高中数学第2章推理与证明章末分层突破学案新人教B版.docx

第2章 推理与证明章末分层突破自我校对由部分到整体，由个别到一般 类比推理演绎推理由一般到特殊综合法执果索因 反证法归纳推理1.归纳推理的一般步骤：(1)通过观察个别情况发现某些相同性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题(猜想).2.在应用归纳推理时，首先要观察部分对象的整体特征，然后分析所观察对象中哪些元素是不变的，哪些元素是变化的，并将变化的量的变化规律表达出来.如图21，一个树形图依据下列规律不断生长：1个空心圆点到下一行仅生长出1个实心圆点，1个实心圆点到下一行生长出1个实心圆点和1个空心圆点.则第11行的实心圆点的个数是_.图21【精彩点拨】列出每行实心圆点的个数，从中归纳出变化规律，然后运用此规律求第11行实心圆点的个数.【规范解答】前6行中实心圆点的个数依次为：0，1，1，2，3，5，据此猜想这个数列的规律为：从第3项起，每一项都等于它前面两项的和，故续写这个数列到第11行如下：8，13，21，34，55，所以第11行的实心圆点的个数是55.【答案】55再练一题1.(2016杭州高二检测)记Sk1k2k3knk，当k1，2，3，时，观察下列等式：S1n2n，S2n3n2n，S3n4n3n2，S4n5n4n3n，S5An6n5n4Bn2，可以推测，AB_. 【导学号：37820029】【解析】由S1，S2，S3，S4各项系数知，A，AB1，于是B，所以AB.【答案】类比推理1.类比推理的基本原则是根据当前问题的需要，选择适当的类比对象，可以从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手，由平面中的相关结论可以类比得到空间中的相关结论.2.平面图形与空间图形类比.平面图形空间图形点线线面边长面积面积体积线线角二面角三角形四面体已知图22有面积关系：.图22(1)试用类比的思想写出由图22所得的体积关系_.(2)证明你的结论是正确的.【精彩点拨】由面积关系，类比推测，然后由体积公式证明.【规范解答】(1).(2)过A作AO平面PBC于O，连接PO(图略)，则A在平面PBC内的射影O落在PO上，从而，.再练一题2.在ABC中，若ABAC，ADBC于D，则.在四面体ABCD中，若AB，AC，AD两两垂直，AH底面BCD，垂足为H，则类似的结论是什么？并说明理由.【解】类似的结论是：如图，在四面体ABCD中，若AB，AC，AD两两垂直，AH底面BCD，垂足为H，则.证明如下： 连接BH并延长交CD于E，连接AE.AB，AC，AD两两垂直，AB平面ACD.又AE平面ACD，ABAE.在RtABE中，有.又易证CDAE，在RtACD中，.将代入得.演绎推理演绎推理是由一般到特殊的推理，一般模式为三段论.演绎推理只要前提正确，推理的形式正确，那么推理所得的结论就一定正确.已知平面平面，直线l，lA，如图23所示，求证：l.图23【精彩点拨】分别确定大前提、小前提，利用演绎推理的方法证明.【规范解答】在平面内任取一条直线b，平面是经过点A与直线b的平面.设a.如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行，大前提，且a，b，小前提所以ab.结论如果一条直线与一个平面垂直，那么这条直线和这个平面内的任意一条直线都垂直，大前提且l，a，小前提所以la.结论如果一条直线和两条平行线中的一条垂直，那么它也与另一条垂直，大前提ab，且la，小前提所以lb.结论如果一条直线和一个平面内的任意一条直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直，大前提因为lb，且直线b是平面内的任意一条直线，小前提所以l.结论再练一题3.如图24，在空间四边形ABCD中，M，N分别为AB，AD的中点.图24求证：MN平面BCD(写出大前提，小前提，结论)【证明】三角形中位线平行于底边，大前提M，N分别为AB与AD的中点，MN为ABD的中位线.小前提MNBD.结论又平面外一条直线与平面内一条直线平行，则这条直线与这个平面平行，大前提MN平面BCD，BD平面BCD，MNBD，小前提MN平面BCD.结论直接证明综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题常用的思维方式.如果从解题的切入点的角度细分，直接证明方法可具体分为：比较法、代换法、放缩法、判别式法、构造函数法等，应用综合法证明问题时，必须首先想到从哪里开始起步，分析法就可以帮助我们克服这种困难，在实际证明问题时，应当把分析法和综合法结合起来使用.设f(x)ax2bxc(a0)，若函数f(x1)与f(x)的图象关于y轴对称.求证：f为偶函数.【精彩点拨】解答本题可先分析f为偶函数的条件，再利用已知推出满足的条件或寻找结论成立的条件.【规范解答】要证f为偶函数，只需证f的对称轴为x0，只需证0，只需证ab.因为函数f(x1)与f(x)的图象关于y轴对称，即x1与x关于y轴对称，即10，整理得1，即ab成立，故原命题得证.再练一题4.当a2时，求证：.【证明】要证，只需证，只需证()2()2，只需证a1a22aa12，只需证，只需证(a1)(a2)a(a1)，即证20，而20显然成立，所以1，求证：a，b，c，d中至少有一个是负数.【证明】假设a，b，c，d都是非负数，因为abcd1，所以(ab)(cd)1.又(ab)(cd)acbdadbcacbd，所以acbd1，这与已知acbd1矛盾，所以a，b，c，d中至少有一个是负数.1.(2016北京高考)袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则()A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C.乙盒中红球不多于丙盒中红球D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多【解析】取两个球往盒子中放有4种情况：红红，则乙盒中红球数加1；黑黑，则丙盒中黑球数加1；红黑(红球放入甲盒中)，则乙盒中黑球数加1；黑红(黑球放入甲盒中)，则丙盒中红球数加1.因为红球和黑球个数一样多，所以和的情况一样多，和的情况完全随机.和对B选项中的乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数没有任何影响.和出现的次数是一样的，所以对B选项中的乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数的影响次数一样.综上，选B.【答案】B2.(2015陕西高考)观察下列等式：1，1，1，据此规律，第n个等式可为_.【解析】等式的左边的通项为，前n项和为1；右边的每个式子的第一项为，共有n项，故为.【答案】13.(2016全国卷)有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是_.【解析】根据丙的说法及乙看了丙的卡片后的说法进行推理.由丙说“我的卡片上的数字之和不是5”，可推知丙的卡片上的数字是1和2或1和3.又根据乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”可知，乙的卡片不含1，所以乙的卡片上的数字为2和3.再根据甲的说法“我与乙的卡片上相同的数字不是2”可知，甲的卡片上的数字是1和3.【答案】1和34.(2014陕西高考)已知f(x)，x0，若f1(x)f(x)，fn1(x)f(fn(x)，nN，则f2 014(x)的表达式为_.【解析】f1(x)，f2(x)，f3(x)，由数学归纳法得f2 014(x).【答案】f2 014(x)5.(2016山东高考)观察下列等式：12；23；34；45；照此规律，_.【解析】通过观察已给出等式的特点，可知等式右边的是个固定数，后面第一个数是等式左边最后一个数括号内角度值分子中的系数的一半，后面第二个数是第一个数的下一个自然数，所以，所求结果为n(n1)，即n(n1).【答案】n(n1)章末综合测评(二)推理与证明(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.数列2，5，11，20，x，47，中的x等于()A.28B.32C.33D.27【解析】观察知数列an满足：a12，an1an3n，故x203432.【答案】B2.用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3axb0至少有一个实根”时，要做的假设是()A.方程x3axb0没有实根B.方程x3axb0至多有一个实根C.方程x3axb0至多有两个实根D.方程x3axb0恰好有两个实根【解析】方程x3axb0至少有一个实根的反面是方程x3axb0没有实根，故应选A.【答案】A3.下列推理过程是类比推理的是()A.人们通过大量试验得出掷硬币出现正面的概率为B.科学家通过研究老鹰的眼睛发明了电子鹰眼C.通过检测溶液的pH值得出溶液的酸碱性D.数学中由周期函数的定义判断某函数是否为周期函数【解析】A为归纳推理，C，D均为演绎推理，B为类比推理.【答案】B4.下面几种推理是合情推理的是()由圆的性质类比出球的有关性质；由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是180归纳出所有三角形的内角和都是180；由f(x)sin x，满足f(x)f(x)，xR，推出f(x)sin x是奇函数；三角形内角和是180，四边形内角和是360，五边形内角和是540，由此得凸多边形内角和是(n2)180.A.B.C.D.【解析】合情推理分为类比推理和归纳推理，是类比推理，是归纳推理，是演绎推理.【答案】C5.设a21.522.5，b7，则a，b的大小关系是()A.abB.abC.a2(b1)【解析】因为a21.522.5287，故ab.【答案】A6.将平面向量的数量运算与实数的乘法运算相类比，易得到下列结论：abba；(ab)ca(bc)；a(bc)abac；|ab|a|b|；由abac(a0)，可得bc.以上通过类比得到的结论中，正确的个数是()A.2个B.3个C.4个D.5个【解析】正确；错误.【答案】A7.证明命题：“f(x)ex在(0，)上是增函数”.现给出的证法如下：因为f(x)ex，所以f(x)ex.因为x0，所以ex1，00，即f(x)0.所以f(x)在(0，)上是增函数，使用的证明方法是() 【导学号：37820030】A.综合法B.分析法C.反证法D.以上都不是【解析】从已知条件出发利用已知的定理证得结论，是综合法.【答案】A8.已知c1，a，b，则正确的结论是()A.abB.a1，所以a0，b0，故只需比较与的大小即可，而，显然，从而必有a2，f(8)，f(16)3，f(32)，观察上述结果，可推测出一般结论()A.f(2n)B.f(n2)C.f(2n)D.以上都不对【解析】f(2)，f(4)f(22)，f(8)f(23)，f(16)f(24)，f(32)f(25).由此可推知f(2n).故选C.【答案】C10.定义A*B，B*C，C*D，D*A的运算分别对应下面图1中的(1)(2)(3)(4)，则图中a，b对应的运算是()图1A.B*D，A*DB.B*D，A*CC.B*C，A*DD.C*D，A*D【解析】根据(1)(2)(3)(4)可知A对应横线，B对应矩形，C对应竖线，D对应椭圆.由此可知选B.【答案】B11.观察下列各式：ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511，则a10b10()A.28B.76C.123D.199【解析】从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，照此规律，则a10b10123.【答案】C12.在等差数列an中，若an0，公差d0，则有a4a6a3a7，类比上述性质，在等比数列bn中，若bn0，公比q1，则b4，b5，b7，b8的一个不等关系是()A.b4b8b5b7B.b4b8b5b8D.b4b7a3a7，所以在等比数列bn中，由于4857，所以应有b4b8b5b7或b4b81，bn0，所以b4b8b5b7.【答案】A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中的横线上.)13.已知x，yR，且xy2，则x，y中至少有一个大于1，在用反证法证明时假设应为_.【解析】“至少有一个”的否定为“一个也没有”，故假设应为“x，y均不大于1”(或x1且y1).【答案】x，y均不大于1(或x1且y1)14.如图2，第n个图形是由正n2边形“扩展”而来(n1，2，3，)，则第n2(n2)个图形中共有_个顶点. 【导学号：37820031】图2【解析】设第n个图形中有an个顶点，则a1333，a2444，an(n2)(n2)(n2)，an2n2n.【答案】n2n15.设a0，b0，则下面两式的大小关系为lg(1)_lg(1a)lg(1b).【解析】因为(1)2(1a)(1b)12ab1abab2(ab)()20，所以(1)2(1a)(1b)，所以lg(1)lg(1a)lg(1b).【答案】16.(2016杭州高二检测)对于命题“如果O是线段AB上一点，则|0”将它类比到平面的情形是：若O是ABC内一点，有SOBCSOCASOBA0，将它类比到空间的情形应为：若O是四面体ABCD内一点，则有_.【解析】根据类比的特点和规律，所得结论形式上一致，又线段类比平面，平面类比到空间，又线段长类比为三角形面积，再类比成四面体的体积，故可以类比为VOBCDVOACDVOABDVOABC0.【答案】VOBCDVOACDVOABDVOABC0三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.)17.(本小题满分10分)已知a，b，c成等差数列，求证：abac，b2ac，acbc也成等差数列.【证明】因为a，b，c成等差数列，所以2bac，所以(abac)(acbc)b(ac)2ac2(b2ac).所以abac，b2ac，acbc也成等差数列.18.(本小题满分12分)在平面几何中，对于RtABC，C90，设ABc，ACb，BCa，则(1)a2b2c2；(2)cos2Acos2B1；(3)RtABC的外接圆半径r.把上面的结论类比到空间写出类似的结论，无需证明.【解】在空间选取三个面两两垂直的四面体作为直角三角形的类比对象.(1)设三个两两垂直的侧面的面积分别为S1，S2，S3，底面积为S，则SSSS