天津2020版高考数学复习11.1随机事件与古典概型精练.docx

11.1随机事件与古典概型【真题典例】挖命题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点1.事件与概率1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性,了解概率的意义,了解频率与概率的区别2.了解两个互斥事件的概率加法公式2016天津文,2互斥事件的概率加法公式互斥事件、相互独立事件2.古典概型1.理解古典概型及其概率计算公式2.会计算随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率2018天津文,152017天津文,32015天津文,152014天津文,15古典概型的应用列举法计算随机事件所含基本事件数分析解读一、事件与概率1.了解随机事件的发生存在的规律性和随机事件概率的意义.2.了解等可能事件概率的意义,会用排列、组合的基本公式计算一些等可能事件的概率.3.用互斥事件的概率公式计算事件的概率是高考的热点.二、古典概型在古典概型条件下,能用事件的概率公式解决实际问题.本节在高考中单独命题时,通常以选择题、填空题的形式出现,分值约为5分,属于中低档题.随机事件、古典概型与随机变量的分布列、期望与方差等综合在一起考查时,一般以解答题的形式出现,分值约为13分,属于中档题.破考点【考点集训】考点一事件与概率1.(2018课标文,5,5分)从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务,则选中的2人都是女同学的概率为()A.0.6B.0.5C.0.4D.0.3答案D2.近年来共享单车在我国主要城市发展迅速.目前市场上有多种类型的共享单车,有关部门对其中三种品牌共享单车(M、Y、F)进行统计(统计对象年龄在1555岁),相关数据如表1,表2所示.三种品牌共享单车使用人群年龄所占百分比(表1)品牌年龄分组MYF15,25)25%20%35%25,35)50%55%25%35,45)20%20%20%45,555%a%20%不同性别选择共享单车种类情况统计(表2)性别使用单车种类数(种)男女120%50%235%40%345%10%(1)根据表1估算出使用Y品牌共享单车人群的平均年龄;(2)若从统计对象中随机选取男女各一人,试估计男性使用共享单车种类数大于女性使用共享单车种类数的概率;(3)有一个年龄在2535岁之间的共享单车用户,他使用Y品牌共享单车出行的概率最大,使用F品牌共享单车出行的概率最小.试问此说法是否正确?(只需写出结论)解析(1)a=5.由表1知使用Y品牌共享单车人群的平均年龄的估计值为2020%+3055%+4020%+505%=31.答:使用Y品牌共享单车人群的平均年龄约为31岁.(2)设事件Ai为“男性选择i种共享单车”,i=1,2,3,设事件Bi为“女性选择i种共享单车”,i=1,2,3,设事件E为“男性使用共享单车种类数大于女性使用共享单车种类数”.由题意知,E=A2B1A3B1A3B2,因此P(E)=P(A2B1)+P(A3B1)+P(A3B2)=0.58.答:男性使用共享单车种类数大于女性使用共享单车种类数的概率为0.58.(3)此说法不正确.思路分析(1)先利用表格中的相关数据求出a,再利用均值公式得出结果;(2)把所求事件分解成几个互斥事件,利用互斥事件概率的加法公式求概率;(3)利用概率的定义判断正误.方法点拨求随机事件的概率时,要抓住事件之间的关系,把所求事件进行分解,利用概率的加法公式和乘法公式求概率.考点二古典概型3.(2018课标,8,5分)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如30=7+23.在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是()A.112B.114C.115D.118答案C4.某校高三年级共有学生195人,其中女生105人,男生90人.现采用按性别分层抽样的方法,从中抽取13人进行问卷调查.设其中某项问题的选择为“同意”“不同意”两种,且每人都做了一种选择.下面表格中提供了被调查人答卷情况的部分信息.同意不同意合计女学生4男学生2(1)完成上述统计表;(2)根据上表的数据估计高三年级学生对该项问题选择“同意”的人数;(3)从被抽取的女生中随机选取2人进行访谈,求选取的2名女生中至少有一人选择“同意”的概率.解析(1)统计表如下:同意不同意合计女学生437男学生426(2)估计高三年级学生该项问题选择“同意”的人数为47105+4690=60+60=120.(3)设选择“同意”的4名女生分别为A1,A2,A3,A4,选择“不同意”的3名女生分别为B1,B2,B3.从7人中随机选出2人的情况有A1A2,A1A3,A1A4,A1B1,A1B2,A1B3,A2A3,A2A4,A2B1,A2B2,A2B3,A3A4,A3B1,A3B2,A3B3,A4B1,A4B2,A4B3,B1B2,B1B3,B2B3,共21种.其中2人都选择“不同意”的情况有B1B2,B1B3,B2B3,共3种.设“2名女生中至少有一人选择同意”为事件M,所以P(M)=1-321=67.炼技法【方法集训】方法1随机事件的频率与概率的常见类型及解题策略1.(2014陕西,6,5分)从正方形四个顶点及其中心这5个点中,任取2个点,则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为()A.15B.25C.35D.45答案C2.(2016课标,18,12分)某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:上年度出险次数012345保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下:一年内出险次数012345概率0.300.150.200.200.100.05(1)求该续保人本年度的保费高于基本保费的概率;(2)若该续保人本年度的保费高于基本保费,求其保费比基本保费高出60%的概率;(3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.解析(1)设A表示事件:“该续保人本年度的保费高于基本保费”,则事件A发生当且仅当一年内出险次数大于1,故P(A)=0.2+0.2+0.1+0.05=0.55.(3分)(2)设B表示事件:“该续保人本年度的保费比基本保费高出60%”,则事件B发生当且仅当一年内出险次数大于3,故P(B)=0.1+0.05=0.15.又P(AB)=P(B),故P(B|A)=P(AB)P(A)=P(B)P(A)=0.150.55=311.因此所求概率为311.(7分)(3)记续保人本年度的保费为X元,则X的分布列为X0.85aa1.25a1.5a1.75a2aP0.300.150.200.200.100.05EX=0.85a0.30+a0.15+1.25a0.20+1.5a0.20+1.75a0.10+2a0.05=1.23a.因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.23.(12分)易错警示对条件概率的定义理解不到位,或者不会运用条件概率的求解公式,导致出错.评析本题考查了随机事件的概率,同时考查了考生的应用意识及数据处理能力,属中档题.方法2古典概型的求解方法3.(2016江苏,7,5分)将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次,则出现向上的点数之和小于10的概率是.答案564.(2014江西,12,5分)10件产品中有7件正品、3件次品,从中任取4件,则恰好取到1件次品的概率是.答案12过专题【五年高考】A组自主命题天津卷题组1.(2017天津文,3,5分)有5支彩笔(除颜色外无差别),颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔,则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为()A.45B.35C.25D.15答案C2.(2016天津文,2,5分)甲、乙两人下棋,两人下成和棋的概率是12,甲获胜的概率是13,则甲不输的概率为()A.56B.25C.16D.13答案A3.(2018天津文,15,13分)已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160.现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动.(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人?(2)设抽出的7名同学分别用A,B,C,D,E,F,G表示,现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作.试用所给字母列举出所有可能的抽取结果;设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”,求事件M发生的概率.解析(1)由已知,甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为322,由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学,因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人,2人,2人.(2)从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为A,B,A,C,A,D,A,E,A,F,A,G,B,C,B,D,B,E,B,F,B,G,C,D,C,E,C,F,C,G,D,E,D,F,D,G,E,F,E,G,F,G,共21种.由(1),不妨设抽出的7名同学中,来自甲年级的是A,B,C,来自乙年级的是D,E,来自丙年级的是F,G,则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为A,B,A,C,B,C,D,E,F,G,共5种.所以,事件M发生的概率P(M)=521.易错警示解决古典概型问题时,易出现以下错误:(1)忽视基本事件的等可能性导致错误;(2)列举基本事件考虑不全面导致错误;(3)在求基本事件总数和所求事件包含的基本事件数时,一个按有序,一个按无序处理导致错误.4.(2015天津文,15,13分)设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18.现采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛.(1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数;(2)将抽取的6名运动员进行编号,编号分别为A1,A2,A3,A4,A5,A6.现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛.(i)用所给编号列出所有可能的结果;(ii)设A为事件“编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”,求事件A发生的概率.解析(1)应从甲、乙、丙三个协会中抽取的运动员人数分别为3,1,2.(2)(i)从6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛的所有可能结果为A1,A2,A1,A3,A1,A4,A1,A5,A1,A6,A2,A3,A2,A4,A2,A5,A2,A6,A3,A4,A3,A5,A3,A6,A4,A5,A4,A6,A5,A6,共15种.(ii)编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到的所有可能结果为A1,A5,A1,A6,A2,A5,A2,A6,A3,A5,A3,A6,A4,A5,A4,A6,A5,A6,共9种.因此,事件A发生的概率P(A)=915=35.评析本题主要考查分层抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基础知识.考查运用概率、统计知识解决简单实际问题的能力.5.(2014天津文,15,13分)某校夏令营有3名男同学A,B,C和3名女同学X,Y,Z,其年级情况如下表:一年级二年级三年级男同学ABC女同学XYZ现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同).(1)用表中字母列举出所有可能的结果;(2)设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”,求事件M发生的概率.解析(1)从6名同学中随机选出2人参加知识竞赛的所有可能结果为A,B,A,C,A,X,A,Y,A,Z,B,C,B,X,B,Y,B,Z,C,X,C,Y,C,Z,X,Y,X,Z,Y,Z,共15种.(2)选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的所有可能结果为A,Y,A,Z,B,X,B,Z,C,X,C,Y,共6种.因此,事件M发生的概率P(M)=615=25.评析本题主要考查用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.B组统一命题、省(区、市)卷题组考点一事件与概率1.(2015湖北,2,5分)我国古代数学名著数书九章有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米1534石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得254粒内夹谷28粒,则这批米内夹谷约为()A.134石B.169石C.338石D.1365石答案B2.(2014课标,5,5分)4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为()A.18B.38C.58D.78答案D考点二古典概型1.(2017课标文,11,5分)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张,放回后再随机抽取1张,则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为()A.110B.15C.310D.25答案D2.(2016课标文,5,5分)小敏打开计算机时,忘记了开机密码的前两位,只记得第一位是M,I,N中的一个字母,第二位是1,2,3,4,5中的一个数字,则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是()A.815B.18C.115D.130答案C3.(2015课标,4,5分)如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称这3个数为一组勾股数.从1,2,3,4,5中任取3个不同的数,则这3个数构成一组勾股数的概率为()A.310B.15C.110D.120答案C4.(2016四川文,13,5分)从2,3,8,9中任取两个不同的数字,分别记为a,b,则logab为整数的概率是.答案16C组教师专用题组1.(2017山东,8,5分)从分别标有1,2,9的9张卡片中不放回地随机抽取2次,每次抽取1张.则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是()A.518B.49C.59D.79答案C2.(2015广东文,7,5分)已知5件产品中有2件次品,其余为合格品.现从这5件产品中任取2件,恰有一件次品的概率为()A.0.4B.0.6C.0.8D.1答案B3.(2018江苏,6,5分)某兴趣小组有2名男生和3名女生,现从中任选2名学生去参加活动,则恰好选中2名女生的概率为.答案3104.(2013课标,14,5分)从n个正整数1,2,n中任意取出两个不同的数,若取出的两数之和等于5的概率为114,则n=.答案85.(2017山东文,16,12分)某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1,A2,A3和3个欧洲国家B1,B2,B3中选择2个国家去旅游.(1)若从这6个国家中任选2个,求这2个国家都是亚洲国家的概率;(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个,求这2个国家包括A1但不包括B1的概率.解析本题考查古典概型.(1)由题意知,从6个国家中任选两个国家,其一切可能的结果组成的基本事件有:A1,A2,A1,A3,A2,A3,A1,B1,A1,B2,A1,B3,A2,B1,A2,B2,A2,B3,A3,B1,A3,B2,A3,B3,B1,B2,B1,B3,B2,B3,共15个.所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有:A1,A2,A1,A3,A2,A3,共3个,则所求事件的概率P=315=15.(2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选一个,其一切可能的结果组成的基本事件有:A1,B1,A1,B2,A1,B3,A2,B1,A2,B2,A2,B3,A3,B1,A3,B2,A3,B3,共9个.包括A1但不包括B1的事件所包含的基本事件有:A1,B2,A1,B3,共2个,则所求事件的概率为P=29.6.(2015福建文,18,12分)全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响力的综合指标.根据相关报道提供的全网传播2015年某全国性大型活动的“省级卫视新闻台”融合指数的数据,对名列前20名的“省级卫视新闻台”的融合指数进行分组统计,结果如表所示.组号分组频数14,5)225,6)836,7)747,83(1)现从融合指数在4,5)和7,8内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家进行调研,求至少有1家的融合指数在7,8内的概率;(2)根据分组统计表求这20家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数.解析(1)融合指数在7,8内的“省级卫视新闻台”记为A1,A2,A3;融合指数在4,5)内的“省级卫视新闻台”记为B1,B2.从融合指数在4,5)和7,8内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家的所有基本事件是A1,A2,A1,A3,A2,A3,A1,B1,A1,B2,A2,B1,A2,B2,A3,B1,A3,B2,B1,B2,共10个.其中,至少有1家融合指数在7,8内的基本事件是A1,A2,A1,A3,A2,A3,A1,B1,A1,B2,A2,B1,A2,B2,A3,B1,A3,B2,共9个.所以所求的概率P=910.(2)这20家“省级卫视新闻台”的融合指数平均数等于4.5220+5.5820+6.5720+7.5320=6.05.评析本题主要考查古典概型、频数分布表、平均数等基础知识,考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识等.7.(2014四川文,16,12分)一个盒子里装有三张卡片,分别标记有数字1,2,3,这三张卡片除标记的数字外完全相同.随机有放回地抽取3次,每次抽取1张,将抽取的卡片上的数字依次记为a,b,c.(1)求“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率;(2)求“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”的概率.解析(1)由题意知,(a,b,c)所有可能的结果为(1,1,1),(1,1,2),(1,1,3),(1,2,1),(1,2,2),(1,2,3),(1,3,1),(1,3,2),(1,3,3),(2,1,1),(2,1,2),(2,1,3),(2,2,1),(2,2,2),(2,2,3),(2,3,1),(2,3,2),(2,3,3),(3,1,1),(3,1,2),(3,1,3),(3,2,1),(3,2,2),(3,2,3),(3,3,1),(3,3,2),(3,3,3),共27种.设“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”为事件A,则事件A包括(1,1,2),(1,2,3),(2,1,3),共3种.所以P(A)=327=19.因此,“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率为19.(2)设“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”为事件B,则事件B包括(1,1,1),(2,2,2),(3,3,3),共3种.所以P(B)=1-P(B)=1-327=89.因此,“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”的概率为89.【三年模拟】一、选择题(每小题5分,共30分)1.(2018天津十二区县二模,2)从大小相同的红、黄、白、紫、粉5个小球中任选2个,则取出的两个小球中没有红色球的概率为()A.25B.35C.56D.910答案B2.(2018天津河北质量检测(2),4)从数字1,2,3,4,5中任取2个组成一个没有重复数字的两位数,则这个两位数大于30的概率是()A.15B.25C.35D.45答案C3.(2017天津和平一模,2)一个口袋中装有2个白球和3个黑球,这5个球除颜色外完全相同,从中摸出2个球,则这2个球颜色相同的概率为()A.310B.35C.12D.25答案D4.(2018天津一中3月月考,3)若从集合1,2,3,5中随机选出三个元素,则满足其中两个元素的和等于第三个元素的概率为()A.14B.12C.34D.13答案B5.(2017天津河北一模,2)两个袋中各装有编号为1,2,3,4,5的5个小球,分别从每个袋中摸出一个小球,所得两球编号之和小于5的概率为()A.15B.725C.625D.25答案C6.(2017天津十二区县一模,2)若从2个海滨城市和2个内陆城市中随机选2个去旅游,那么恰好选1个海滨城市的概率是()A.13B.23C.14D.12答案B二、填空题(每小题5分,共10分)7.(2017天津河西一模,11)一个口袋内装有除颜色外完全相同的2个白球和2个黑球,从中一次随机取出2个球,则至少取到1个黑球的概率为.答案568.(2017天津红桥一模,10)经统计,在银行一个营业窗口每天上午9点钟排队等候的人数及相应概率如下表:排队人数012345概率0.10.160.30.30.10.04则该营业窗口上午9点钟时,至少有2人排队的概率是.答案0.74三、解答题(共80分)9.(2018天津部分区县质量检测(2),16)某区的区人大代表有教师6人,分别来自甲、乙、丙、丁四个学校,其中甲校教师记为A1,A2,乙校教师记为B1,B2,丙校教师记为C,丁校教师记为D.现从这6名教师中随机选出3名教师组成十九大报告宣讲团,要求甲、乙、丙、丁四个学校中,每校至多选出1名.(1)请列出十九大报告宣讲团组成人员的全部可能结果;(2)求教师A1被选中的概率;(3)求宣讲团中没有乙校教师的概率.解析(1)从6名教师中随机选出3名教师组成十九大报告宣讲团,组成人员的全部可能结果有A1,B1,C,A1,B1,D,A1,B2,C,A1,B2,D,A1,C,D,A2,B1,C,A2,B1,D,A2,B2,C,A2,B2,D,A2,C,D,B1,C,D,B2,C,D,共12种.(2)由(1)可知A1被选中的结果有A1,B1,C,A1,B1,D,A1,B2,C,A1,B2,D,A1,C,D,共5种,所以所求概率P=512.(3)由(1)可知宣讲团中没有乙校教师的结果有A1,C,D,A2,C,D,共2种,所以所求概率P=212=16.10.(2018天津南开统练,15)甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动,对购买该商品的顾客,两家商场的奖励方案如下:甲商场:顾客转动如图所示的圆盘,指针指向阴影部分(图中四个阴影部分均为扇形,且每个扇形圆心角均为15,边界忽略不计)即为中奖.乙商场:从装有3个白球3个红球的盒子中一次性摸出2个球(球除颜色外不加区分),如果摸到的是2个红球,即为中奖.问:购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大?解析如果顾客去甲商场,设题图中圆盘的半径为R,则抽奖的全部结果构成的区域为圆盘的面积R2,阴影部分的面积为415R2360=R26,则在甲商场中奖的概率P1=R26R2=16;如果顾客去乙商场,记3个白球为a1,a2,a3,3个红球为b1,b2,b3,记(x,y)为一次摸球的结果,则全部可能的结果有(a1,a2),(a1,a3),(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3),(a2,a3),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3),(a3,b1),(a3,b2),(a3,b3),(b1,b2),(b1,b3),(b2,b3),共15种,摸到的是2个红球的事件有(b1,b2),(b1,b3),(b2,b3),共3种,则在乙商场中奖的概率P2=315=15.因为P1P2,所以购买该商品的顾客在乙商场中奖的可能性大.解题分析首先分别计算两种方案中奖的概率(记录事件发生的全部结果的个数与满足条件的事件的个数,由等可能事件的概率公式求得相应概率),然后比较概率大小,得结果.评析本题考查等可能事件的概率计算以及几何概率的求法,关键是正确列举事件的全部情况.11.(2018天津河东二模,15)小明非常喜欢葫芦娃七兄弟的人偶玩具,小明的妈妈答应小明买其中的两个,小明面对红、橙、黄、绿、青、蓝、紫七个造型各异的玩偶举棋不定.(1)请列举出小明购买人偶的所有结果;(2)记事件X为“小明至少从红、橙、黄三个人偶中购买一个”,求事件X发生的概率.解析(1)设红、橙、黄、绿、青、蓝、紫七个玩偶分别为A、B、C、D、E、F、G,则选择其中两个的情况为21种,分别为A,B、A,C、A,D、A,E、A,F、A,G、B,C、B,D、B,E、B,F、B,G、C,D、C,E、C,F、C,G、D,E、D,F、D,G、E,F、E,G、F,G.(2)事件X为“小明至少从红、橙、黄三个人偶中购买一个”,其发生的情况为A,B、A,C、A,D、A,E、A,F、A,G、B,C、B,D、B,E、B,F、B,G、C,D、C,E、C,F、C,G,共计15种,故事件X发生的概率P(X)=1521=57.12.(2019届天津一中1月月考文,16)某中学一位高三班主任对本班50名学生的学习积极性和对待班级工作的态度进行调查,得到的统计数据如表所示:积极参加班级工作不积极参加班级工作合计学习积极性高18725学习积极性不高61925合计242650(1)如果随机调查这个班的一名学生,求事件A:抽到不积极参加班级工作且学习积极性不高的学生的概率;(2)若不积极参加班级工作且学习积极性高的7名学生中有两名男生,现从中抽取两名学生参加某项活动,请用字母代表不同的学生,列举出抽取的所有可能结果;(3)在(2)中,求事件B:两名学生中恰有一名男生的概率.解析(1)由题表可得随机调查这个班的一名学生,有50种情况,抽到不积极参加班级工作且学习积极性不高的学生有19种情况,故P(A)=1950.(2)设这7名学生分别为a,b,c,d,e,A,B(大写为男生),则从中抽取两名学生的所有基本事件有ab,ac,ad,ae,aA,aB,bc,bd,be,bA,bB,cd,ce,cA,cB,de,dA,dB,