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第五课时利用导数研究函数零点专题【选题明细表】知识点、方法题号利用函数图象研究函数零点1利用函数性质研究函数零点3,4构造函数研究函数零点21.导学号 18702145已知函数f(x)=-ln x+ax2+bx.(1)若b=1-a,讨论f(x)的单调性;(2)若a=0时函数有两个不同的零点,求实数b的取值范围.解:(1)若b=1-a,则f(x)=-ln x+ax2+(1-a)x,f(x)=-+ax+1-a=(x0).()当a0时,x(0,1),f(x)0,f(x)在(1,+)上单调递增.()当a1,即-1a0时,x(0,1)或x(-,+)时,f(x)0,f(x)单调递增.当-1,即a-1时,x(0,-)或x(1,+)时,f(x)0,f(x)单调递增.当-=1,即a=-1时,f(x)0,f(x)在(0,+)上单调递减,综上当a0时,f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+)上单调递增;当-1a0时,f(x)在(0,1),(-,+)上单调递减,在(1,-)上单调递增;当a-1时,f(x)在(0,-),(1,+)上单调递减,在(-,1)上单调递增;当a=-1时,f(x)在(0,+)上单调递减.(2)若a=0,f(x)=-ln x+bx,令f(x)=0,得b=.设g(x)=,则g(x)=,所以当0x0;当xe时,g(x)e时,g(x)0恒成立;当0x1时,g(x)0,所以(x)在(0,+)上单调递增,由零点存在定理, (x)在(0,+)至多一个零点,与题设发生矛盾.(2)当a0即可,得a24e2,又因为a0,所以-a0,所以当m0时,函数f(x)的单调递增区间为R.当m0,即ex+m0,可得xln(-m),令f(x)0,即ex+m0,可得xln(-m),所以当m0).易得g(x)=-1,令g(x)0,可得0x1,令g(x)1,故g(x)在x=1处取得极大值,也是最大值.即g(x)g(1)=-1,所以|g(x)|1.令h(x)=+,所以h(x)=,令h(x)0,可得0xe,令h(x)e,故h(x)在x=e处取得极大值,也是最大值.所以h(x)h(e)=+0(x0),所以函数f(x)在(-,+)上单调递增;当a0时,x(-,-)(0,+)时,f(x)0,x(-,0)时,f(x)0,所以函数f(x)在(-,-),(0,+)上单调递增,在(-,0)上单调递减;当a0,x(0,-)时,f(x)0,所以函数f(x)在(-,0),(-,+)上单调递增,在(0,-)上单调递减.(2)由(1)知,函数f(x)的两个极值为f(0)=b,f(-)=a3+b,则函数f(x)有三个零点等价于f(0)f(-)=b(a3+b)0时,a3-a+c0或当a0时,a3-a+c0.设g(a)=a3-a+c,因为函数f(x)有三个零点时,a的取值范围恰好是(-,-3)(1,)(,+),则在(-,-3)上g(a)0均恒成立,从而g(-3)=c-10,且g()=c-10,因此c=1.此时,f(x)=x3+ax2+1-a=(x+1)x2+(a-1)x+1-a,因函数有三个零点,则x2+(a-1)x+1-a=0有两个异于-1的不等实根
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