与桌面间摩擦系数为，令圆盘最初以角速度0 绕通过中心且垂直盘面的轴旋转，问它经过多少时间才停止转动？,解：由于摩擦力不是集中作用于某一点，而是分布在整个圆盘与桌子的接触面上，其力矩的计算要用积分法。,质元,圆盘所受阻力矩,如图，把圆盘分成许多如图的质元，每个质元的质量为dm， dm= dV= rddre，(e是盘的厚度) 所受到的阻力矩dM=rdmg。,阻力矩向下，与0方向相反！,20,也可以把圆盘分成许多圆环形质元，每个质元的质量dm= dV= 2rdre，所受到的阻力矩是rdmg 。,因m=eR2，代入得,根据定轴转动定律，阻力矩使圆盘减速，即获得负的角加速度.,设圆盘经过时间t 停止转动，则有,由此求得：,21,例：均质矩形薄板绕竖直边转动，初始角速度为0，转动时受到空气的阻力阻力垂直于板面，每一小面积所受阻力的大小与其面积及速度的平方的乘积成正比，比例常数为k试计算经过多少时间，薄板角速度减为原来的一半设薄板竖直边长为b，宽为a，薄板质量为m,解 在板上距离转轴为r处取一长度为b，宽度 为dr的面积元，其面积为dS = bdr,当板的角速度 时，面积元的速率为 v = r,所受的阻力为 df = kv2dS = k2r2bdr， 阻力产生的力矩为 dM = rdf = k2r3bdr，,因此合力矩为,其角加速度为,负号表示角加速度的方向与角速度的方向相反.,注意：,不成立！？,22,由于 = d /dt，可得转动的微分方程,分离变量得,积分得,当t = 0时， = 0，所以C = -1/0，因此得：,当 = 0/2时，解得时间为 ：,23,3 刚体的动能与势能,整个刚体的转动动能等于各质点动能之和。,刚体的转动动能,3.1 刚体的转动动能,24,(1)力矩的功,外力矩,刚体从角位移12时， 外力矩M所作的功。,3.2 定轴转动的动能定理,25,合外力矩对定轴转动刚体所作的功等于其转动动能的增量。,(2)定轴转动的动能定理,26,解：当棒摆到如图所示位置时，,例：如图：均匀细棒（m、l ），水平开始下摆，到竖直位置时，中心点C和端点A的速度各为多少？,再问：水平位置和竖直位置棒的角加速度各为多少?,下摆d，,任取一中间过程,27,3.3 刚体的重力势能,x,0,h(y),m,c,.,刚体势能的计算:把刚体的质量看成集中于质心,计算质心势能即可.,28,3.4 刚体系统的功能原理,A外力 +A非保守内力=（Ek2 +Ep2 ）（Ek1 +Ep1）,系统外力与非保守内力作功之和等于系统机械能的增量功能原理,3.5 机械能守恒定律,系统机械能守恒.,平动动能+转动动能+重力势能+弹性势能=恒量,如上例：棒定轴转动，只有保守力(重力)作功，机械能守恒。,水平，机械能：mgh （注意势能零点的选择）,竖直，机械能：,机械能守恒：,29,例: 质量m1，半径为R 的定滑轮（当作均质圆盘）上绕一轻绳，绳的一端固定在滑轮上，另一端挂一质量为m2的物体而下垂，如图所示。忽略轴处摩擦，求物体m2由静止下落h高度时的速度。,解 将滑轮、物体、绳和地球视为一个系统，根据机械能守恒定律,30,1. 刚体的角动量,4.4 刚体角动量和角动量守恒定律,刚体为特殊质点系，质点系对轴线的角动量定理（2.43）,可直接应用于刚体，略去下标z，写成,刚体所受对某给定轴 的合外力矩等于刚体对该轴 的角动量对时间的变化率。,P63,31,2.角动量(动量矩)定理,动量定理:,设想:角动量定理:,32,3. 角动量守恒定律,刚体所受的合外力矩等于零时,刚体的角动量保持不变.,33,例：如图所示,球棒,完全弹性碰撞.求小球的回跳速度v, 棒的角速度 。,.,0,解: 小球：动量定理 (向上为正)：,细棒：角动量定理(方向以为正)：,球,棒系统,弹性碰撞,动能守恒：,问题：公式（3）的物理意义？,另解:棒球系统,碰撞过程角动量守恒.,平面,34,解:完全非弹性碰撞,外力:重力,轴的支承力,对转轴的力矩为零,角动量守恒.,碰后瞬间：设棒和枪弹开始一起运动时的角速度为,角动量守恒：,例：均匀细杆长 L 质量M ,可绕A端的水平轴自由转动,在杆自由下垂时,质量为m的枪弹沿水平方向射进杆的P点.并使杆摆动,摆动的最大偏转角为,已知AP长为l ,求枪弹射入之前的速度v.,常见错误：,叠加原理,35,此后，棒和枪弹一起以运动，机械能守恒。,枪弹射入后,棒和枪弹系统的质心位置rc：,竖直，机械能：,最大偏转角 处,机械能：,例：均匀细杆长 L 质量M ,可绕A端的水平轴自由转动,在杆自由下垂时,质量为m的枪弹沿水平方向射进杆的P点.并使杆摆动,摆动的最大偏转角为,已知AP长为l ,求枪弹射入之前的速度v.,36,例:工程上，两飞轮常用摩擦啮合器使它们以相同的转速一起转动。如图所示，A和B两飞轮的轴杆在同一中心线上，A轮的转动惯量为IA=10kgm2，B的转动惯量为IB=20kgm2 。开始时A轮的转速为600r/min，B轮静止。C为摩擦啮合器。求两轮啮合后的转速；在啮合过程中，两轮的机械能有何变化？,37,解：以飞轮A、B和啮合器C作为一系统来考虑，在啮合过程中，系统受到轴向的正压力和啮合器间的切向摩擦力，前者对转轴的力矩为零，后者对转轴有力矩，但为系统的内力矩。系统没有受到其他外力矩，所以系统的角动量守恒。按角动量守恒定律可得,为两轮啮合后共同转动的角速度,以各量的数值代入得,或共同转速为,在啮合过程中，摩擦力矩作功，所以机械能不守恒，部分机械能将转化为热量，损失的机械能为,38,例: 均质圆轮A的质量为M1，半径为R1，以角速度绕OA杆的A端转动，此时，将其放置在另一质量为M2的均质圆轮B上，B轮的半径为R2B轮原来静止，但可绕其几何中心轴自由转动放置后，A轮的重量由B轮支持略去轴承的摩擦与杆OA的重量，并设两轮间的摩擦因素为，问自A轮放在B轮上到两轮间没有相对滑动为止，需要经过多长时间？,解 圆轮A对B的压力为 N = M1g， 两轮之间的摩擦力大小为 f = N = M1g， 摩擦力对A的力矩大小为MA = fR1 = M1gR1，,摩擦力对B的力矩大小为MB = fR2 = M1gR2,设A和B的角加速度大小分别为A和B，转动惯量分别为IA和IB，根据转动定律得方程,MA = IA A，即 A = MA /IA,同理可得 B = MB/IB,当两轮没有相对滑动时，它们就具有相同的线速度v， A的角速度为 A = v/R1，,B的角速度为 B = v/R2,根据转动运动学的公式得,A = At， B = Bt，,得 R1 =