中考压轴题：由比例线段产生的函数关系问题1.doc

例 2008年上海市长宁区中考模拟第25题如图1，在ABC中，C90，点O为AB的中点，以O为坐标原点，x轴与AC平行，y轴与CB平行，建立直角坐标系，AC与y轴交于点M，BC与x轴交于点N 将一把三角尺的直角顶点放在坐标原点O处，绕点O旋转三角尺，三角尺的两直角边分别交射线CA、射线BC于点P、Q （1）证明：OMPONQ（2）若A60，AB4，设点P的横坐标为x， PQ的长为L，当点P在边AC上运动时，求L与x的函数关系式及定义域（3）若A60，AB4，当PQC的面积为时，试求CP的长图1动感体验 请打开文件名“08长宁25”拖动点P在从A向C慢慢运动，观察L随xP变化的图象可以体验到，在P从A到M的过程中，L越来越小；在P从M到C的过程中，L越来越大拖动点P运动，可以体验到，POQ的大小虽然在变，但是形状不变拖动点P在射线CA上运动， 观察面积PQC的度量值， 可以体验到，有三个时刻，PQC的面积为思路点拨 1证明OMPONQ可以得到丰富的结论，例如POQ的三边比为21，等，这些结论在第（2）、（3）题中都会用到2用勾股定理可以写出OP关于x的关系式，再用POQ的三边比可以求出PQ关于x的关系式3用含有x的式子表示线段CQ的长是本题的难点和关键，不仅要分类讨论，而且要数形结合满分解答（1）证明：MOPPON 90，NOQPON 90，MOPNOQ又OMP ONQ90，OMPONQ（2）解：在RtABC中， A 60，AB4，所以OM ,ON1在RtABC中，所以OMPONQ，又POQ BCA90，POQBCQ定义域是1x1(3) 由OMPONQ，知，所以当点Q在BN上时，P在MC上，0，所以；当点Q在NC上时，P在CM的延长线上，0，所以因此，当点Q在BC上时，由，得解得所以当CP1或3时, CPQ的面积是如图2，当点Q在BC的延长线上时，于是解得x1 1,x2 1(舍去) 图2所以当CP2时, CPQ的面积是考点伸展在第（3）题中，按点Q的位置进行分类，在分类计算以后，和的结果是相同的如果在第（2）题中就这样分类的话，求L关于x的函数关系式，也可以在RtPCQ中用勾股定理求得例 2008年上海市上海市部分学校抽样测试第25题已知：在正方形ABCD中，M是边BC的中点（如图1所示），E是边AB上的一个动点，MFME，交射线CD于点F，AB4，BEx，CFy（1）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域（2）当点F在边CD上时，四边形AEFD的周长是否随点E的运动而发生变化？请说明理由（3）当DF1时，求点A到直线EF的距离 图1 （备用图）动感体验 请打开文件名“08抽样25”拖动点E在AB上运动，从图形中可以看到y随x的增大而减小，当E与B重合时，点F就不存在了从图象可以体验到，y是x的反比例函数 从图形中还可以体验到，MN既是直角EFM的斜边上的中线，也是梯形EBCF的中位线，因此EF的长等于BECF拖动点E在AB上运动，可以体验到，AEF的边AE上的高是定值4点A到直线EF的距离，就是AEF的边EF上的高AH双击按钮“DF1，CF3”和“DF1，CF5”可以准确显示DF1的两种情况思路点拨 1证明EBMMCF，根据对应边成比例可以求出y关于x的函数解析式2构造以EF为斜边的直角三角形，用勾股定理可以求得EFxy，在这个式子的变形过程中，要用到第（1）的结论变形xy43用几何法证明EFBECF，做EF的中点N，MN既是直角EFM的斜边上的中线，也是梯形EBCF的中位线，因此EF的长等于BECF4分类讨论DF1，按照F与D的位置关系，可以分为CF3和CF5两种情况5点A到直线EF的距离，就是AEF的边EF上的高AH，用面积法求AH满分解答解：如图2， EMBCMF90，CMFCFM90，EMBCFM又BC90，EMBMFC图2，即因此所求的函数解析式为 （）（2）不变理由如下：如图2，作EGCD于点G，那么所以四边形AEFD的周长AEEFDFAD4xxy4y412（3）当DF1时，CF3或CF5联结AF，设点A到直线EF的距离为d如图3，当CF3时，BE此时，因此SAEF，即所以如图4，当CF5时，同理可得 综上所述，点A到直线EF的距离为或 图3 图4 图5 图6 考点伸展 第（2）题几何解法的思路是：如图5，作EF的中点N，连结MN，那么MN既是直角EFM的斜边上的中线，也是梯形EBCF的中位线，因此EF的长等于BECF事实上，如图6，以BC为直径的圆与直线EF相切，根据切线长定理可知EFBECF 在本题中可以证明EMBMFCEFM，因此EM、FM分别平分BEF、CFE，从而证明EBEP，FCFP 例 2008年上海市虹口区中考模拟第24题如图1，在直角梯形ABCD中，ABCD，ABC90，BC3，四边形BEFG是矩形，点E、F分别在腰BC、AD上，点G在AB上设FG ，FE（1）求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围（2）矩形BEFG的面积能否等于梯形ABCD面积的？若能，请求出的值；若不能，请说明理由（3）当时，矩形BEFG是否能成为正方形？若能，求其边长；若不能，请说明理由图1动感体验 请打开文件名“08虹口24”拖动点E在BC上运动，从图形和图象中都可以看到，y随x的增大而减小，y是x的一次函数，图象是直线的一部分拖动点D左右运动，观察函数的图象，可以体验到，CD的长影响直线的斜率和截距双击按钮“ADC2DAB”，从度量值可以观察到，此时DAB60拖动点E在BC上运动，可以体验到，矩形BEFG能成为正方形思路点拨 1第（1）题求关于的函数关系式时，由于的不确定，因此解析式中含有字母2解决直角梯形常用的策略是把直角梯形分割为一个矩形和一个直角三角形3根据邻边相等的矩形是正方形列方程，方程的解在自变量的取值范围内，正方形就存在，否则就不存在满分解答 解：（1）如图2，过点D作DHAB于H因为FGDH，所以，即解得，所以因此所求的函数关系式为.自变量的取值范围是03（2）如果，则因为，原方程可化简为解得，.由于03，因此.所以，矩形BEFG的面积能等于梯形ABCD面积的，此时的值为图2 图3 图4（3）如图3，矩形BEFG能成为正方形.当ADC2DAB时，DAB60.在RtAHD中，所以，此时.若四边形BEFG是正方形，则，即，解得.由于，所以矩形BEFG能成为正方形，且边长为.考点伸展 第（3）可以用解直角三角形的方法：当四边形BEFG为矩形时，.如图4，在RtAFG中，；在RtBFG中，.由，得，解得.例 2008年上海市卢湾区中考模拟第24题如图1，已知点是轴上一点，过点作轴的垂线，垂足为点，点是上一动点（不与、重合），连结、，过点作，交于点，过点作，交于点.（1）设点的纵坐标为，求关于的函数关系式，并写出的取值范围.（2）若存在一点，使四边形是矩形，求的值图1动感体验 请打开文件名“08卢湾24”拖动点B在OD上运动，从随变化的图象中可以看到，是的二次函数，抛物线的开口向下拖动点B在OD上运动，可以体验到，当时，四边形ABEF是矩形，此时CMAAOB 思路点拨1证明，根据对应边成比例，得到关于的函数关系式2根据有三个角是直角的四边形是矩形，假设，那么CMAAOB，根据对应边成比例，列关于的方程满分解答解：（1）, 又， ，即（2）当时，四边形是矩形过点C作CMy轴，垂足为M此时CMAAOB ，即 解得图2考点伸展在图2中，当四边形是矩形时，图中的4个直角三角形都是相似的，请您写出它们的相似比解：CMA、AOB、BDE与EFC的相似比为221例 2008年上海市浦东新区中考模拟第25题如图1，已知在梯形ABCD中，ADBC，ABCD5，P是边BC上的一个动点，APQB，PQ交射线AD于点Q设点P到点B的距离为x，点Q到点D的距离为y（1）用含x的代数式表示AP的长（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域（3）CPQ与ABP能否相似？如果能，请求出BP的长；如果不能，请说明理由图1动感体验 请打开文件名“08浦东25”拖动点P在BC上运动，观察y随x变化的函数图象，可以体验到，点P从B向C运动的过程中，DQ的长先由大变小，再由小变大；当P达到BC的中点时，D、Q重合当P与B重合时，点Q不存在了双击按钮“相似1”和“相似2”，可以体验到，四边形APCQ是平行四边形双击按钮“相似3”，可以体验到，D、Q重合思路点拨 1用含x的代数式表示AP的长，是为求y关于x的函数解析式作准备2证明ABPQPA，根据对应边成比例可以得到y关于x的函数解析式3把CPQ与ABP相似的问题，转化为CPQ与QPA相似的问题4分类讨论CPQ与QPA相似，按对应角相等分两种情况，再讨论每种情况下四边形APCQ的特殊性，从而列出关于x的方程满分解答解：（1）如图2，作AEBC于点E在RtABE中，所以BE3，AE4在RtAPE中，（2），ADBC，PAQAPB又APQB，图2APQPBA，即因此，定义域为0x10（3）要使CPQ与ABP相似，必须有PQCB或PCQB如图3，如果PQCB，那么APQPQC，因此APCQ，所以四边形APCQ是平行四边形于是AQPC，即解方程，整理，得 解得如图4，如果PCQB时，那么点Q与点D重合于是y0，即解得x5综上所述，CPQ与ABP能相似，此时或5 图3 图4考点伸展如图5， 在本题的条件下， 设PQ与CD交于点F， 那么ABP、PCF、QPA、QDF都相似，请您研究这个图形图5例 2008年上海市闸北区中考模拟第25题如图1，已知边长为的等边，点在边上，点是射线上的一个动点，以线段为边向右侧作等边，直线、交直线于点、（1）写出图1中与相似的三角形（2）证明其中一对三角形相似（3）设，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围（4）若，试求的面积 图1 备用图 备用图 图2动感体验 请打开文件名“08闸北25”拖动点E在射线BA上运动，观察函数的图象，可以体验到，当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大；当时，y0，此刻G、M、N三点重合在AC上双击按钮“AE1，BE2”，可以体验到，是边长为1的等边三角形双击按钮“AE1，BE4”，可以体验到，是有一个角为30的直角三角形思路点拨 1证明AMEBEFCFN，根据对应边成比例，用含有x的式子表示AM、CN的长是求与之间的函数关系式的基础2分类讨论AE的长，根据点E的位置分两种情况：当E在AB上时，AE3x；当E在AB的延长线上时，AEx33点E在AB上又要分两种情况讨论，根据点G的位置不同分两种情况：当G在ABC外部时，MNACAMCN；当G在ABC内部时，MNAMCNAC4两个备用图暗示了要分类讨论，根据位置关系要求3次函数关系5分类讨论AE1，按BE的长分两种情况，每种情况的图形都是特殊的满分解答 解：（1）BEFAMECFNGMN（2）如图1，AMEBEF的证明过程如下：BAGEF60，AEMAME120，AEMBEF 120AMEBEFAMEBEF（3）如图2，当点G落在AC上时，MN0，BECF1因为AMEBEFCFN，所以，即当点E在线段AB