《极值问题》PPT课件.ppt

函数的极值和极值点,定义:,在其中当,时,(1),则称 为 的极大点 ,称 为函数的极大值 ;,(2),则称 为 的极小点 ,称 为函数的极小值 .,极大点与极小点统称为极值点 .,4-5 极值问题,注意:,为极大点,为极小点,不是极值点,2) 对常见函数, 极值可能出现在导数为 0 或 不存在的点.,1) 函数的极值是函数的局部性质.,例如,为极大点 ,是极大值,是极小值,为极小点 ,定理 1（必要条件）,证,则,证毕,定理1也称费马定理 .,稳定点（临界点, 驻点） 使导数等于零的点,称为驻点,或稳定点.,考察x=0是否是函数y=x3的稳 定点? 是否是函数的极值点?,定理表明:对于可导函数而言 ，极值点的必要条件是函数在该点的导数为零，几何上，曲线上极值点所对应的点的切线平行于x轴.但反过来导数为零的点，不一定是极值点.,为极大点,为极小点,不是极值点,(极值第一判别法),且在空心邻域,内有导数,(自证),点击图中任意处动画播放暂停,若导函数在一稳定点之两側改变 其符号，则该稳定点必为极值点。,确定极值点和极值的步骤,(1)求出导数f (x); (2)求出f(x)的全部稳定点和不可导点; (3)考察每个稳定点和不可导点, 确定出函数的 所有极值点和极值.,例1. 求函数,的极值 .,解,1) 求导数,2) 求极值可疑点,令,得,令,得,3) 列表判别,是极大点，,其极大值为,是极小点，,其极小值为,定理2(充分条件),设函数 在区间 内有一阶导数， 是它的一个稳定点, 且 在 有二阶导数,若,则 为极大值点.,则 为极小值点.,证,用局部泰勒公式证明,应注意的问题： 如果f (x0)0 f (x0)0 则定理2 不能应用 但不能由此说明f (x0)不是f (x)的极值.,讨论： 函数f(x)x4 g(x)x3在点x0是否有极值？,推广,补例. 求函数,的极值 .,解: 1) 求导数,2) 求驻点,令,得驻点,3) 判别,因,故 为极小值 ;,又,故需用第一判别法判别.,例 2 研究 的极值点.,解,1) 求导数,2) 求稳定点,令,得稳定点：,3) 判别,因,根据定理2，,闭区间上的连续函数其最大值和最小值只可能在区间的端点及区间内的极值点处取得. 函数在闭区间a b上的最大值一定是函数的所有极大值和函数在区间端点的函数值中的最大者; 其最小值一定是函数的所有极小值和函数在区间端点的函数值中的最小者,极值与最值的关系,最大值和最小值的求法 (1)求出函数f(x)在(a b)内的驻点和不可导点 设这此点为x1 x2 xn; (2)计算函数值 f(a) f(x1) f(xn) f(b) ; (3)判断: 最大者是函数f(x)在a b上的最大值 最小者是函数f(x)在a b上的最小值,特殊情况下的最大值与最小值 如果 f(x)在一个区间(有限或无限 开或闭)内可导且只有 一个极值点 x0 那么 当f(x0)是极大值时 f(x0)就是f(x)在该区间上的最大值 当f(x0)是极小值时 f(x0)就是f(x)在该区间上的最小值,特别:,当 在 内只有一个极值可疑点时,当 在 上单调时,最值必在端点处达到.,若在此点取极大 值 , 则也是最大 值 .,(小),对应用问题 , 有时可根据实际意义判别求出的,可疑点是否为最大 值点或最小值点 .,(小),( k 为某一常数 ),补例 铁路上 AB 段的距离为100 km , 工厂C 距 A 处20,AC AB ,要在 AB 线上选定一点 D 向工厂修一条,已知铁路与公路每公里货运价之比为 3:5 ,为使货,D 点应如何选取?,解 设,则,令,得,又,所以 为唯一的,极小点 ,故 AD =15 km 时运费最省 .,总运费,物从B 运到工厂C 的运费最省,从而为最小点 ,问,Km ,公路,（目标函数）,清楚(视角 最大) ?,观察者的眼睛1.8 m ,例2. 一张 1.4 m 高的图片挂在墙上 , 它的底边高于,解: 设观察者与墙的距离为 x m ,则,令,得驻点,根据问题的实际意义, 观察者最佳站位存在 ,唯一,驻点又,因此观察者站在距离墙 2.4 m 处看图最清楚 .,问观察者在距墙多远处看图才最,例3 （光的折射定律）设有甲、乙两种介质，其交界面 为一平面.假设光自甲种介质中之A点发出经过两种介质的 交界面而达到介质中的B点.从物理学上我们知道光所走的 路径一定满足折射定律：,解,作垂直于两种介质交界面的、且包,含A，B 两点的平面，并在此平面上取定 坐标系，使A 点落在y轴上，而交界线与 x轴重合.假定A 至交界面的距离为a,而B至,交界面的距离为b,B 在x轴上的垂足C至o 的距离为d .,（目标函数）,由实际意义可知 , 所求最小值存在 ,稳定点只一个，,则,这恰好是折射定律的结论.,注：对应用问题 , 根据实际意义，最大（小）值存在；且求 的稳定点是惟一的，不用判别就可知稳定点就是最大（小）值 点.稳定点的函数值就是最大（小）值.,内容小结,1. 连续函数的极值,(1) 极值可疑点 :,使导数为0 或不存在的点,(2) 第一充分条件,过,由正变负,为极大值,过,由负变正,为极小值,(3) 第二充分条件,为极大值,为极小值,(4) 判别法的推广,最值点应在极值点和边界点上找 ;,应用题可根据问题的实际意义判别 .,思考与练习,2. 连续函数的最值,1. 设,则在点 a 处( ).,的导数存在 ,取得极大值 ;,取得极小值;,的